13.2.4　平面与平面的位置关系——两平面平行 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.4　平面与平面的位置关系——两平面平行
一、 单项选择题
1 (2024邯郸期末)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m α，n α，则“m∥β，n∥β”是“α∥β”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2 (2024无锡期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定为(　　)
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 梯形
3 在下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点或顶点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)
A B C D
4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1上的一点，当平面D1BQ∥平面PAO时，点Q的位置应满足(　　)
A. 点Q与点C重合
B. 点Q与点C1重合
C. Q为CC1的三等分点
D. Q为CC1的中点
5 (2024运城月考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝4，E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动(包括边界)，若A1P∥平面AEF，则动点P的轨迹长度为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 2
6 (2024湖南期中)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AA1＝3AM，A1D1＝3D1N，点Q在正方体的面BCC1B1内，且A1Q∥平面C1MN，则线段A1Q长度的最小值为(　　)
A. B. 3 C. D.
二、 多项选择题
7 (2024惠州期中)已知直线l，m，平面α，β，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若m∥l，l∥α，则m∥α
B. 若l∥β，m∥β，l α，m α，则α∥β
C. 若l∥m，l α，m β，则α∥β
D. 若l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M，则α∥β
8 (2023濮阳外国语学校期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱的中点，则下列结论中错误的是(　　)
A. 直线AD∥平面MNE
B. 直线FC1∥平面MNE
C. 平面A1BC∥平面MNE
D. 平面AB1D1∥平面MNE
三、 填空题
9 已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
10 已知α∥β，AC α，BD β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．
11 如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是该正方体表面及其内部的一动点，且 BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是________．
四、 解答题
12 (2024张家口月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，M，N分别是OD1，A1D1的中点．
(1) 求证：MN∥平面ACC1A1；
(2) 若P是C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面ACC1A1.
13 (2024南京月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC，E为棱PD的中点．
(1) 求证：CE∥平面PAB；
(2) 若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
13．2.4　平面与平面的位置关系
——两平面平行
1. B　由m α，n α，m∥β，n∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m，n和α，β的交线平行即可得到m∥β，n∥β；反过来，若α∥β，m α，n α，则m，n和β没有公共点，所以m∥β，n∥β，即由α∥β能得到m∥β，n∥β，故“m∥β，n∥β”是“α∥β”的必要且不充分条件，
2. A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面EFGH∩平面ABCD＝GH，平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥GH，同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形．
3. B　B中，如图，连接MN，PN. 因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN.因为MN∥DE，PN∥EF，AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB 平面ABC，AC 平面ABC，DE 平面DEF，EF 平面DEF，由两平面平行的判定定理可知平面ABC∥平面DEF.A，C，D显然不平行，故选B.
4. D　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，所以PO∥BD1.当Q是CC1的中点时，连接PQ，则PQ＝AB，PQ∥AB，所以四边形ABQP是平行四边形，所以AP∥BQ.因为AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP 平面PAO，PO 平面PAO，BQ 平面D1BQ，BD1 平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故选D.
5. B　如图，取BB1的中点M，B1C1的中点N，连接MN，A1M，A1N，根据正方体的结构特征，易得EF∥MN，A1N∥AE，因为MN 平面AEF，EF 平面AEF，所以MN∥平面AEF，同理A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N，A1N 平面A1MN，MN 平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AEF，又A1P∥平面AEF，且A1∈平面A1MN，所以A1P 平面A1MN，即点P在平面A1MN与平面BCC1B1的交线MN上，由题可知MN＝，所以动点P的轨迹长度为 .
6. D　在B1B，B1C1上分别取点E，F，使得BB1＝3EB1，B1C1＝3B1F，分别连接EF，BC1，AD1，因为A1D1＝3D1N，可得A1N∥C1F，且A1N＝C1F，所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N∥A1F.由BB1＝3EB1且B1C1＝3B1F，可得EF∥BC1，又由AA1＝3AM且A1D1＝3D1N，所以MN∥AD1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD1∥BC1，所以EF∥MN.因为A1F 平面C1MN，C1N 平面C1MN，所以A1F∥平面C1MN，同理可证EF∥平面C1MN，又因为A1F∩EF＝F，且A1F 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以平面A1EF∥平面C1MN，所以点Q的轨迹为线段EF.在等腰三角形A1EF中，A1F＝A1E＝，EF＝，可得底边EF上的高为＝，即为线段A1Q长度的最小值．
7. ABC　对于A，m可能在α内，也可能与α平行，故A错误；对于B，α与β也可能相交，故B错误；对于C，α与β也可能相交，故C错误；对于D，依据面面平行的判定定理可知α∥β，故D正确．故选ABC.
8. ABC　过点M，N，E的截面如图所示(H，I，J均为所在棱上的中点)，所以直线AD与截面MNE交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1内必定相交，故B错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；因为E，I分别为AB，BB1的中点，所以AB1∥EI，因为AB1 平面MNE，EI 平面MNE，所以AB1∥平面MNE，同理可证B1D1∥平面MNE，因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选ABC.
9. 平行　假设平面α与β不平行，且α∩β＝c.因为a 平面α，a∥β，所以a∥c.因为b 平面β，b∥α，所以b∥c，所以a∥b，这与a和b是异面直线相矛盾，故α∥β.
10. 6　如图，因为AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面．因为α∥β，且平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，所以AC∥BD.又AB∥CD，所以四边形ABDC为平行四边形，所以AB＝CD＝6.
11. 2　连接A1C1，A1B，BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1，故四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC.因为A1C1 平面AD1C，AC 平面AD1C，所以A1C1∥平面AD1C.同理 A1B∥平面AD1C，又A1C1∩A1B＝A1，A1C1 平面A1BC1，A1B 平面A1BC1，所以平面A1BC1∥平面AD1C，所以当点M在△A1C1B上及其内部时，均有BM∥平面AD1C，所以其面积为S＝×()2×sin 60°＝2.
12. (1) 连接A1O，
因为M，N分别是OD1，A1D1的中点，
所以MN∥A1O.
因为MN 平面ACC1A1，A1O 平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1.
(2) 因为N，P分别是A1D1，C1D1的中点，
所以NP∥A1C1.
因为NP 平面ACC1A1，A1C1 平面ACC1A1，
所以NP∥平面ACC1A1，
又MN∥平面ACC1A1，MN∩NP＝N，MN 平面MNP，NP 平面MNP，
所以平面MNP∥平面ACC1A1.
13. (1) 取F为棱PA的中点，又因为E为棱PD的中点，所以EF∥AD，且EF＝AD，
又因为AD∥BC，且AD＝2BC，
所以EF∥BC，EF＝BC，
则四边形EFBC是平行四边形，即CE∥BF，
又因为CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
(2) 存在N为AD的中点，满足MN∥平面PAB，理由如下：
因为N为AD的中点，E为棱PD的中点，所以EN∥PA，
又因为EN 平面PAB，PA 平面PAB，
所以EN∥平面PAB，
再由CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，CE 平面CEN，EN 平面CEN，
所以平面CEN∥平面PAB，
又因为MN 平面CEN，
所以MN∥平面PAB.