13.2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面垂直 练习（3课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面垂直(1)
一、 单项选择题
1 (2024湖南月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)
A. 平面DD1C1C
B. 平面A1DB1
C. 平面A1B1C1D1
D. 平面A1DB
2 (2023邵东一中期中)已知两条不同的直线l，m和一个平面α，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若l⊥m，m∥α，则l⊥α
B. 若l⊥m，l⊥α，则m∥α
C. 若l⊥α，m∥α，则l⊥m
D. 若l∥α，m∥α，则l∥m
3 若一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 垂直
C. 相交不垂直 D. 不确定
4 (2024长春期中)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，取EF的中点为O，则在这个空间图形中必有(　　)
A. AO⊥OG B. AE⊥AF
C. AG⊥OG D. AE⊥OG
5 如图，点A∈α，点B∈α，点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A，B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是(　　)
A. 一条线段，但要去掉两个点
B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 两条平行直线
D. 半圆，但要去掉两个点
6 如果点P在平面ABC上的射影为点O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的(　　)
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
二、 多项选择题
7 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论中正确的有(　　)
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
8 下列命题中，正确的是(　　)
A. 若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直
B. 若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直
C. 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线
D. 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线
三、 填空题
9 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
10 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．
(第10题) (第11题)
11 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，则AE的长为________．
四、 解答题
12 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
(1) 求证：直线AE⊥直线A1D；
(2) 在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.
13 (2024崇左期末)如图，空间四边形ABCD的每条边和AC，BD的长都等于a，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
13．2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面垂直(2)
一、 单项选择题
1 (2024郑州期中)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B. 若m α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
C. 若l∥m，m⊥α，n⊥α则l⊥n
D. 若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
2 在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则 点D 到平面SBC的距离等于(　　)
A. B. C. D.
3 如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AC＝4BD＝3AB＝12，则C，D两点间的距离为(　　)
A. 19 B. 17 C. 15 D. 13
(第3题) (第4题)
4 (2023银川月考)如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，点H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹(　　)
A. 是圆 B. 是直线
C. 是抛物线 D. 不是平面图形
5 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是边CD的中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C 到平面ABD′距离的最大值为(　　)
　
A. B. C. D. 1
6 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝. 将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折过程中(　　)
A. 存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D. 对任意位置，三组直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
二、 多项选择题
7 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF将这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则下列结论中成立的是(　　)
A. SG⊥平面EFG B. SE⊥平面EFG
C. GF⊥SE D. EF⊥平面SEG
8 (2024河南月考)如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，AF及EF将这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合于点S，得到四面体S-AEF(如图2)，顶点S在底面AEF上的射影为O，则下列结论中正确的是(　　)
图1 图2
A. SA⊥EF
B. 点O为△AEF的外心
C. 点O到三个侧面距离的平方和等于SO2
D. S＝S＋S＋S
三、 填空题
9 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥AC，EC⊥BC，且EC＝12，则ED＝________．
(第9题) (第10题) (第11题)
10 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
11 (2024枣庄期末)如图，M，N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，总有MP⊥BN，则点P的轨迹所围成图形的面积为________．
四、 解答题
12 (2023洛宁县第一高级中学月考)如图1，△ABC为等腰直角三角形，B＝90°，AB＝2，△ACD为等边三角形，O为边AC的中点，点E在边BC上，且EC＝2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得FB＝4.
(1) 求证：FO⊥平面ABC；
(2) 求点A到平面OEF的距离．
图1 图2
13 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝.
(1) 求证：PA⊥平面ABC；
(2) 过点C作CF⊥PB交PB于点F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF，求点E的位置．
13．2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面垂直(3)
一、 单项选择题
1 若斜线段AB是它在平面α内的射影长的 2倍，则线段AB与平面α所成的角的大小为(　　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°
2 (2023泉州期末)若直线l与平面α所成的角为，直线a在平面α内，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3 (2024宿迁月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
4 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
(第4题)　 (第5题)
5 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成角的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
6 在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝2，M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB＝1，AD＝3，直线PM与平面ABCD所成的角为，记点M的轨迹长度为α，则tan α等于(　　)
A. B. 1 C. D. 2
二、 多项选择题
7 (2023河北月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝4，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线AD1与CB1所成的角为45°
B. 直线AD1与CA1所成的角为90°
C. 直线AD1与平面ABCD所成的角为30°
D. 直线AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
8 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. CD⊥AN
B. BD⊥PC
C. PB⊥平面ANMD
D. BD与平面ANMD所成的角为30°
三、 填空题
9 如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成角的大小为________．
(第9题) (第11题)
10 从一点O出发的三条射线OA，OB，OC两两成60°角，则OA与平面OBC所成角的余弦值为________．
11 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝AA1＝a，BC＝b.若直线A1B与平面A1DCB1所成角的正弦值为，则的值为________．
四、 解答题
12 (2024上海期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB.
(1) 求证：直线BD⊥平面PAC；
(2) 求直线PB与平面PAC所成角的大小．
13 (2024西安月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB1⊥AB.
(1) 求证：MC1⊥AB.
(2) 若AB＝BC＝2，BB1＝4，MB1＝，求直线B1C与平面MB1C1所成角的正弦值．
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(1)
1. B　如图，连接A1D，DB1.因为四边形A1 D1DA是正方形，所以A1D⊥AD1.又由正方体的性质可得，A1B1⊥AD1，又因为A1D∩A1B1＝A1，A1D 平面A1DB1，A1B1 平面A1DB1，所以AD1⊥平面A1DB1.
2. C　对于A，若l⊥m，m∥α，则l⊥α或l α或l∥α或l与α相交，故A错误；对于B，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m α，故B错误；对于C，m∥α，过m的平面交α于直线n，则有m∥n，而l⊥α，则有l⊥n，所以l⊥m，故C正确；对于D，若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故D错误．
3. B　如果一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，所以这条直线必与第三边垂直．
4. C　由题意，得AG⊥EG，AG⊥FG，EG∩FG＝G，EG 平面EFG，FG 平面EFG，所以AG⊥平面EFG.又OG 平面EFG，所以AG⊥OG，而点O，G不重合，故C正确，A错误；显然∠EAF<∠BAD＝，故B错误；若AE⊥OG，因为AG⊥OG，AE∩AG＝A，AE 平面AEG，AG 平面AEG，所以OG⊥平面AEG，又GE 平面AEG，所以OG⊥GE.在Rt△GEF中，O为斜边EF的中点，所以∠EGO<，与OG⊥GE矛盾，故D错误．
5. B　连接BC.因为点A∈α，点C∈α，所以AC α.因为PB⊥α，所以PB⊥AC.因为PC⊥AC，PB∩PC＝P，PB 平面PBC，PC 平面PBC，所以AC⊥平面PBC.又BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
6. C　如图，因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，所以PC⊥平面PAB.因为AB 平面PAB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则PO⊥平面ABC.因为AB 平面ABC，所以PO⊥AB.又PC∩PO＝P，PC 平面PCO，PO 平面PCO，所以AB⊥平面PCO.因为CO 平面PCO，所以CO⊥AB. 同理可证AO⊥BC，故点O是△ABC的垂心．
7. ABC　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD.又PA＝AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB.又PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD⊥平面PBC.因为PC 平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正确；由BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，故D错误．故选ABC.
8. BC　对于A，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，故A错误；对于B，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，故B正确；对于C，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰所在的直线是相交直线．若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则可得直线垂直于梯形所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，故C正确；对于D，因为梯形的两底边所在的直线相互平行，根据线面垂直的判定定理，直线与这个平面不一定垂直，所以这条直线不一定垂直于两腰所在的直线，故D错误．故选BC.
9. 菱形　连接AC.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA 平面PAC，PC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又AC 平面PAC，所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD一定是菱形．
10. 4　由PA⊥平面ABC，得△PAC，△PAB是直角三角形．因为∠ACB＝90°，所以△ABC是直角三角形，所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有4个直角三角形，分别为△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.
11. 　因为BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，所以BE2＝BC2＋CE2＝2.因为AB⊥平面BCD，BE 平面BCD，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝.
12. (1) 如图1，连接AD1，BC1.
由正方体的性质可知A1D⊥AD1，A1D⊥AB.
又AB∩AD1＝A，AB 平面ABC1D1，AD1 平面ABC1D1，
所以A1D⊥平面ABC1D1.
又AE 平面ABC1D1，所以A1D⊥AE.
(2) 如图2，点G即为点A1.证明如下：
由(1)可知AE⊥A1D，取CD的中点H，连接AH，EH，A1F.
易知DF⊥AH，DF⊥EH.
又AH∩EH＝H，AH 平面AHE，EH 平面AHE，
所以DF⊥平面AHE.
又AE 平面AHE，所以DF⊥AE.
又DF∩A1D＝D，DF 平面DFA1，A1D 平面DFA1，
所以AE⊥平面DFA1.
又点G在线段AA1上，
所以当点G为点A1时，AE⊥平面DFG.
图1 图2
13. 如图，连接CM，DM，AN，BN.
因为AB＝BC＝AC＝AD＝BD＝CD＝a，M为AB的中点，
所以CM⊥AB，DM⊥AB.
因为CM∩DM＝M，CM 平面CDM，DM 平面CDM，
所以AB⊥平面CDM.
因为MN 平面CDM，所以MN⊥AB，
同理可证MN⊥CD.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(2)
1. D　对于A，由m α，n α，l⊥m，l⊥n，只有直线m与n相交时，可得l⊥α，故A错误；对于B，由m α，n⊥α，l⊥n，得l与m平行、相交或异面，故B错误；对于C，由l∥m，m⊥α，n⊥α，得l∥n，故C错误；对于D，由l∥m，l⊥α，得m⊥α.又因为m∥n，所以n⊥α，故D正确．
2. C　如图，过点A作AE⊥SB交SB于点E. 因为SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA 平面SAB，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB＝B，SB 平面SBC，BC 平面SBC，所以AE⊥平面SBC. 在Rt△SAB中，由勾股定理可得SB＝5，所以AE＝.在Rt△ABE中，D为AB的中点，所以点D到平面SBC的距离为.
3. D　如图，连接AD.因为BD⊥AB，所以AD＝＝5.又因为AC⊥α，AD α，所以AC⊥AD，所以CD＝＝13.
4. A　因为点H是点B在AC上的射影，所以BH⊥AC，所以点H在以AB为直径的球面上．记BC0是已知定圆的一条直径，连接AC0.当点C运动至点C0处时，由线段AB，直径BC0的长为定值，可知线段AC0的长也为定值，记此时点B在AC0上的射影为点H0，则有BH0⊥AC0.连接CC0，HH0，则CC0⊥BC.由CC0⊥BC，CC0⊥AB，可得CC0⊥平面ABC，则有CC0⊥BH.又BH⊥AC，可得BH⊥平面ACC0，则有BH⊥AC0.又BH0⊥AC0，可得AC0⊥平面BHH0，所以点H在过点H0且与AC0垂直的平面上，所以点H的轨迹是球面与平面的交线——圆，故选A.
5. B　由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥D′ABCE中，底面ABCE为边长是1的正方形．在侧面D′EA中，D′E⊥AE，且D′E＝AE＝1.因为AE⊥D′E，AE⊥CE，D′E∩CE＝E，D′E 平面D′CE，CE 平面D′CE，所以AE⊥平面D′CE.作D′M⊥CE于点M，作MN⊥AB于点N，连接D′N，则由AE⊥平面D′CE，可得D′M⊥AE.又AE∩CE＝E，AE 平面ABCE，CE 平面ABCE，所以D′M⊥平面ABCE.又AB 平面ABCE，所以D′M⊥AB.因为MN⊥AB，D′M∩MN＝M，D′M 平面D′MN，MN 平面D′MN，所以AB⊥平面D′MN.在△D′MN中，作MH⊥D′N于点H，则AB⊥MH.因为D′N∩AB＝N，D′N 平面ABD′，AB 平面ABD′，所以MH⊥平面ABD′.又由题意可得CE∥平面ABD′，所以MH即为点C到平面ABD′的距离．在Rt△D′MN中，D′M⊥MN，MN＝1.设D′M＝x，则06. B　假设存在某个位置，使得AC⊥BD，如图，作AE⊥BD于点E，则BD⊥平面AEC，所以BD⊥EC.由△EBA∽△ABD，得AB2＝BE·BD，BE＝，由△BEC∽△BCD，得BC2＝BE·BD，BE＝，两者矛盾，故A错误；假设存在某个位置，使得AB⊥CD，又AB⊥AD，AD，CD为平面ACD内的相交直线，所以AB⊥平面ACD，可得AB⊥AC，即AC＝1，故B正确，D错误；假设存在某个位置，使得AD⊥BC，又AD⊥AB，BC，AB为平面ABC内的相交直线，所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，而斜边CD小于直角边AD，两者矛盾，故C错误．
　
7. AC　由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，GE 平面EFG，GF 平面EFG，得SG⊥平面EFG，故A正确；同理GF⊥平面GSE，所以GF⊥SE，故C正确；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，故B错误；同理可得D也错误．故选AC.
8. ACD　因为SA⊥SE，SA⊥SF，SE∩SF＝S，SE 平面SEF，SF 平面SEF，所以SA⊥平面SEF.又EF 平面SEF，所以SA⊥EF，故A正确；因为SO⊥平面AEF，EF 平面AEF，所以SO⊥EF.又SA⊥EF，SO∩SA＝S，SO 平面SAO，SA 平面SAO，所以EF⊥平面SAO.又AO 平面SAO，所以AO⊥EF.同理可得EO⊥AF，FO⊥AE，所以点O为△AEF的垂心，故B错误；如图1，以SO为体对角线构造长方体，其中OG⊥平面SEF，OI⊥平面SAE，OH⊥平面SAF.又OG2＋OH2＋OI2＝SO2，所以点O到三个侧面距离的平方和等于SO2，故C正确；如图2，取EF的中点M，连接SM，AM，则SM⊥EF，AM⊥EF，S＝AM2·EF2＝(SA2＋SM2)(SE2＋SF2)＝(SA2·SE2＋SM2·SE2＋SA2·SF2＋SM2·SF2)＝(SA2·SE2＋SA2·SF2＋SM2·EF2)＝S＋S＋S，故D正确．故选ACD.
图1 图2
9. 13　因为△ABC为直角三角形，∠ACB为直角，所以AB＝＝10.因为D为AB的中点，所以CD＝5.又EC⊥AC，EC⊥BC，AC∩BC＝C，AC 平面ABC，BC 平面ABC，所以EC⊥平面ABC.因为CD 平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝＝13.
10. 4　如图，取BC的中点N，连接AN，PN.因为AB＝AC＝5，BC＝6，N为BC的中点，所以AN⊥BC，AN＝＝4.因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，AN 平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AN，所以PN＝＝4.又PA∩AN＝A，PA 平面APN，AN 平面APN，所以BC⊥平面APN.因为PN 平面APN，所以BC⊥PN，所以点P到BC的距离为PN＝4.
11. 　如图，取BB1的中点G，连接DM，MG，GA.设AG∩BN＝F，则NB1＝GB，∠NB1B＝∠GBA＝90°，B1B＝BA，所以△NB1B≌△GBA，所以∠NBB1＝∠GAB.因为∠FGB＋∠GAB＝90°，所以∠FGB＋∠NBB1＝90°，所以∠GFB＝90°，即AG⊥BN.易知AD⊥平面AA1B1B，BN 平面AA1B1B，所以AD⊥BN.因为AD 平面ADMG，AG 平面ADMG，AD∩AG＝A，所以BN⊥平面ADMG.易知AD⊥平面AA1B1B，AG 平面AA1B1B，所以AD⊥AG，所以点P的轨迹为矩形ADMG.在Rt△ABG中AG＝＝＝，所以矩形ADMG的面积为AG·AD＝×1＝，即点P的轨迹所围成图形的面积为.
12. (1) 如图，连接OB.
因为△ABC为等腰直角三角形，且B＝90°，AB＝2，O为边AC的中点，
所以AC＝4，OB＝AC＝2.
易知在等边三角形FAC中，有FO⊥AC，且FO＝4×sin 60°＝2.
因为FB＝4，所以FO2＋OB2＝FB2，
即FO⊥OB.
又因为AC∩OB＝O，AC 平面ABC，OB 平面ABC，
所以FO⊥平面ABC.
(2) 如图，过点A作AM⊥OE，垂足为M.
由(1)知FO⊥平面ABC，
因为AM 平面ABC，所以FO⊥AM.
又因为AM⊥OE，OE∩OF＝O，OE 平面OEF，OF 平面OEF，所以AM⊥平面OEF，
所以AM的长度即为点A到平面OEF的距离．
在△OCE中，OC＝2，CE＝，∠BCA＝45°，
由余弦定理可得OE2＝22＋－2×2××＝，即OE＝，
由正弦定理可得＝，
即×＝，
解得sin ∠COE＝，
所以AM＝AO sin ∠COE＝，
即点A到平面OEF的距离为.
13. (1) 由已知得PC2＝PA2＋AC2，PB2＝PA2＋AB2,
所以PA⊥AC，PA⊥AB.
又AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC.
(2) 因为CF⊥PB，
所以只要PB⊥CE，就有PB⊥平面CEF.
因为PA⊥平面ABC，CE 平面ABC，
所以PA⊥CE.
又PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，
所以CE⊥平面PAB.
因为AB 平面PAB，所以CE⊥AB.
设BE＝x. 因为AB2＝AC2＋BC2，
所以∠ACB＝90°，所以△ACB∽△CEB，
所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝，
故点E在线段AB上且满足BE＝时，有PB⊥平面CEF.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(3)
1. A　如图，设点A在平面α内的射影为点H，所以斜线段AB在平面α内的射影为BH，所以AB与平面α所成的角为∠ABH.在Rt△ABH中，AB＝2BH，则∠ABH＝60°.
2. C　由题意可知直线l与直线a所成角的最小值为直线l与平面α所成的角，所以直线l与直线a所成角的最小值为.因为直线l与直线a所成角的最大值为，所以直线l与直线a所成角的取值范围是.
3. D　如图，连接B1D1，A1C1，相交于点O，连接AO.由AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，得AA1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1 平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角．在Rt△AOB1中，∠AOB1＝，OB1＝AB＝AB1，所以∠B1AO＝，所以直线AB1与平面ACC1A1所成的角为.
4. C　如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C，所以AE⊥DE，所以∠ADE即为AD与平面BB1C1C所成的角．设三棱柱的棱长为a，则DE＝，AE＝，所以tan ∠ADE＝＝，即∠ADE＝60°.
5. C　因为PA＝PB＝PC，所以点P在底面的射影O是△ABC的外心．又∠BAC＝90°，所以射影O为BC的中点，所以AO为PA在底面ABC的射影，∠PAO即为所求的角．在等边三角形PBC中，PO＝PB＝PA，所以sin ∠PAO＝＝.又因为∠PAO为锐角，所以∠PAO＝60°，即PA与底面ABC所成角的大小为60°.
6. C　如图1，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PMA即为直线PM与平面ABCD所成的角，所以∠PMA＝.因为AP＝2，所以AM＝2，所以点M位于矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，则点M的轨迹为圆弧EF，如图2，连接AF，则AF＝2.因为AB＝1，∠ABF＝，所以∠AFB＝∠FAE＝，则弧EF的长度α＝×2＝，所以tan α＝.
图1 图2
7. CD　对于A，如图，连接BC1交CB1于点E.因为AB∥D1C1，AB＝D1C1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，则有AD1∥BC1，故∠BEB1即为直线AD1与CB1所成的角或其补角．因为AB＝BC＝4，AA1＝BB1＝4，所以在Rt△B1BC中，可得∠BB1C＝60°，又BE＝B1E，则∠BEB1＝60°，所以直线AD1与CB1所成的角为60°，故A错误；对于B，连接A1D.若直线AD1与CA1所成的角为90°，则AD1⊥CA1.因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以AD1⊥CD，又CA1∩CD＝C，CA1 平面CDA1，CD 平面CDA1，所以AD1⊥平面CDA1.因为A1D 平面CDA1，所以AD1⊥A1D，结合A选项可知直线AD1与A1D所成的角为60°，两者矛盾，故B错误；对于C，因为DD1⊥平面ABCD，所以∠D1AD即为直线AD1与平面ABCD所成的角．因为DD1＝4，AD＝4，所以∠D1AD＝30°，故C正确；对于D，连接AC交BD于点O，连接D1O.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，即AO⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD，AO 平面ABCD，所以DD1⊥AO.又D1D∩BD＝D，D1D 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，所以AO⊥平面BB1D1D，则∠AD1O为直线AD1与平面BB1D1D所成的角，而AD1＝＝8，AO＝AC＝2，所以sin ∠AD1O＝＝＝，故D正确．故选CD.
8. CD　对于A，因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以AD⊥平面PAB.又AN 平面PAB，所以AD⊥AN.若CD⊥AN，又CD∩AD＝D，CD 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AN⊥平面ABCD，与PA⊥平面ABCD矛盾，故A错误；对于B，因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.若BD⊥PC，又PA∩PC＝P，PA 平面PAC，PC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，可得BD⊥AC. 在题中给出的直角梯形ABCD中，显然不可能，故B错误；对于C，因为PA＝AB，N为PB的中点，所以PB⊥AN.由选项A可知，AD⊥平面PAB，因为PB 平面PAB，所以AD⊥PB，又AN∩AD＝A，AN 平面ANMD，AD 平面ANMD，所以PB⊥平面ANMD，故C正确；对于D，连接DN.因为PB⊥平面ANMD，DN 平面ANMD，所以PB⊥DN，所以DN为BD在平面ANMD内的射影，则∠BDN是BD与平面ANMD所成的角．在Rt△BDN中，sin ∠BDN＝＝＝，所以BD与平面ANMD所成的角为30°，故D正确．故选CD.
9. 　如图，由题意可知，∠ABC＝，母线与水平面所成的角为∠EDB＝∠DBF＝－＝.
10. 　如图，在射线OA上任取一点P，过点P作PM⊥OB，PN⊥OC，垂足分别为M，N.由题意可得△POM≌△PON，OM＝ON＝OP，过点P作PQ⊥平面OBC，垂足为Q，连接QM，QN，QO.因为PQ⊥平面OBC，OM 平面OBC，则PQ⊥OM.又PQ∩PM＝P，PQ 平面PQM，PM 平面PQM，所以OM⊥平面PQM.又QM 平面PQM，所以OM⊥QM，同理可得ON⊥QN，则△OQM≌△OQN，可得∠MOQ＝∠NOQ＝30°，则OQ＝＝＝OP，所以OA与平面OBC所成的角为∠POQ，其余弦值cos ∠POQ＝＝＝.
11. 　如图，过点B作BE⊥B1C于点E，连接A1E.因为A1B1⊥平面BB1C1C，BE 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BE.又A1B1∩B1C＝B1，A1B1 平面A1DCB1，B1C 平面A1DCB1，所以BE⊥平面A1DCB1，所以A1E为A1B在平面A1DCB1内的射影，则∠BA1E即为直线A1B与平面A1DCB1所成的角．因为BE＝＝，A1B＝a，所以sin ∠BA1E＝＝＝，可得 2a2＝7b2，所以＝.
12. (1) 在四棱锥P-ABCD中，由PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，得BD⊥PA.
由四边形ABCD为正方形，得BD⊥AC.
又AC∩PA＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，
所以直线BD⊥平面PAC.
(2) 如图，设AC与BD交于点O，连接PO.
由(1)知，直线BD⊥平面PAC，则∠BPO是直线PB与平面PAC所成的角，
显然BO＝BD＝·AB＝PB.
又PO 平面PAC，
所以BO⊥PO，则∠BPO＝，
所以直线PB与平面PAC所成角的大小为.
13. (1) 如图，取AB的中点N，连接NB1，NM.
因为M为AC的中点，所以NM∥BC.
又AB⊥BC，所以AB⊥MN.
因为B1C1∥BC，所以B1C1∥MN，
所以M，N，B1，C1四点共面．
因为AB⊥MN，MB1⊥AB，MB1∩MN＝M, MB1，MN均在平面MNB1C1内，所以AB⊥平面MNB1C1.
又因为MC1 平面MNB1C1，
所以MC1⊥AB.
(2) 因为AB⊥平面MNB1C1，NB1 平面MNB1C1，MB1 平面MNB1C1，
所以AB⊥NB1，AB⊥MB1.
又AB＝BC＝2，BB1＝4，由NB＋NB2＝BB，得NB1＝.
因为MN＝＝1，MB1＝，
所以MB＋MN2＝B1N2，则MB1⊥MN.
因为MN∩AB＝N，MN，AB均在平面ABC内，
所以MB1⊥平面ABC.
又MC 平面ABC，所以MB1⊥MC，
所以B1C＝＝4.
设点C到平面MB1C1的距离为d.
由(1)知AB⊥平面MB1C1.
因为BC∥MN，BC 平面MB1C1，MN 平面MB1C1，
所以BC∥平面MB1C1，
所以d＝BN＝1.
设直线B1C与平面MB1C1所成的角为θ，则sin θ＝＝，
所以直线B1C与平面MB1C1所成角的正弦值为.