15.1　随机事件和样本空间 练习（含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

15．1　随机事件和样本空间
一、 单项选择题
1 有下列事件：①从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为，则买100 000张这种彩票一定能中奖．其中必然事件是(　　)
A. ② B. ①②
C. ③ D. ②③
2 (2024信阳月考)同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“至少有一枚向上的面是正面”为事件B，则下列说法中正确的是(　　)
A. A＝B
B. A B
C. A B
D. A与B之间没有关系
3 (2023湖南月考) 随机事件“连续掷一颗骰子直到出现5点时，停止，观察掷的次数”的样本空间是(　　)
A. 5 B. 1到6的正整数
C. 6 D. 一切正整数
4 (2024湖北月考)从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为(　　)
A. 1，6 B. 4，2
C. 5，1 D. 6，1
5 (2023福建期中)抛掷一颗质地均匀的骰子，“向上的面的点数是1或2”记为事件A，“向上的面的点数是2或3”记为事件B，则下列结论中正确的是(　　)
A. A B
B. A＝B
C. A＋B表示向上的面的点数是1或2或3
D. AB表示向上的面的点数是1或2或3
6 一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为(　　)
A. 10 B. 15 C. 16 D. 17
二、 多项选择题
7 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片和2张蓝色卡片，从中任取 3张卡片，则下列说法中正确的是(　　)
A. 事件“都是红色卡片”是随机事件
B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C. 事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D. 事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
8 (2024北碚月考)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A表示“两人都中奖”；B表示“两人都没中奖”；C表示“恰有一人中奖”；D表示“至少一人没中奖”，则下列关系中正确的是(　　)
A. B＋C＝D B. AC≠
C. C D D. BD＝B
三、 填空题
9 连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况．事件A为“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有________个样本点．
10 (2024安徽月考)从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为________________．
11 (2024广东月考)法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想：当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解．该定理被称为费马大定理．现任取x，y，z，n∈{1，2，3，4，5}，则根据费马大定理可得事件“等式xn＋yn＝zn成立”包含的样本点的个数为________．
四、 解答题
12 (2024福建月考)甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．
(1) 写出这个试验的样本空间；
(2) 求这个试验的样本点总数；
(3) 写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边(不一定相邻)”所包含的样本点．
13 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1为“第一次摸到红球”，R2为“第二次摸到红球”，R为“两次都摸到红球”，G为“两次都摸到绿球”，M为“两个球颜色相同”，N为“两个球颜色不同”．
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2) 事件R与事件R1有什么关系；
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
15.1　随机事件和样本空间
1. B　因为三角形的三条高线一定交于一点，所以①是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100 000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件．
2. C　因为同时抛掷两枚硬币，所以基本事件的样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A B.
3. D　连续掷一颗骰子直到出现5点时停止，观察投掷的次数，因为事件发生是随机的，所以投掷的次数可能无限大．故样本空间是一切正整数．
4. C　从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的样本点有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个；事件B包含的样本点有(1，3)，(2，4)，共2个，所以事件A＋B包含的样本点有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；事件AB包含的样本点有(2，4)，共1个．
5. C　由题意可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，则A＋B表示向上的面的点数是1或2或3.故A，B，D错误，C正确．
6. C　为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.
7. ABC　对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，至少有一张红色卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D错误．故选ABC.
8. ACD　对于A，事件B＋C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B＋C＝D，故A正确；对于B，事件AC表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以AC＝ ，故B错误；对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，所以C D，故C正确；对于D，由C可知B D，所以BD＝B，故D正确．故选ACD.
9. 4　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，共含有4个样本点．
10. {ab，ac，ad，bc，bd，cd}　该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd.故Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
11. 12　当n>2时，由费马大定理知等式xn＋yn＝zn不成立；当n＝2时，(x，y，z)可取(3，4，5)或(4，3，5)，共2种情况；当n＝1时，等式即为x＋y＝z，(x，y，z)可取(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，(2，2，4)，(1，3，4)，(3，1，4)，(1，4，5)，(4，1，5)，(2，3，5)，(3，2，5)，共10种情况．综上，使等式成立的样本点的个数为12.
12. (1) 从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，
其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号．
(2) 由(1)知这个试验的样本点总数是6.
(3) 由(1)知，事件“甲、乙相邻”包含4个样本点(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2).
事件“甲在乙的左边(不一定相邻)”包含3个样本点(1，2)，(1，3)，(2，3).
13. (1) 用数组(x1，x2)表示试验结果，其中x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
事件R1为“第一次摸到红球”，即x1＝1或 x1＝2，则事件R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
事件R2为“第二次摸到红球”，即x2＝1或 x2＝2，则事件R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．
同理，事件R＝{(1，2)，(2，1)}；
事件G＝{(3，4)，(4，3)}；
事件M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；
事件N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．
(2) 因为R R1，所以事件R1包含事件R.
(3) 因为R＋G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．