13.2.2　空间两条直线的位置关系 练习（2课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.2　空间两条直线的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 (2024北京期中)已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c(　　)
A. 一定异面 B. 一定相交
C. 不可能平行 D. 不可能相交
2 (2024河北期中)如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，则下列直线中与直线AD是异面直线的是(　　)
A. FG
B. EH
C. EF
D. BC
3 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR的大小为(　　)
A. 30° B. 30°或150°
C. 150° D. 以上结论都不对
4 (2023南昌月考)在长方体A1B1C1D1-ABCD中，各个面的对角线所在的直线中与面对角线AB1平行的有(　　)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
5 已知a，b为异面直线，a α，b β，α∩β＝c，则直线c一定(　　)
A. 同时和直线a，b相交
B. 至少与直线a，b中的一条相交
C. 至多与直线a，b中的一条相交
D. 与直线a，b中一条相交，一条平行
6 如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. EF与GH平行
B. EF与GH异面
C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D. EF与GH的交点M一定在直线AC上
二、 多项选择题
7 下列关于异面直线的说法中，错误的是(　　)
A. 若a α，b β，则a与b是异面直线
B. 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C. 若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D. 若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
8 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　)
A. AB1
B. A1C
C. A1A
D. AD1
三、 填空题
9 如图，在长方体ABCD-EFGH中，M，N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD，CD，BF中，与直线MN是异面直线的共有________条．
10 已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是________
_________________________．
11 (2024东莞期中)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为B1C1的中点，则过B，D，E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为________．
四、 解答题
12 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：
(1) D1E∥BF；
(2) ∠B1BF＝∠A1ED1.
13 (2023河北期中)如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1) 求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2) C，D，F，E四点是否共面？为什么？
13．2.2　空间两条直线的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面ABCD的对角线AC异面的棱有(　　)
A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
2 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. l1⊥l4
B. l1∥l4
C. l1与l4既不垂直也不平行
D. l1与l4的位置关系不确定
3 (2024浙江期中)已知正方体的平面展开图如图所示，AB，CD，EF，GH为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线中互相垂直的有(　　)
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
(第3题) (第4题)
4 (2024重庆期中)如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝6，AD＝BC＝4，M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. － D.
5 (2023合肥一中期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC＝BD＝2，且AC与BD所成的角为60°，则EG的长为(　　)
A. 1 B. C. 1或 D. 或
二、 多项选择题
7 (2023陕西期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，B1C1的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. BD与EF异面
B. A1B1与EF所成的角为45°
C. DD1与EF异面
D. A1B与EF所成的角为45°
8 (2024韶关月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是(　　)
A. 直线AP与直线C1D1所成角的正切值为
B. 当CQ＝时，S为等腰梯形
C. 当CQ＝时，S与C1D1交于点R1，则C1R1＝
D. 当三、 填空题
9 若a，b是所成角为60°的两条异面直线，O为空间内一点，则过点O与a，b均成60°角的直线有______条．
10 如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．
(第10题) (第11题)
11 (2024合肥期中)如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，点E在棱AB上，点F在棱CD上，且＝，设α表示EF与AC所成的角，β表示EF与BD所成的角，则α＋β的值为________．
四、 解答题
12 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝PC，E，F分别是PA，BC的中点，且EF＝AB，求证：PC⊥AB.
13 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1) 写出所有与A1B是异面直线的棱；
(2) 若M，N分别是A1B，BC1的中点，求直线MN与BC所成角的大小．
13．2.2　空间两条直线的位置关系(1)
1. C　若三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c可能相交，也可能异面，不可能平行．若b与c平行，又a与b平行，根据基本事实4，得a与c平行，这与a与c异面矛盾，故b与c不可能平行．
2. C　由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线AD是异面直线的是EF，其中AD∥BC∥EH∥FG，所以AD与BC共面，AD与EH共面，AD与FG共面．
3. B　若AB与PQ，BC与QR方向都相同或相反，则∠PQR＝∠ABC＝30°；若AB与PQ，BC与QR中一对方向相反，一对方向相同，则∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.
4. B　长方体共有6个面，每个面上有2条对角线，共12条对角线．因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D为平行四边形，所以AB1∥DC1，而其他面对角线与AB1相交或异面，所以长方体各个面的对角线所在的直线中与面对角线AB1平行的有1条．
5. B　因为a α，b β，α∩β＝c，a，b为异面直线，所以c不可以与a，b都平行，否则a，b平行，与a，b为异面直线矛盾，故c至少与直线a，b中的一条相交．
6. D　连接EH，FG. 因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，所以GF∥BD，且GF＝BD.因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD，且EH＝BD，所以EH∥GF，且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以点M在直线AC上．
7. ABC　对于A，如图1，此时a与b相交，故A错误；对于B，如图2，此时a与c平行，故B错误；对于C，如图3，此时a与b相交，故C错误；对于D，根据异面直线的定义知，D正确．故选ABC.
图1 图2 图3
8. BCD　对于A，如图1，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A错误；对于B，如图2，因为A1C 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1C，P 平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，如图2，因为A1A 平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O A1A，P 平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，如图3，因为AD1 平面AD1C，O∈平面AD1C，O AD1，P 平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．故选BCD.
图1 图2 图3
9. 2　因为MN∥GH∥CD，所以MN与CD共面；由异面直线的判定定理可得，直线AD，BF均与MN异面，故共有2条．
10. 平行、重合、相交或异面　如图，AC与A1C1的位置关系是平行、重合、相交或异面．
　
　
11. 18　如图，取C1D1的中点F，连接EF，DF，B1D1.因为E为B1C1的中点，所以EF∥B1D1，EF＝B1D1.因为BD∥B1D1，BD＝B1D1，所以EF∥BD，EF＝BD，所以B，D，E，F四点共面，即过B，D，E三点的截面为梯形BDFE.因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，所以EF＝2，BD＝4，BE＝DF＝＝2，所以等腰梯形BDFE的高为＝3，所以梯形BDFE的面积为×(2＋4)×3＝18.
12. (1) 如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1.
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，
所以ED1∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，
所以四边形MBFC1为平行四边形，
所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
(2) 因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
且∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
所以∠B1BF＝∠A1ED1.
13. (1) 因为G，H分别为FA，FD的中点，
所以GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，
所以BC∥GH，BC＝GH，
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2) C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE∥FA，BE＝FA，G是FA的中点，
得BE∥FG，BE＝FG，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，
所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
13．2.2　空间两条直线的位置关系(2)
1. B　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．
2. D　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA. 若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4；若l4＝C1D，则l1与l4相交；若l4＝BA，则l1与l4异面；若l4＝C1D1，则l1与l4相交且垂直，因此l1与l4的位置关系不能确定，故D正确．
3. B　将展开图合成一个正方体，如图所示，连接EH和HF.由正方体的性质，可得AH∥BF，AH＝BF，四边形HCFD为正方形，则四边形AHFB为平行四边形，HF⊥CD，所以AB∥HF，所以AB⊥CD.同理可得EF⊥GH.因为AB∥HF，所以∠EFH为异面直线AB与EF所成的角或其补角．又因为EF＝FH＝EH，所以△EFH为等边三角形，则∠EFH＝60°.同理可得AB与GH所成的角为60°，CD与EF所成的角为60°，CD与GH所成的角为60°.综上，AB与CD相互垂直，AB与EF所成的角为60°，AB与GH所成的角为60°，CD与EF所成的角为60°，CD与GH所成的角为60°，EF与GH相互垂直，故这四条对角线所在直线中相互垂直的有2对．
4. D　如图，连接DN，取DN的中点P，连接PM，PC，则PM∥AN，可知∠PMC即为异面直线AN，CM所成的角(或其补角)，AN＝DN＝＝4，PM＝PN＝AN＝2，PC＝＝＝2，CM＝＝4，所以cos ∠PMC＝＝＝，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为.
5. C　如图，取C1D1的中点F，连接EF，CF，B1D1，易知EF∥B1D1∥BD，所以∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角．因为EF＝B1D1＝，CE＝CF＝＝＝，所以由余弦定理，得cos ∠CEF＝＝＝＝.
6. C　如图，连接HE，HG，EG.在△ABD中，因为H，E分别是AD，AB的中点，所以HE∥BD，且HE＝1.在△ACD中，因为H，G分别是AD，CD的中点，所以HG∥AC，且HG＝1.因为AC与BD所成的角为60°，所以∠EHG＝60°或∠EHG＝120°.当∠EHG＝60°时，△EHG为等边三角形，所以EG＝1；当∠EHG＝120°时，由余弦定理可得EG2＝1＋1－2×1×1×＝3，即EG＝，所以EG的长为1或.
7. AD　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，B1C1的中点．对于A，BD与EF异面，故A正确；对于B，A1B1与BB1所成的角为90°，又BB1∥EF，所以A1B1与EF所成的角为90°，故B错误；对于C，由DD1∥BB1∥EF，得DD1与EF共面，故C错误；对于D，A1B与BB1所成的角为45°，又BB1∥EF，所以A1B与EF所成的角为45°，故D正确．故选AD.
8. ABC　对于A，AB∥CD∥C1D1，直线AP与直线C1D1所成的角为∠BAP，则tan ∠BAP＝＝，故A正确；对于B，如图1，CQ＝，即Q为CC1的中点，此时PQ∥BC1∥AD1，AP＝QD1＝＝，PQ＝＝AD1，则截面APQD1为等腰梯形，故B正确；对于C，如图2，CQ＝，连接AP并延长交DC的延长线于点M，直线MQ交C1D1于点R1.由C1R1∥CM，得＝＝，由P是BC的中点，CP∥AD，得CM＝CD＝1，所以C1R1＝，故C正确；对于D，当图1 图2
9. 3　如图，将异面直线a，b平移至共交点O的a′，b′处，在平面α中，s为a′与b′所成锐角的角平分线，将s绕点O往平面α正上方旋转得l，将s绕点O往平面α正下方旋转得m，且m，l与a′，b′均成60°角. 在平面α中，k为a′，b′所成补角的角平分线，且k与a′，b′均成60°角，所以通过图形，可知过点O与a，b均成60°角的直线有3条．
10. 　如图，取PD的中点F，BC的中点G，连接EF，FG，GD，则EF∥AD∥BC，且EF＝AD＝BC，BG＝BC，所以四边形EFGB为平行四边形，所以EB∥FG，EB＝FG，故∠GFD或其补角为异面直线BE与PD所成的角．由题意，得△PAB为等边三角形，BE为其高线，长度为，则FG＝，DG＝＝，FD＝1.根据余弦定理可得cos ∠GFD＝＝－.因为异面直线夹角为直角或锐角，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.
11. 　作EG∥AC交BC于点G，连接GF，则＝.而＝，所以＝，则FG∥BD.由AC⊥BD，得EG⊥FG，所以∠EGF＝.又EG∥AC，FG∥BD，所以α＝∠FEG，β＝∠EFG，故α＋β＝π－∠EGF＝.
12. 取PB的中点M，连接EM，MF.
在△PAB中，因为E，M分别是PA，PB的中点，所以EM是△PAB的中位线，
所以EM∥AB，EM＝AB.
同理可得FM∥PC，FM＝PC，
所以EM与FM所成的锐角(或直角)即为直线AB与PC所成的角．
又因为AB＝PC，EF＝AB，
所以EM＝FM＝AB，
所以在△EFM中，有EM2＋FM2＝EF2，
所以EM⊥FM，所以PC⊥AB.
13. (1) 与A1B是异面直线的棱有AD，DC，CC1，DD1，C1D1，B1C1.
(2) 如图，连接BC1，MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B，BC1的中点，
所以A1C1∥MN.
又A1C1∥AC，所以MN∥AC，
则∠ACB为MN与BC所成的角．
在△ACB中，因为AB＝CB，AB⊥CB，
所以∠ACB＝，
故直线MN与BC所成角的大小为.