14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数
一、 单项选择题
1 (2023山东月考)样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　)
A. B. C. 2 D.
2 (2023湖南月考)如果已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是2，那么另一组数据5x1＋1，5x2＋1，5x3＋1，…，5xn＋1的方差为(　　)
A. 11 B. 20 C. 50 D. 51
3 (2024上海月考)已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x9满足x1A. 平均数 B. 中位数
C. 极差 D. 方差
4 现有5个数，其平均数是1，且这5个数的平方和是20，那么这组数的方差是(　　)
A. B. C. 3 D. 5
5 (2024新乡二模)已知甲、乙两名篮球运动员在四场小组赛中的得分(单位：分)如下表：
甲 6 12 9 13
乙 8 11 7 14
则这两组数据不同的数字特征是(　　)
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差
6 (2024江西二模)从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为(　　)
A. 0.8 B. 0.675 C. 0.74 D. 0.82
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 极差与方差都反映了数据的离散程度
B. 方差是没有单位的统计量
C. 标准差比较小时，数据比较分散
D. 只有两个数据时，极差是标准差的2倍
8 在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是(　　)
A. 甲组中位数为2，极差为5
B. 乙组平均数为2，众数为2
C. 丙组平均数为1，方差大于0
D. 丁组平均数为2，方差为3
三、 填空题
9 (2024长沙月考)已知一组数据1，2，4，5，m的平均数为4，则这组数据的方差为________．
10 (2023石家庄正定中学月考)已知数据1，2，a，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2 023，得到一组新数据，则新数据的标准差为________．
11 (2024江苏月考)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，市疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为________．
四、 解答题
12 (2023苏州月考)甲、乙两名学生在 5次英语测试中的成绩统计如下：
甲：74　85　86　90　93
乙：76　83　85　87　97
现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．
13 某单位为了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下：
分数 77 79 81 84 88 92 93
人数 1 1 1 3 2 1 1
回答以下问题：
(1) 求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数 　和方差s2；
(2) 10名退休职工问卷得分在 －s与 ＋s之间有多少人？这些人占 10名退休职工的百分比为多少？
14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数
1. D　因为样本a，0，1，2，3的平均数为1，所以(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，则样本的方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为.
2. C　因为一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是2，所以另一组数据5x1＋1，5x2＋1，5x3＋1，…，5xn＋1的方差为52×2＝50.
3. D　因为x14. C　设这5个数为x1，x2，…，x5，由题意可知＝1，x＋x＋…＋x＝20，则这组数的方差是s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝[(x＋x＋…＋x)－2(x1＋x2＋…＋x5)＋52]＝×(20－2×1×5＋5×12)＝3.
5. B　甲组数据的平均数为＝10，乙组数据的平均数为＝10，故A不符合题意；将甲组数据从小到大排列为6，9，12，13，所以中位数为＝10.5；将乙组数据从小到大排列为7，8，11，14，所以中位数为＝9.5，故B符合题意；甲组数据的方差为[(6－10)2＋(9－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝7.5，乙组数据的方差为[(8－10)2＋(11－10)2＋(7－10)2＋(14－10)2]＝7.5，故C不符合题意；甲组数据的极差为13－6＝7，乙组数据的极差为14－7＝7，故D不符合题意．
6. D　根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取10×＝6(人)，从乙队中抽取10×＝4(人)，这10人答对题目的平均数为(6×1＋4×1.5)＝1.2，所以这10人答对题目的方差为[6×1＋6(1－1.2)2＋4×0.4＋4(1.5－1.2)2]＝0.82.
7. AD　对于A，根据极差、方差的定义可知，极差与方差都反映了数据的离散程度．一般来说，极差、方差越大，稳定性越差，故A正确；对于B，方差的单位是样本数据单位的平方，故B错误；对于C，标准差比较小时，数据比较集中，故C错误；对于D，设两个数据分别为x1，x2，则易得极差等于|x2－x1|，平均数等于，标准差等于＝|x2－x1|，即极差是标准差的2倍，故D正确．故选AD.
8. AD　对于A，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；对于B，如失分数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；对于C，如失分数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；对于D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于×(8－2)2＝3.6>3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分，故D正确．故选AD
9. 6　因为数据1，2，4，5，m的平均数是4，所以＝(1＋2＋4＋5＋m)＝4，解得m＝8，所以这组数据的方差为s2＝[(1－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(8－4)2]＝6.
10. 　因为数据1，2，a，6的平均数是3，所以＝3，解得a＝3.若将这组数据中每一个数据都加上2 023，则新数据的平均数为 ＝2 026，方差为s2＝×[(2 024－2 026)2＋(2 025－2 026)2＋(2 026－2 026)2＋(2 029－2 026)2]＝，所以新数据的标准差为.
11. 8　设五个班抽取的人数分别为a1，a2，a3，a4，a5，则(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝5，[(a1－5)2＋(a2－5)2＋(a3－5)2＋(a4－5)2＋(a5－5)2]＝4，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25，(a1－5)2＋(a2－5)2＋(a3－5)2＋(a4－5)2＋(a5－5)2＝20，样本数据为整数，根据方差，样本数据中最大值为9，此时样本数据依次为4，4，4，4，9，不满足样本数据互不相同；当样本数据中最大值为8时，样本数据依次为2，4，5，6，8，符合题意．故样本数据中最大值为8.
12. 根据题意，得甲成绩的平均数为1＝×(74＋85＋86＋90＋93)＝85.6，
乙成绩的平均数为2＝×(76＋83＋85＋87＋97)＝85.6，
甲成绩的方差为s＝×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝41.84，
乙成绩的方差为s＝×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝46.24.
因为甲、乙成绩的平均数相等，且甲成绩的方差小于乙成绩的方差，所以甲的成绩更稳定，故派甲参赛更合适．
13. (1) ＝×(77＋79＋81＋3×84＋2×88＋92＋93)＝85，
s2＝×[(77－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋3×(84－85)2＋2×(88－85)2＋(92－85)2＋(93－85)2]＝25.
(2) 由(1)可得s＝5，
所以－s＝85－5＝80，＋s＝85＋5＝90，
所以10名退休职工问卷得分在－s与＋s之间有6人，占10名退休职工的百分比为60%.