13.2.4　平面与平面的位置关系——两平面垂直 练习（2课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.4　平面与平面的位置关系——两平面垂直(1)
一、 单项选择题
1 过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2 如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成角为30°，则AB与平面β所成角的正弦值是(　　)
A. B. C. D.
3 (2023长沙月考)一条直线与直二面角的两个面所在平面所成的角分别是α，β，则α＋β的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4 如图，点P在二面角 α-AB-β 的棱AB上，分别在α，β内引射线PM，PN，截得PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α-AB-β的平面角的大小为(　　)
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°
5 (2024咸阳月考)如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为 ，则二面角A-BC-D的大小为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024宁波期末)把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E为AB的中点，F为CD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折纸后∠EOF的余弦值大小为(　　)
A. － B. － C. － D. －
二、 多项选择题
7 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，M是AD上靠近点A的四等分点．现将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，连接PB，如图2所示，则下列说法中正确的是(　　)
图1 图2
A. PB∥平面EFM
B. PD⊥PB
C. 平面EFM与平面BFDE所成的锐二面角的余弦值为
D. 点P到平面BFDE的距离为
8 如图，已知多面体ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的有(　　)
A. AC1⊥平面CB1D1
B. 直线B1C与BD所成的角为60°
C. 二面角C-B1D1-C1的正切值是
D. AC1与底面ABCD所成角的正切值是
三、 填空题
9 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，点E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C的大小为45°，则BF＝________．
10 在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM将△ABC折成二面角，折后点A与点C之间的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为________．
11 (2023广东月考) 已知△ABC的边BC在平面α内，点A在平面α内的射影是A1，设△ABC的面积为S，它和平面α所成的一个二面角的大小为θ(θ为锐角)，则△A1BC的面积是________．
四、 解答题
12 如图，在三棱锥O-ABC中，OA＝OC＝，AB＝OB＝BC＝2，且OA⊥OC.求证：平面OAC⊥平面ABC.
13 (2023榆林月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影恰为等边三角形ABC的中心，且AB＝2，AA1＝.
(1) 求证：BB1⊥平面A1BC；
(2) 求二面角B1-A1C-B的正弦值．
13．2.4　平面与平面的位置关系——两平面垂直(2)
一、 单项选择题
1 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系是(　　)
A. 平行 B. 共面 C. 垂直 D. 不垂直
2 (2023南通月考)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
B. 若a⊥α，b β，a⊥b，则α⊥β
C. 若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β
D. 若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α⊥β
3 (2024浙江月考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，C是圆上的任意一点，则图中相互垂直的平面有(　　)
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
4 (2024北京)已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱的长分别为4，4，2，2，则该四棱锥的高为(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
5 (2023连云港月考)在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，点E在CD上，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当点E从点D运动到点C时，点D在平面ABC上的射影K的轨迹长度为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023湖南月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝PD＝AB，E，F分别是棱BC，PD 的中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023福建学业考试)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，则下列结论中正确的有(　　)
A. A1B⊥CC1
B. A1B∥B1C
C. 平面A1BD⊥平面AA1C1C
D. 平面A1BD∥平面CB1D1
8 (2023河北月考)如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF，；④平面DCF⊥平面BCF.
在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
三、 填空题
9 (2024山东月考)如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．
(第9题) (第10题)
10 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是边AB上的一动点，则PM的最小值为________．
11 (2023南京月考)在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，现将△CBD沿对角线BD翻折，使得平面ABD与平面CBD垂直，此时A，C两点之间的距离为________．
四、 解答题
12 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1) 求证：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2) 设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
13 (2023广东月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，△PAD为等边三角形，G为边AD的中点，平面PAD⊥平面ABCD.
(1) 求证：BG⊥平面PAD；
(2) 若E为边BC的中点，在边PC上是否存在点F，使平面DEF⊥平面ABCD？证明你的结论．
13．2.4　平面与平面的位置关系
——两平面垂直(1)
1. B　根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示，连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，平面ABP∩平面CDP＝PE.因为PE⊥平面BCE，所以∠CEB为平面ABP和平面CDP所成的锐二面角，大小为45°.
2. C　如图，过点A作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC. 由题意，得OC⊥l，∠ABC＝30°，∠ACO＝60°.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，所以sin θ＝＝·＝sin 30°×sin 60°＝.
3. A　令直线为l，该二面角的两个面为γ1，γ2，若直线l与平面γ1，γ2的交线平行(或与交线重合)，则α＝β＝0，可得α＋β＝0；若直线l与平面γ1平行(或在平面γ1内)，与平面γ2相交，则α＝0，β∈，可得α＋β∈；同理可得，若直线l与平面γ2平行(或在平面γ2内)，与平面γ1相交，则α＋β∈；若直线l与平面γ1，γ2均相交，不妨设l∩γ1＝A，l∩γ2＝B，γ1∩γ2＝m，分别过点A，B作AC⊥m，BD⊥m，垂足分别为C，D.因为γ1⊥γ2，γ1∩γ2＝m，AC γ1，BD γ2，所以AC⊥γ2，BD⊥γ1，则α＝∠BAD，β＝∠ABC，可得cos α＝，sin β＝.因为AC≤AD，所以sin β≤cos α＝sin .又因为α，β∈，即－α∈，且y＝sin x在区间上单调递增，所以β≤－α，即0<α＋β≤.综上，α＋β∈.
4. B　如图，过点M作MO⊥AB于点Q，连接NQ，MN.因为PM＝PN，∠BPM＝∠BPN，QP＝QP，所以△QPM≌△QPN，所以∠NQP＝∠MQP＝90°，则∠MQN即为二面角α-AB-β的平面角．设PQ＝a.因为∠QPN＝∠QPM＝45°，所以QN＝QM＝a，PN＝PM＝a.又因为∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形，MN＝a，所以QN2＋QM2＝MN2，所以∠MQN＝90°.
5. A　设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F，因为△ABC，△DBC均为等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，故∠AED为二面角A-BC-D的平面角．又AE∩DE＝E，AE 平面AED，DE 平面AED，故BC⊥平面AED，又AF 平面AED，所以BC⊥AF，又AF⊥ED，DE∩BC＝E，DE 平面BCD，BC 平面BCD，所以AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF＝.又△ABC为等边三角形，边长为2，所以AE＝2×sin ＝，故在Rt△AFE中，sin ∠AEF＝＝＝，则∠AEF＝，即∠AED＝，故二面角A-BC-D的大小为.
6. C　如图，连接DO，则DO⊥AC，过点F作FH⊥AC，垂足为H，连接EH.因为平面DAC⊥平面ABC，且平面DAC∩平面ABC＝AC，FH 平面DAC，所以FH⊥平面ABC，又EH 平面ABC，所以FH⊥EH.设正方形ABCD的边长为4，则AC＝4，DO＝2，FH＝DO＝，AH＝AC＝3.在△AEH中，由余弦定理可得EH2＝AH2＋AE2－2AH·AE cos 45°＝18＋4－2×3×2×＝10.在Rt△EFH中，EF＝＝2.又OF＝AD＝2，OE＝BC＝2，设∠EOF＝θ，在△EOF中，由余弦定理得cos θ＝＝＝－.
7. ACD　如图，连接BD，交EF于点G.因为＝＝，所以MG∥PB.因为MG 平面EFM，PB 平面EFM，所以PB∥平面EFM，故A正确；因为PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF＝P，PE 平面PEF，PF 平面PEF，所以PD⊥平面PEF，又PB∩平面PEF＝P，故PD与PB不垂直，故B错误；平面EFM与平面BFDE所成的锐二面角即为∠MGD，在△MGD中，GD＝，MD＝，MG＝＝，由余弦定理，得cos ∠MGD＝＝，故C正确；由cos ∠MGD＝，知sin ∠MGD＝.过点M作MN⊥BD，则点P到平面BFDE的距离等于点M到平面BFDE的距离的，又MN＝MG·sin ∠MGD＝，故D正确．故选ACD.
　
8. AB　如图，因为正方体中对角线AC1在平面A1B1C1D1上的射影为A1C1，而A1C1⊥B1D1，AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，且AA1 平面AA1C1，A1C1 平面AA1C1，所以B1D1⊥平面AA1C1，又AC1 平面AA1C1，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥B1C，又B1C∩B1D1＝B1，B1C 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，所以AC1⊥平面CB1D1，故A正确；因为BD∥B1D1，所以直线B1C与BD所成的角为直线B1C与B1D1所成的角，∠CB1D1即为所求．又在正方体中，△CB1D1为正三角形，所以∠CB1D1＝60°，故B正确；因为△CB1D1在上底面的射影三角形为△C1B1D1，所以二面角θ的余弦值为cos θ＝＝＝，所以tan θ＝，故C错误；因为C1C⊥平面ABCD，所以AC1与底面ABCD所成角为∠C1AC，所以 tan ∠C1AC＝＝，故D错误．故选AB.
9. 1　由题意，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易得AB⊥平面BCC1B1.因为C1F 平面BCC1B1，CF 平面BCC1B1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF.又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角，所以∠C1FC＝45°，所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1.
10. 90°　结合题意可知AB＝1，AC＝1，BC＝1，∠ABM＝∠BAM＝∠BCM＝45°，所以AM＝MB＝MC＝，所以AM2＋MC2＝AC2，所以∠AMC＝90°.因为AM⊥BM，CM⊥BM，所以∠AMC为所求二面角的平面角，则二面角C-BM-A的大小为90°.
11. S cos θ　如图，作AD⊥BC交BC于点D，连接A1D.因为点A在平面α内的射影是A1，所以AA1⊥平面α.又BC α，所以AA1⊥BC.又AD∩AA1＝A，AD 平面ADA1，AA1 平面ADA1，所以BC⊥平面ADA1.因为A1D 平面ADA1，所以BC⊥A1D，所以∠ADA1即为平面ABC和平面α所成的二面角的平面角，即∠ADA1＝θ，则A1D＝AD·cos θ，则S△A1BC＝BC·A1D＝BC·AD cos θ＝S cos θ.
12. 取AC的中点D，连接OD，BD.
在三棱锥O-ABC中，因为OA＝OC＝，AB＝OB＝BC＝2，且OA⊥OC，
所以OD⊥AC，BD⊥AC，
所以∠BDO是平面OAC和平面ABC所成角的平面角．
因为AC＝＝2，OD＝＝1，BD＝＝，
所以OD2＋BD2＝OB2，
所以OD⊥BD，
所以∠BDO＝，
所以平面OAC⊥平面ABC.
13. (1) 设点A1在平面ABC内的射影为G，连接A1G，GA，GB，GC.
由题意可得A1G⊥平面ABC，GA＝GB＝GC，
且GA，GB，GC均在平面ABC内，
所以A1G⊥GA，A1G⊥GB，A1G⊥GC，
所以A1A＝A1B＝A1C＝，
则A1A2＋A1B2＝AB2，可得A1A⊥A1B.
同理可得A1A⊥A1C，A1B⊥A1C.
因为A1B∩A1C＝A1，A1B 平面A1BC，A1C 平面A1BC，所以A1A⊥平面A1BC.
又因为A1A∥BB1，
所以BB1⊥平面A1BC.
(2) 由(1)，得BB1⊥平面A1BC.
因为A1B 平面A1BC，A1C 平面A1BC，
所以BB1⊥A1B，BB1⊥A1C.
因为A1B⊥A1C，BB1∩A1B＝B，BB1 平面A1B1B，A1B 平面A1B1B，
所以A1C⊥平面A1B1B.
因为A1B1 平面A1B1B，
所以A1C⊥A1B1，
所以二面角B1-A1C-B的平面角为∠B1A1B.
在Rt△A1B1B中，A1B＝BB1＝，A1B1＝2，
所以sin ∠B1A1B＝＝.
13．2.4　平面与平面的位置关系
——两平面垂直(2)
1. C　如图，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C. 又CC1 平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.
2. A　对于A，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β，故A正确；对于B，若a⊥α，b β，a⊥b，则α与β相交或α∥β，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥b，α∩β＝b，则α与β相交，不一定垂直，故D错误．
3. C　因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，同理，平面PAC⊥平面ABC.由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC，又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，故图中相互垂直的平面有3对．
4. D　如图，底面ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设PA＝PB＝AB＝4，PC＝PD＝2，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，则PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF＝E，PE 平面PEF，EF 平面PEF，所以AB⊥平面PEF，又AB 平面ABCD，所以平面PEF⊥平面ABCD，过点P作EF的垂线，垂足为O，即PO⊥EF，由平面PEF∩平面ABCD＝EF，PO 平面PEF，所以PO⊥平面ABCD.由题意可得PE＝2，PF＝2，EF＝4，则PE2＋PF2＝EF2，即PE⊥PF，则PE·PF＝PO·EF，可得PO＝＝，所以四棱锥的高为.当相对的棱长相等时，不妨设PA＝PC＝4，PB＝PD＝2，因为BD＝4＝PB＋PD，此时不能形成三角形PBD，与题意不符，这种情况不存在．
5. D　在平面AED内过点D作DK⊥AE，垂足K为点D在平面ABC上的射影，连接D′K.由翻折的特征知，则∠D′KA＝，故点K的轨迹是以AD′为直径的圆上的一段弧，根据AD＝1知圆的半径是，如图，当点E与点C重合时，∠D′AC＝，所以AK＝，取O为AD′的中点，得到△OAK是等边三角形. 故∠KOA＝，所以∠KOD′＝，其所对的弧长为×＝.
6. B　如图，取AD的中点H，连接PH，EH，HF，则EH∥AB，∠HEF是异面直线EF与AB所成的角(或其补角).因为PA＝PD，所以PH⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH 平面PAD，所以PH⊥平面ABCD.因为EH 平面ABCD，所以PH⊥EH.因为四边形ABCD是矩形，EH∥AB，AB⊥AD，所以EH⊥AD.又因为PH∩AD＝H，PH 平面PAD，AD 平面PAD，所以EH⊥平面PAD.因为HF 平面PAD，所以EH⊥HF.设AB＝2，则EH＝2，HF＝PA＝.在Rt△EFH 中，EF＝＝，所以cos ∠HEF＝＝＝.又异面直线EF与AB所成角的取值范围为，故所求角的余弦值是.
7. CD　对于A，由长方体的性质可知AA1∥CC1.又AA1，A1B不垂直，所以A1B，CC1不垂直，故A错误；对于B，由长方体的性质可知A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形DCB1A1是平行四边形，所以A1D∥B1C.因为A1B，A1D不平行，所以A1B，B1C不平行，故B错误；对于C，因为AB＝BC，根据长方体的性质可知四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.根据长方体的性质可知，CC1⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以CC1⊥BD.因为AC 平面AA1C1C，CC1 平面AA1C1C，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AA1C1C.因为BD 平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故C正确；对于D，由B知，A1D∥B1C.因为B1C 平面CB1D1，A1D 平面CB1D1，所以A1D∥平面CB1D1.根据长方体的性质可知，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以B1D1∥BD.因为B1D1 平面CB1D1，BD 平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1.因为A1D 平面A1BD，BD 平面A1BD，A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面CB1D1，故D正确．故选CD.
8. BC　对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥FC时，BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，∠BCF为锐角，所以可作出BP⊥FC，从而满足条件，所以②可能成立；对于③，当点D的射影P落在BF上时，DP 平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③可能成立；对于④，因为AD∶BC＝2∶3，AD∶EF＝4∶5，所以点D的投影不可能在CF上，所以平面DCF⊥平面BCF不成立，即④不成立．故选BC.
9. 垂直　因为AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，所以BE⊥AC，DE⊥AC，又BE∩DE＝E，BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以AC⊥平面BDE.又AC 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.
10. 2　因为平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，平面PAC∩平面ABC＝AC，PC 平面PAC，所以PC⊥平面ABC.又CM 平面ABC，所以PC⊥CM，所以PM＝.又△ABC是等边三角形，则CM的最小值为点C到AB的距离，即高h＝×4＝2，所以PMmin＝＝2.
11. 　如图，过点A作AG⊥BD，垂足为G，过点C作CH⊥BD，垂足为H，连接AC，GC.因为在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，所以BD＝＝＝25，则在Rt△ABD中，由面积相等可得AB·AD＝BD·AG，解得AG＝12，则BG＝＝＝9，同理CH＝12，HD＝9，所以GH＝7.在Rt△CGH中，CG＝＝＝.因为平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，AG⊥BD，AG 平面ABD，所以AG⊥平面CBD.因为CG 平面CBD，所以AG⊥CG.在Rt△ACG中，AC＝＝＝.
12. (1) 因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以A1C⊥BC.
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，A1C 平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面BCC1B1，
所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
(2) 如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O.
因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O 平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面BCC1B1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.
因为A1C⊥平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC，
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC.
又因为A1B＝AB，BC为公共边，
所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC.
设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x，
所以O为CC1的中点，OC1＝AA1＝1.
又因为A1C⊥AC，
所以A1C2＋AC2＝AA，
即x2＋x2＝22，解得x＝，
所以A1O＝＝＝1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
13. (1) 如图，连接BD.
因为底面ABCD是菱形，所以AB＝AD.
因为∠BAD＝60°，
所以△ABD是等边三角形．
因为G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面BAD，
所以BG⊥平面PAD.
(2) 存在点F，且F为PC的中点．证明如下：
取PC的中点F，连接DF，EF，EG，CG，DE，PG，且CG与DE交于点M，连接FM.
因为AD∥BC且AD＝BC，E，G分别是BC，AD的中点，所以CE∥DG，且CE＝DG，
则四边形CEGD是平行四边形，
所以CM＝MG.
又因为CF＝FP，所以MF∥PG.
因为△PAD是等边三角形，G是AD的中点，
所以PG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，
所以PG⊥平面ABCD，
所以MF⊥平面ABCD.
又MF 平面DEF，
所以平面DEF⊥平面ABCD.