14.4.3　用频率直方图估计总体分布 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14．4.3　用频率直方图估计总体分布
一、 单项选择题
1 (2024江苏月考)研究人员测量了某种药物服用8h后在人体血液中所占的百分比，所得数据统计图如图所示．据此可以估计，这种药物服用8h后在人体血液中所占百分比的中位数为(　　)
A. 6 B. 5.5 C. 5.2 D. 6.5
2 (2024咸阳月考)在某地区高一年级第一学期期初举行的一次质量检测中，某学科共有2 000人参加考试．为了解本次考试学生的该学科的成绩情况，从中抽取了n名学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，成绩均在区间[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率直方图如图．已知成绩落在区间[50，60)内的人数为16，则下列结论中错误的是(　　)
A. m＝0.016
B. n＝1 000
C. 估计全体学生该学科成绩的平均分约为70.6分
D. 若成绩低于60分为不及格，估计全体学生中不及格的人数约为320人
3 为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量(单位：kW·h)，将数据按照[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120)，[120，140)，[140，160]分成6组，制成了如图所示的频率直方图．若该社区有3 000 个家庭，估计全社区人均月用电量低于80 kW·h的家庭数为(　　)
A. 300 B. 450 C. 480 D. 600
4 (2023重庆南开中学模拟) 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均用水量数据(单位：m3)，制成如图所示的频率直方图，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该组样本数据的极差是4 m3
B. 可估计全市居民用户月均用水量的中位数的估计值是2.25 m3
C. 可估计全市居民用户月均用水量的众数的估计值是2 m3
D. 可估计全市居民用户中月均用水量超过 3 m3 的约占15%
5 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议审议通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行．某校组织全校2 000名学生参加了“学民法，树意识”普及民法知识竞赛，随机抽取200名学生成绩，统计整理后画出频率直方图如图所示．若成绩居于前400名的同学可以获得奖励，估计获奖同学的成绩最低分为(　　)
A. 70分 B. 80分
C. 86.5分 D. 87.5分
6 (2024天津河东期中)为征求个人所得税法的修改建议，某机构调查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率直方图如图．给出下面三个结论：①估计样本的中位数为4 850元；②如果个税起征点调整至6 000元，估计有25%的当地职工会被征税；③根据此次调查，为使70%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至6 500元．其中正确结论的个数是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、 多项选择题
7 (2024山东月考)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中正确的是(　　)
A. 估计该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户占比约为6%
B. 估计该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户占比约为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
8 (2024安阳期末)某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的频率直方图，则下列结论中正确的是(　　)
A. 样本数据落在区间[500，600)内的频率为0.004
B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策
C. 样本的中位数为520
D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460
三、 填空题
9 为了解工厂1 000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到频率直方图如下，所以可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的人数为________．
10 (2023江苏月考)某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成如图所示的频率直方图，则估计学生的平均成绩为________分．
11 某校高一(8)班班主任为了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据(取整数)整理后，绘制出如图所示的频率直方图．已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据频率直方图所提供的信息，这一天上网学习时间在100～119 min之间的学生约有________人；如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？________．(填“合理”或“不合理”)
四、 解答题
12 (2024山东期末)某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如图所示的频率直方图，已知乙样本中，在区间[70，80)上的数据有10个．
(1) 求n和乙样本频率直方图中a的值；
(2) 试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3) 若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数．
甲样本数据频率直方图
乙样本数据频率直方图
13 (2023江西模拟)上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计(若该校全体学生的成绩均在区间[60，140]内)，按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]的分组，整理画出频率直方图如图所示，若用分层抽样从分数在区间[70，90)内抽取8人，则抽得分数在区间[70，80)内的人数为3.
(1) 求频率直方图中的x，y的值，并估计本次考试成绩的平均数(以每一组区间的中点值作为估算值)；
(2) 该高三数学组准备选取数学成绩在前5%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
14．4.3　用频率直方图估计总体分布
1. A　由题意，得0.15＋0.2＋2a＋0.2＋0.1＋0.05＝1，解得a＝0.15，则前三块小矩形的面积分别为0.15，0.2，0.3，所以中位数位于区间[5，7)内，则所求中位数为5＋×2＝6.
2. B　由题意，得(m＋0.030＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得m＝0.016，所以[50，60)组的频率为0.16，所以＝0.16，解得n＝100，故A正确，B错误；＝55×0.16＋65×0.30＋75×0.40＋85×0.10＋95×0.04＝70.6，故C正确；不及格的频率为0.16，所以估计总体中不及格的学生人数约为0.16×2 000＝320，故D正确．
3. D　由频率直方图可知数据落在区间[40，60)和区间[60，80)上的频率为0.002×20＋0.008×20＝0.2.因为该社区有3 000个家庭，所以估计全社区人均月用电量低于80 kW·h的家庭数为 3 000×0.2＝600.
4. D　对于A，由频率直方图无法得到这组数据的最大值和最小值，故无法准确判断这组数据的极差，故A错误；对于B，因为(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，0.45＋0.5×0.5＝0.7，所以中位数在区间[2，2.5)内．设中位数为x，由0.45＋0.5×(x－2)＝0.5，得x＝2.1，故B错误；对于C，众数为＝2.25，故C错误；对于D，月均用水量超过3 m3的频率为(0.1＋0.1＋0.1)×0.5＝0.15，故D正确．
5. D　设频率直方图第i组的频率为fi，则f1＝0.005×10＝0.05，f2＝0.015×10＝0.15，f3＝0.030×10＝0.3，f4＝0.040×10＝0.4，f5＝0.010×10＝0.1.全校2 000名学生中前400名的同学可以获得奖励，所以获奖同学的占比为＝0.2，故获奖的最低分落在区间[80，90)内．设获奖的最低分为a，则0.05＋0.15＋0.3＋(a－80)×0.040＝0.8，解得a＝87.5.
6. A　因为(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25)×1 000＝0.55>0.5，所以中位数位于区间[4 000，5 000).设中位数为x，则(0.000 1＋0.000 2)×1000＋(x－4 000)×0.000 25＝0.5，解得x＝4 800，故①错误；因为(0.000 15＋0.000 05)×1 000＝0.2，所以如果个税起征点调整至6 000元，估计有20%的当地职工会被征税，故②错误；因为(0.000 1＋0.000 2＋0.000 25＋0.000 25)×1 000＝0.8，所以为使70%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应低于6 000元，故③错误．
7. ABD　对于A，根据频率直方图可知家庭年收入低于4.5万元的农户占比约为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户占比约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率直方图可知该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率直方图可知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户占比约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．故选ABD.
8. BD　由(0.000 5＋0.001 5＋0.002＋0.001 5＋0.000 5＋a)×100＝1，得a＝0.004，故样本数据落在区间[500，600)内的频率为0.4，故A错误；样本数据低于600的频率为0.8，故B正确；区间[200，500)对应的频率为0.4，区间[200，600)对应的频率为0.8，所以中位数在区间[500，600)内，故中位数为500＋×100＝525，故C错误；若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为200×0.05＋300×0.15＋400×0.2＋500×0.4＋600×0.15＋700×0.05＝460，故D正确．故选BD.
9. 150　根据频率直方图可知工厂产量在75件以上的频率为0.010×10＋0.005×10＝0.15，所以估计该工厂产量在75件以上(含75件)的人数为1 000×0.15＝150.
10. 107　由频率直方图知平均成绩为(95×0.03＋105×0.04＋115×0.015＋125×0.01＋135×0.005)×10＝107(分).
11. 14　不合理　上网学习时间在100～119 min的学生约有40×0.35＝14(人).这40名学生只能反映高一(8)班的上网学习时间，不能体现高一年级全体的情况，故不合理．
12. (1) 由频率直方图可知乙样本中数据在区间[70，80)的频率为0.020×10＝0.20，
则＝0.20，解得n＝50.
由乙样本频率直方图可知(0.006＋0.016＋0.020＋0.040＋a)×10＝1，
解得a＝0.018.
(2) 甲样本数据的平均值的估计值为(55×0.005＋65×0.010＋75×0.020＋85×0.045＋95×0.020)×10＝81.5；
乙样本频率直方图中前3组的频率之和为(0.006＋0.016＋0.02)×10＝0.42<0.5，
前4组的频率之和为(0.006＋0.016＋0.02＋0.04)×10＝0.82>0.5，所以乙样本数据的中位数在第4组．
设中位数为x，则(x－80)×0.04＋0.42＝0.5，解得x＝82，所以乙样本数据的中位数为82.
(3) 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为＋0.18＝0.38，
由样本估计总体，得300×0.38＝114，
故历史方向的学生数学成绩在85分以上的约有114人．
13. (1) 设由分层抽样可得分数在区间[70，80)内的人数与分数在区间[80，90)内的人数之比为 3∶5，
所以3∶5＝0.006∶x，则x＝0.01，
y＝×[1－(0.04＋0.06×2＋0.1×2＋0.2＋0.3)]＝0.014，
则平均数为0.04×65＋0.06×75＋0.1×85＋0.2×95＋0.3×105＋0.14×115＋0.1×125＋0.06×135＝102.8(分).
(2) 由题意可知分数在区间[130，140)内的频率为6%，所以前5%在该组．设第5%名的分数为x0，则(140－x0)×0.006＝0.05，
即x0＝140－≈131.667.
因为x0≈131.667<132，
所以小明能被选取．