13.2.1　平面的基本性质 练习（2课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13.2.1　平面的基本性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024江苏月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 平行四边形是一个平面
B. 任何一个平面图形都是一个平面
C. 平静的太平洋面就是一个平面
D. 一个平面可以将空间分成两部分
2 (2024河北月考)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A. 平面MN
B. 平面NQP
C. 平面α
D. 平面MNPQ
3 (2024广州期中)如图所示的点、线、面的位置关系，用符号语言表示正确的是(　　)
A. α∩β＝m，n α，A α，A β
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
D. α∩β＝m，n∈α，A∈α，A∈β
4 下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
　
A B C D
5 如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么下列结论中正确的是(　　)
A. l α B. l α C. l∩α＝M D. l∩α＝N
6 空间中三个不重合的平面能把空间分成(　　)
A. 4部分或6部分
B. 7部分或8部分
C. 5部分或6部分或7部分
D. 4部分或6部分或7部分或8部分
二、 多项选择题
7 (2024湖南月考)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　)
A. A∈b B. b β C. A∈β D. A β
8 (2023芜湖期中)如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　)
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
三、 填空题
9 如图，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
10 (2024上海浦东新区月考)已知α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．
11 (2024广东期末)如图，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，DD1的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________．
四、 解答题
12 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．
13 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG相交于点P.求证：点B，D，P在同一条直线上．
13．2.1　平面的基本性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024山东月考)下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 空间任意三个点确定一个平面
B. 一个点和一条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线确定一个平面
D. 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
2 如图，长方体的12条棱所能确定的平面个数为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列说法中正确的是(　　)
A. A，B，C，D四点中必有三点共线
B. 直线AB与CD相交
C. A，B，C，D四点中不存在三点共线
D. 直线AB与CD平行
4 (2023哈尔滨九中期中)三条直线两两相交，最多可以确定平面的个数是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 (2024河北月考)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a β
B. 若M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN α，直线MN β
C. 若A∈α，A∈β，则α∩β＝A
D. 若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M三点不共线，则α，β重合
6 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则下列说法中正确的是(　　)
A. D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1
B. D1，O，B三点不共线，且OB＝2OD1
C. D1，O，B三点共线，且OB＝OD1
D. D1，O，B三点不共线，且OB＝OD1
二、 多项选择题
7 (2024咸阳月考)下列说法中，不正确的有(　　)
A. 如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B. 如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C. 如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
8 (2024惠州月考)设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若P∈a，P∈α，则a α
B. 若a∩b＝P，b β，则a β
C. 若a∥b，a α，P∈b，P∈α，则b α
D. 若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b
三、 填空题
9 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．
10 已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，则“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的________条件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
11 (2024自贡期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D∩平面A1BC1＝H，若＝λ，则λ＝________．
四、 解答题
12 已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
13 (2023宿松中学期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝O1，B1D∩平面A1BC1＝P.
(1) 试确定点P的位置；
(2) 若AB＝3，BC＝4，CC1＝6，求线段DP的长．
13.2.1　平面的基本性质(1)
1. D　我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的，故A不正确；平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的，故B不正确；太平洋再大也会有边际，所以不是平面，故C不正确；平面是无限延展的，它将空间分成两部分，故D正确．
2. A　表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.由题可知A错误，B，C，D正确．
3. C　点和面、点和线的关系用“∈”或“ ”表示，故A错误；线面关系用“ ”或“ ”表示，故B，D错误；根据图形有α∩β＝m，n α，m∩n＝A，故C正确．
4. D　对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，故A错误；对于B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故B，C错误；对于D，符合画法原则，故D正确．
5. A　由题意，得直线l上的两点M，N都在平面α内，所以由基本事实2可知l α.
6. D　若三个平面两两平行，则把空间分成4部分，如图1；若三个平面两两相交，且只有一条交线，则把空间分成6部分，如图2；若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线不交于一点，则把空间分成7部分，如图3；若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线相交于一点，则把空间分成8部分，如图4.故选D.
图1 图2 图3 图4
7. ABC　因为点A在直线b上，所以A∈b，故A正确；因为直线b在平面β内，所以b β，故B正确；由A，B及点面关系的表示方式知，故C正确，D错误．故选ABC.
8. CD　因为A∈α，A∈γ，B∈α，B∈γ，C∈β，C∈γ，D∈β，D∈γ，所以点A在α与γ的交线上，点B在α与γ的交线上，点C在β与γ的交线上，点D在β与γ的交线上，故选CD.
9. ∈　 　 　AC
10. P∈l　由m∩n＝P，得P∈m，P∈n，而m α，n β，则P∈α，P∈β.又α∩β＝l，所以P∈l.
11. 6＋3　令直线EF与直线AD，CD分别交于点M，N，连接GM，GN分别交AA1，CC1于点K，H，连接EK，FH，则五边形EFHGK是过E，F，G三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面，如图，显然AM＝AE＝CF＝CN＝3，＝＝＝＝，则AK＝CH＝1，FH＝EK＝＝，GH＝GK＝GM＝×＝2.又EF＝3，所以五边形EFHGK的周长为6＋3.
12. 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F.
因为D1F与DA不平行，
所以D1F与DA必相交于一点，设为点P，则P∈D1F，P∈DA.
又因为D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
所以PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．
13. 如图．因为EF∩HG＝P，所以P∈EF.
因为EF 平面ABD，所以P∈平面ABD.
同理，P∈平面CBD，
故P是平面ABD和平面CBD的一个公共点．
又B，D也是平面ABD和平面CBD的公共点，
由基本事实3知，点B，D，P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B，D，P在同一条直线上．
13．2.1　平面的基本性质(2)
1. D　对于A，当三个点共线时，可作无数个平面，故A是假命题；对于B，当这个点在这条直线上时，可作无数个平面，故B是假命题；对于C，两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，故C是假命题；对于D，根据推论3可知，两两平行的三条直线可以确定一个或三个平面，故D是真命题．
2. C　在长方体中，由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面．
3. C　若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，故A错误；若直线AB与CD相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B错误；由空间四点A，B，C，D不共面，可知四点中任何三点都不共线(否则四点共面)，故C正确；若直线AB与CD平行，则空间四点A，B，C，D共面，故D错误．
4. C　在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面．如图，PA，PB，PC相交于一点P，且PA，PB，PC不共面，则PA，PB确定一个平面PAB，PB，PC确定一个平面PBC，PA，PC确定一个平面PAC.
5. C　对于A，由A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得a β，故A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线MN α，直线MN β，故B正确；对于C，由A∈α，A∈β，则平面α和平面β相交于一条经过点A的直线，故C不正确；对于D，由A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M三点不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得α，β重合，故D正确．
6. A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，BD1，如图，C1D1∥CD∥AB，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1.因为M为棱D1C1的中点，所以M∈平面ABC1D1.又A∈平面ABC1D1，所以AM 平面ABC1D1.又O∈AM，所以O∈平面ABC1D1.因为AM与平面BB1D1D的交点为O，所以O∈平面BB1D1D，所以O∈BD1，即D1，O，B三点共线．显然D1M∥AB，且D1M＝D1C1＝AB，则OD1＝OB，即OB＝2OD1，所以D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1.
7. ABC　对于A，B，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误；对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误；对于D，如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确．故选ABC.
8. CD　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，而a α，故A错误；当a∩β＝P时，若a∩b＝P，b β，则a β，故B错误；a∥b，P∈b，则P a，由直线a与点P确定唯一平面α，由a与b确定唯一平面，且该平面经过直线a与点P，所以该平面与α重合，则b α，故C正确；两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．故选CD.
9. 4　如图，四条线段用实线表示，可补成一个三棱锥，其可确定4个平面．
10. 必要且不充分　空间中的三条直线l，m，n不过同一个点，当l，m，n共面时，l，m，n不一定两两相交，也可能两两平行，所以充分性不成立；当三条直线l，m，n两两相交时，直线l，m，n一定共面，所以必要性成立．故“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要且不充分条件．
11. 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接B1D1，A1C1，相交于点E，连接BD，BE.显然平面BDD1B1∩平面A1BC1＝BE，B1D 平面BDD1B1，H∈B1D，H∈平面A1BC1，则H∈BE，即BE∩B1D＝H.又正方体ABCDA1B1C1D1的对角面BDD1B1是矩形，所以B1E∥BD.因为B1E＝BD，所以＝＝，所以λ＝＝.
12. 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
因为l1 β，l2 β，且l1，l2不平行，
所以l1与l2必相交．
设l1∩l2＝P，则P∈l1，P∈l2.
因为l1 α，所以P∈α.
因为l2 γ，所以P∈γ.
因为α∩γ＝l3，所以P∈l3，
所以l1，l2，l3相交于一点P.
13. (1) 因为P∈B1D，B1D 平面BB1D1D，
所以P∈平面BB1D1D.
又P∈平面A1BC1，所以P是平面BB1D1D与平面A1BC1的公共点．
又因为平面BB1D1D∩平面A1BC1＝BO1，
所以P∈BO1.
又因为P∈B1D，所以B1D∩BO1＝P，
即P为线段B1D与BO1的交点．
(2) 如图，连接BD，连接BD1交DB1于点M.
由(1)知P为BO1与B1D的交点．
因为DD1∥BB1，DD1＝BB1，
所以四边形D1DBB1为平行四边形，
所以M是BD1的中点．
又O1是B1D1的中点，
所以P是△BB1D1的边B1D1，BD1上中线的交点，
所以点P是△BB1D1的重心，
所以B1P＝B1M＝DB1，
所以DP＝DB1.
又因为AB＝3，BC＝4，CC1＝6，
所以DB1＝＝，
故DP＝DB1＝.