14.3.2　频率直方图 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14．3.2　频率直方图
一、 单项选择题
1 (2023武汉月考)绘制频率直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的(　　)
A. 组距 B. 平均值 C. 频数 D. 频率
2 在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为(　　)
A. 0.2 B. 0.25 C. 40 D. 50
3 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的学生，将他们的身高数据(单位：cm)按[150，160)，[160，170)，[170，180)，[180，190]分组，绘制成如图所示的频率直方图，其中身高在区间[170，180)内的人数为300，身高在区间[160，170)内的人数为180，则实数a的值为(　　)
A. 0.03 B. 0.3 C. 0.035 D. 0.35
4 (2024河北期中)某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A. 40 B. 45 C. 50 D. 60
5 (2024北京期中)某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率直方图，如图，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90)的学生数是(　　)
A. 30 B. 45 C. 60 D. 100
6 如图，给出的是某高校土木工程系大四年级55名学生的期末考试专业成绩的频率折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分．根据图中所提供的信息，则下列结论中正确的是(　　)
A. 成绩是75分的人数为20
B. 成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C. 成绩在70～90分的人数为35
D. 成绩在75～85分的人数为35
二、 多项选择题
7 某学校为了调查学生在一周内生活方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法中正确的是(　　)
A. 样本中支出在[50，60]内的频率为0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2 000名学生，则一定有 600人支出在[50，60]内
8 统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到的频率直方图如图所示．若不低于140分的人数为110，则下列说法中正确的是(　　)
A. m＝0.031
B. n＝800
C. 100分以下的人数为60
D. 成绩在区间[120，140)内的人数占大半
三、 填空题
9 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到频率直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]，则频率直方图中实数a的值为________．
10 为了营造“平安春运，快乐新年”的氛围，某重要路段限速70 km/h.现对通过该路段的 n辆 汽车的车速进行检测，统计并绘成频率直方图如图．若速度在 60～70 km/h 之间的车辆为150辆，则这n辆汽车中车速高于限速的汽车有________辆．
11 (2024永州月考)为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了100名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位：h)在[10，50]内，频率直方图如下，则锻炼时间在[30，50]内的学生有________人．
四、 解答题
12 (2024安徽月考)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 [25，30] (30，35] (35，40] (40，45] (45，50]
频数 3 5 8 n1 n2
频率 0.12 0.20 0.32 f1 f2
(1) 确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2) 根据上述频率分布表，画出样本频率直方图与折线图．
13 (2023河南期末)为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策. 某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层抽样，获得2 000位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]分成九组，制成如图所示的频率直方图．
(1) 求频率直方图中实数t的值；
(2) 已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5 000元的正常收取，若超过5 000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少元？
14．3.2　频率直方图
1. D　按照频率直方图的定义，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．
2. D　设中间一组的频率为x，则其他8组的频率为1－x.由题意知x＝(1－x)，解得 x＝，所以中间一组频数为×200＝50.
3. A　由频率直方图可得＝，解得a＝0.03.
4. C　由频率直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005＋0.010)＝0.300，由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是＝50.
5. C　由题意得10×(0.005＋0.01＋0.015＋x＋0.04)＝1，解得x＝0.03，则学生成绩在区间[80，90)的频率为10×0.03＝0.3，共抽取200名学生，则成绩在区间[80，90)的学生数为200×0.3＝60.
6. C　对于A，成绩在70～80分的人数为10××55＝20，不能说成绩是75分的人数为20，故A错误；对于B，频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩在50～60分的人数和成绩在90～100分的人数相等，故B错误；对于C，成绩在70～90分的人数为(10×＋10×)×55＝35，故C正确；对于D，由C得成绩在70～90分的人数为35，所以成绩在75～85分的人数为35不一定正确，故D错误．
7. BC　样本中支出在[50，60]内的频率为1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；n＝＝200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600(人)支出在[50，60]内，故D错误．故选BC.
8. AC　对于A，由图可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得 m＝0.031，故A正确；对于B，因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B错误；对于C，因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C正确；对于D，成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，则人数占小半，故D错误．故选AC.
9. 0.006　由频率直方图可得(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得 a＝0.006.
10. 190　由题意，得n[1－(0.08＋0.24＋0.28＋0.1)]＝150，解得n＝500，所以高于限速的汽车有500×(0.28＋0.1)＝190(辆).
11. 67　由频率直方图可知，锻炼时间在[10，30]内的人数为100×10×(0.010＋0.023)＝33，所以锻炼时间在[30，50]内的人数为100－33＝67.
12. (1) 由题意，得n1＝7，n2＝2，所以f1＝＝0.28，f2＝＝0.08.
(2) 样本频率直方图与折线图如图．
13. (1) 10×(0.003×3＋0.007＋0.006＋2t＋0.023＋0.025)＝1，解得t＝0.015.
(2) 区间在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的个人所得税分别取55，65，75，85作为代表，
则分别超出500，1 500，2 500，3 500元，
则退税总数约为200 000×(500×0.15＋1 500×0.06＋2 500×0.03＋3 500×0.03)×20%＝13 800 000(元).