13.2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面平行 练习（2课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面平行(1)
一、 单项选择题
1 (2024周口月考)已知直线a与平面α没有公共点，直线b α，则a与b的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 异面
C. 相交 D. 平行或异面
2 (2023滨州期中)设a，b是两条不同的直线，α是平面，b α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024沧州期中)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B. 若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与l平行
C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
4 (2024连云港期中)在空间四边形ABCD中，H，G分别为BC，CD的中点，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，则下列结论中正确的是(　　)
A. BD∥平面EFGH且四边形EFGH为矩形
B. HG∥平面ABD且四边形EFGH为菱形
C. HE∥平面ADC且四边形EFGH为平行四边形
D. EF∥平面BCD且四边形EFGH为梯形
5 (2023石家庄新乐一中期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若M为A1B1的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A. BC1∥平面D1MC
B. C1D1∥平面ACM
C. CM∥平面A1BD
D. B1C∥平面D1MB
6 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有以下结论：①水的形状始终呈棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终与水面EFGH平行．其中正确结论的序号为(　　)
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、 多项选择题
7 (2023邯郸大名县一中期中)已知a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中是假命题的是(　　)
A. 若a∥b，b α，则a∥α
B. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b，b∥α，则a∥α
D. 若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
8 (2024佛山期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上异于端点的动点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线MP与直线BN是异面直线
B. 直线MN与直线BP是相交直线
C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
D. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
三、 填空题
9 (2023临沂月考)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD.
(第9题) (第10题)
10 如图，A是平面BCD外的一点，E，F，G分别是BD，CD，AC的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线为________．
11 (2024安徽月考)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕将△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图2)，则在下列结论中，正确结论的序号为________．
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
图1 图2
　
四、 解答题
12 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，DC＝3，点E在棱PC上，且PE＝2EC.求证：BE∥平面PAD.
13 (2023广东期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点．
(1) 设平面PQC与直线AA1交于点R，求的值；
(2) 在线段CC1上是否存在点M，使得BM∥平面PQC？若存在，求出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．
13．2.3　直线与平面的位置关系——直线与平面平行(2)
一、 单项选择题
1 (2024福建月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B. 若直线a在平面α外，则a∥α
C. 若直线a∥b，b α，则a∥α
D. 若直线a∥b，b α，则直线a就平行于平面内的无数条直线
2 如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于(　　)
A. 4.5 B. 5
C. 5.4 D. 5.5
(第2题)　 (第3题)
3 (2024烟台月考)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，从A，B，C，A1，B1，C1中取3个点确定平面α，若平面α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是(　　)
A. A1，B，C B. A1，B，C1
C. A，B，C1 D. A，B1，C1
4 (2023洛阳期中)如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，M，C为底面圆周上的点，且将弧AB三等分．过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则 的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1的长为(　　)
A. 2 B. C. D. 1
6 (2023渭南期末)一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是(　　)
A. 梯形 B. 菱形
C. 平行四边形 D. 任意四边形
二、 多项选择题
7 (2024安徽月考)若直线a平行于平面α，则下列结论中正确的是(　　)
A. 平面α内有且只有一条直线与a平行
B. 平面α内有无数条直线与a平行
C. 平面α内存在无数条与a不平行的直线
D. 平面α内任意一条直线都与a平行
8 (2024南昌开学考试)在下列底面为平行四边形的四棱锥中，M，S，T，P，Q是四棱锥的顶点或棱的中点(如图)，则PQ∥平面MST的有(　　)
A B C D
三、 填空题
9 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则的值为________．
10 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，且AP＝，过点P，M，N的平面与棱CD交于点Q，则PQ＝________．
11 (2024巴中期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________．
四、 解答题
12 (2024广州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
(1) 求证：MN∥平面PAD；
(2) 若平面PAD∩平面PBC＝l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论．
13 (2024浙江期中)如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD为直角梯形，DC＝2AB，GC＝2FG，平面ABFE∩平面CDEF＝EF.求证：
(1) AF∥平面BDG；
(2) AB∥EF.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(1)
1. D　依题意可知a∥α.因为b α，所以a，b没有公共点，则a与b可能异面或平行．
2. D　由线面平行的判定定理，a∥b，b α，a α，方可推出a∥α，故“a∥b”不是“a∥α”的充分条件；若a∥α，则可在平面α内找到一条直线与a平行，不一定有a∥b，故“a∥b”不是“a∥α”的必要条件．综上，“a∥b”是“a∥α”的既不充分又不必要条件．
3. B　对于A，若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A错误；对于B，直线l与平面α平行，则存在过直线l的平面与平面α相交，令交线为c，则l∥c，显然在平面α内有无数条直线与c平行，这些直线都平行于l，故B正确；对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故C错误；对于D，若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或是异面直线，不会与平面α内的任意一条直线都平行，故D错误．
4. D　因为H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD且HG＝BD.因为E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，所以EF∥BD且EF＝BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．又EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.
5. D　对于A，如图1，取BB1的中点N，连接MN，NC，A1B.又M为A1B1的中点，所以 MN∥A1B，根据长方体的对称性可知A1B∥D1C，所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面，直线 BC1与NC相交，所以BC1与平面MNCD1相交，故A错误；对于B，如图2，取B1C1的中点E，连接ME，CE.由选项A同理可证，ME∥AC，所以M，E，C，A四点共面，在平面A1B1C1D1内，直线D1C1与ME相交，所以C1D1与平面MACE相交，故B错误；对于C，如图3，连接B1C.在平面A1DCB1内，直线A1D与CM相交，所以CM与平面A1BD相交，故C错误；对于D，如图4，取DC的中点F，连接D1F，BF，MF，A1D.由长方体的对称性，易得BF∥D1M，所以D1，F，B，M四点共面，在平面A1DCB1内，直线MF∥B1C，B1C 平面D1MB，MF 平面D1MB，所以B1C∥平面D1MB，故D正确．
图1 图2 图3 图4
6. B　当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的空间图形始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH∥FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在变化，故②错误；在转动过程中，始终有A1D1∥平面EFGH，故③正确．
7. ABC　如图为正方体ABCD-A1B1C1D1.对于A，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，故A为假命题；对于B，A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，故B为假命题；对于C，AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C为假命题；对于D，因为a∥α，所以a与α无公共点．又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D为真命题．故选ABC.
8. AD　如图，连接MD1，D1N.由M，N分别是AA1，CC1的中点，可得BN∥MD1，所以B，N，D1，M四点共面．又平面BND1M∩平面CDD1C1＝ND1，P∈平面CDD1C1，P 直线ND1，所以P 平面BND1M，故点P与B，N，M三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，直线MN与直线BP是异面直线，故A正确，B错误；因为P是C1D1的中点，所以PN∥D1C∥A1B，故B，N，P三点确定平面PNBA1，所以平面PNBA1与直线A1D1仅有一个公共点A1，但点Q不与点A1重合，故不存在点Q使得Q∈平面PNBA1，故C错误；由选项A知P 平面MBN，故PQ 平面MBN，只需Q为A1D1的中点，则有PQ∥A1C1∥MN，所以PQ∥平面MBN，故D正确．故选AD.
9. SE＝AE　如图，连接AC交BD于点O，连接OE.因为SC∥平面EBD，SC 平面SAC，平面SAC∩平面 EBD＝OE，所以SC∥OE.又因为底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，故O为AC的中点，所以E为SA的中点，故当点E满足条件SE＝AE 时，SC∥平面EBD.
10. AD，BC　显然AB，AC，DB，CD四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF α，BC α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线为AD，BC.
11. ①③　对于①，由题意，得AB∥CF，AB＝CF，所以四边形ABCF是平行四边形，所以AF∥BC.因为AF 平面BCD，BC 平面BCD，所以AF∥平面BCD，故①正确；对于②，如图，取DF的中点G，连接EG，CG.因为E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，所以EG＝BC，EG∥BC，所以四边形BCGE为梯形，所以直线BE与直线CG相交，所以BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，如图，连接AC，交BF于点O，连接OE.因为四边形ABCF是平行四边形，所以O是AC的中点，所以OE∥CD.因为OE 平面BEF，CD 平面BEF，所以CD∥平面BEF，故③正确．故正确结论的序号为①③.
12. 作EF∥DC交PD于点F，连接AF.
因为点E在棱PC上，且PE＝2EC，所以FE＝DC＝2.
因为AB∥DC，AB＝2，所以AB∥FE，且AB＝FE，
所以四边形ABEF为平行四边形，则AF∥BE.
因为BE 平面PAD，AF 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
13. (1) 如图1，延长CQ和DA交于点E，连接PE，交AA1于点R，
即平面PQC与直线AA1交于点R.
因为Q为AB的中点，AQ∥DC，所以A为ED的中点，
所以AR＝PD＝DD1＝AA1，所以＝.
(2) 存在，当M为线段CC1上靠近点C的四等分点时，BM∥平面PQC，证明如下：
如图2，取PC的中点N，DC的中点G，连接NG，NM，则MN∥GC，且MN＝GC，所以MN∥BQ，且MN＝BQ，
所以四边形MNQB为平行四边形，
所以BM∥NQ.
又因为BM 平面PQC，NQ 平面PQC，
所以BM∥平面PQC.
图1 图2
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(2)
1. D　对于A，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线是平行线时，l可能在平面内，与α不一定平行，故A不正确；对于B，若直线a在平面α外，则a∥α或a与α相交，故B不正确；对于C，若直线a∥b，b α，则a∥α或a α，故C不正确；对于D，若直线a∥b，b α，则a∥α或a α，所以a平行于平面α内的无数条直线，故D正确．
2. B　因为AB∥平面α，AB 平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN. 又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
3. C　因为多面体A1B1C1-ABC是三棱台，所以AB∥A1B1.又AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，当AB 平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB，故选项C符合要求．
4. C　如图，连接MB交AC于点D，连接DN，NA，NC，MC，则平面NAC即为平面α.因为SB∥α，SB 平面SMB，平面SMB∩α＝DN，所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以∠ABM＝∠BMC＝∠MBC＝∠BAC＝30°，MC＝BC＝AB，所以MC∥AB且MC＝AB，所以＝＝.又SB∥DN，所以＝＝，所以＝.
5. D　如图，连接AB1交A1B于点O，过点O作OP∥AC1交B1C1于点P，连接A1P，BP. 因为OP 平面A1PB，AC1 平面A1PB，所以AC1∥平面A1PB，即此时点P满足题意. 在△AB1C1中，＝＝.又B1C1＝2，所以PC1＝1.
6. A　根据题意，不妨设该平面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E，F，G，H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH.因为AC∥平面EFGH，AC 平面ABC，且平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AC∥EF，同理可得AC∥GH，所以GH∥EF.下面证明EH与FG不平行，假设EH∥FG，由FG 平面BCD，EH 平面BCD，得EH∥平面BCD.又因为EH 平面ABD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，由线面平行的性质定理可得EH∥BD.又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH，与题设BD不平行于平面EFGH矛盾，所以EH与FG不平行，所以四边形EFGH是梯形．
7. BC　过直线a可作无数个平面与α相交，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确；若直线a平行于平面α，则直线a与平面α内的直线有两种位置关系：平行或异面，所以平面α内存在与a不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确．故选BC.
8. AB　对于A，如图1，设A为MS的中点，底面为平行四边形STFE，连接PA，TA，则PA∥SE，PA＝SE.又TQ∥SE，TQ＝SE，所以PA∥TQ，PA＝TQ，即四边形PATQ为平行四边形，所以PQ∥AT.又AT 平面MTS，PQ 平面MTS，所以PQ∥平面MST，故A正确；对于B，如图2，设A为MS的中点，底面为平行四边形STFE，连接PA，AT，则AP∥ES，AP＝ES.又QT∥ES，QT＝ES，故AP∥QT，AP＝QT，即四边形APQT为平行四边形，所以PQ∥AT.又AT 平面MST，PQ 平面MST，所以PQ∥平面MST，故B正确；对于C，如图3，设A为ME的中点，底面为平行四边形GFES，连接QA，AS，设AQ交MT于点H，连接SH，则AQ∥FE，AQ＝FE.又PS∥EF，PS＝EF，所以AQ∥PS，AQ＝PS，所以四边形AQPS为平行四边形，所以AS∥PQ.又PQ 平面AQPS，PQ 平面MST，平面AQPS∩平面MST＝SH，假设PQ∥平面MST，则PQ∥SH，即在平面AQPS内过点S有两条直线和PQ都平行，这是不可能的，故C错误；对于D，如图4，设底面为平行四边形MQEF，连接ME，FQ交于点H，连接FQ，MT交于点G，则H为FQ的中点，连接SH，SG.因为S为PF的中点，所以SH∥PQ.又PQ 平面PFQ，PQ 平面MST，平面PFQ∩平面MST＝SG，假设PQ∥平面MST，则PQ∥SG，即在平面PFQ内过点S有两条直线和PQ都平行，这是不可能的，故D错误．故选AB.
图1　 图2 图3 图4
9. 1　因为A1B∥平面B1CD，A1B 平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD.因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即＝1.
10. 　因为A1C1∥AC，MN∥A1C1，所以MN∥AC. 由线面平行的判定定理和性质定理可知MN∥PQ，所以PQ∥AC，所以＝，即＝，即PQ＝.
11. 　因为EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，所以EF＝.
12. (1) 如图，取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N，E分别为PC，PD的中点，
所以NE∥DC，且NE＝DC.
又M为AB的中点，AB∥DC，AB＝DC，
所以AM∥NE，且AM＝NE，
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以AE∥MN.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2) 因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC.
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，
所以BC∥l.
13. (1) 如图，连接AC交BD于点O，连接OG.
因为四边形ABCD为直角梯形，DC＝2AB，
所以AB∥CD，所以＝＝.
又因为GC＝2FG，＝＝，所以AF∥OG.
因为OG 平面BDG，AF 平面BDG，
所以AF∥平面BDG.
(2) 因为四边形ABCD为直角梯形，DC＝2AB，
所以AB∥CD.
因为CD 平面CDEF，AB 平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF.
因为AB 平面ABFE，平面CDEF∩平面ABFE＝EF，
所以AB∥EF.