15.2　随机事件的概率 练习（2课时，含详解）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

15．2　随机事件的概率
15.2.1　随机事件的概率(1)
一、 单项选择题
1 (2024上饶期末)若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝8上的概率是(　　)
A. B. C. D.
2 (2024山东月考)从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为(　　)
A. B. C. D.
3 (2023武汉十一中月考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校为2男1女，乙校为1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是(　　)
A. B. C. D.
4 (2023洛阳三中月考)已知集合A＝{x∈Z|x2－6x＋5≤0}，且a∈A，b∈A，则关于x的方程x2＋ax＋b2＝0有实数根且|a－b|<3的概率为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024沧州月考)从1，2，5，7，9，10，11，13，15，20中任取一个数，这个数比a大的概率为，若a恰为以上数据的m百分位数，则m的值可能是(　　)
A. 30 B. 40 C. 45 D. 50
6 (2024辽宁月考)在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等．从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为0.7的事件是(　　)
A. 恰有1件一等品
B. 至少有1件一等品
C. 至多有1件一等品
D. 至少有1件二等品
8 (2024舟山期末)同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的四个面上分别标有1，2，3，4，记录骰子朝下的面上的点数，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(A)＝ B. P(B)＝
C. P(C)＝ D. P(D)＝
三、 填空题
9 (2023武汉十一中月考)将一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为x，第二次得到的点数为y，则log3(x＋y)≥2的概率为________．
10 一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取2个球，则所取的2个球是不同色的概率为________．
11 从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．
四、 解答题
12 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1) 求所有样本点的个数；
(2) 摸出的2只球都是白球的概率是多少？
13 抛掷两颗质地均匀的骰子(标记为一号和二号)，观察两颗骰子分别可能出现的结果．
(1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2) 求下列事件的概率：
①两个点数之和是5；
②一号骰子掷出的点数比二号骰子掷出的点数大．
15．2.2　随机事件的概率(2)
一、 单项选择题
1 (2024徐州月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，则这个人中靶的概率是
B. 一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C. 某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元买彩票，一定会有47元的回报
D. 大量试验后，可以用频率近似估计概率
2 (2023南昌五中月考)一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子约有(　　)
A. 200颗 B. 300颗
C. 400颗 D. 500颗
3 (2023宁波期末)某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1 000名志愿者服用此药，结果如下：
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
241
571
188
如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是(　　)
A. 0.57 B. 0.33 C. 0.24 D. 0.19
4 (2023江苏月考)蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好时机，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂. 某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么该生物小组的同学可以作出比较合理的推断：放养这只黑小蜜蜂的是养蜂人(　　)
A. 甲 B. 乙
C. 甲和乙 D. 不能确定
5 (2024四川月考)众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023荆州月考)某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000 次抛掷硬币的试验，发现正面朝上出现了560次，那么正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A. 0.56，0.56 B. 0.56，0.5
C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.56
二、 多项选择题
7 (2023咸宁月考)下列说法中，不正确的是(　　)
A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定可以被治愈
C. 随机试验的频率与概率相等
D. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
8 (2023济宁月考)下列说法中，错误的是(　　)
A. 抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上
B. 如果某种彩票的中奖概率为，那么买10张这种彩票一定能中奖
C. 在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做是公平的
D. 一个骰子掷一次得到点数2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2
三、 填空题
9 从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为________．
10 为了估计某年来昆明的红嘴鸥数量，随机对500只红嘴鸥做上记号后放回，再随机调查500只红嘴鸥，发现有2只标有记号，该年来昆明的红嘴鸥可能有________只．
11 (2024沙坪坝期中)在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛(比赛采用3局2胜制)，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1～5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲获胜，4，5表示一局比赛中乙获胜，经随机模拟产生了如下20组随机数：
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
据此估计甲获得冠军的概率为________．
四、 解答题
12 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1) 这种鱼卵的孵化率(孵化概率)是多少？
(2) 30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3) 要孵化5 000尾鱼苗，大概需要多少个鱼卵？(精确到百位)
13 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
优等品数m
45
92
194
优等品频率
抽取球数n
500
1 000
2 000
优等品数m
470
954
1 902
优等品频率
(1) 计算表中乒乓球为优等品的频率；(结果保留三位小数)
(2) 从这批乒乓球产品中任取一个，估计检测出为优等品的概率是多少？
15．2.3　随机事件的概率(3)
一、 单项选择题
1 (2023江苏月考)将四位数2 023的各个数字打乱顺序重新排列，所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为(　　)
A. B. C. D.
2 小明忘记了电脑密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
3 (2024安康月考)医院决定对某种病毒性流感的患者拟采用西医疗法和中医疗法治疗．为选择出最好的治疗方案，现按照分层抽样的方法从采用西医疗法的患者中抽取4人，从采用中医疗法的患者中抽取2人，再从这6人中抽取2人留院观察疗效，则2人中至少有一名采用中医治疗的患者的概率为(　　)
A. B. C. D.
4 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B. C. D.
5 若一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”(如235)，任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024青岛月考)甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023本溪期末)5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，则下列结论中正确的是(　　)
A. 甲中奖的概率为 B. 乙中奖的概率为
C. 只有乙中奖的概率为 D. 甲、乙都中奖的概率为
8 (2024聊城期中)一个盒子装有标号1，2，3，4，5的5张标签，则下列说法中正确的是(　　)
A. 有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B. 有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C. 无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D. 无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
三、 填空题
9 (2024宁波期中)将一颗质地均匀的骰子连续抛掷 2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a－b|≤1”的概率为________．
10 (2023重庆一中月考)不透明袋子中装有黑球 1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，则前后两次摸出的球都是白球的概率为________．
11 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，则出现向上的点数之和大于10的概率为________．
四、 解答题
12 (2024福建月考)北京世园会为满足大家的游览需求，打造了4条路线，分别是“解密世园会”“爱我家，爱园艺”“园艺小清新之旅”和“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
(1) 李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是多少？
(2) 用画树状图的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
13 (2023北京通州期中)袋子中有5个大小、质地完全相同的球，其中3个红球，2个白球．
(1) 从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
(2) 从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3) 若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
15．2　随机事件的概率
15.2.1　随机事件的概率(1)
1. C　若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P(m，n)有6×6＝36(种)可能，其中满足m＋n＝8，m，n∈{1，2，3，4，5，6}的数对有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种可能，所以点P(m，n)在直线x＋y＝8上的概率是.
2. C　由题意知数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，5，从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共10个，其中恰好有1个数是质数的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，5}，{2，4}，{3，4}，{4，5}，共6个，所以所求概率为＝.
3. B　设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女的编号分别为B，3，4，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则样本点有(A，3)，(A，4)，(A，B)，(1，3)，(1，4)，(1，B)，(2，3)，(2，4)，(2，B)，共计9个，选出的2名教师性别相同的样本点有(1，B)，(2，B)，(A，3)，(A，4)，共计4个，故选出的2名教师性别相同的概率为.
4. A　由题意，得A＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}，则(a，b)取值的样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点．关于x的方程 x2＋ax＋b2＝0有实数根时，Δ＝a2－4b2≥0，得|a|≥2|b|，所以“方程x2＋ax＋b2＝0有实数根且|a－b|<3”对应的事件为{(2，1)，(3，1)，(4，2)}，含有3个样本点，故所求的概率为.
5. B　1，2，5，7，9，10，11，13，15，20中比7大的数字有6个，若任取一个数，这个数比a大的概率为，则7≤a<9，又a恰为以上数据的m百分位数，故3<≤4，则306. C　不超过10的正奇数有1，3，5，7，9，共5个，从中随机抽取2个，共有{1，3}，{1，5}，{1，7}，{1，9}，{3，5}，{3，7}，{3，9}，{5，7}，{5，9}，{7，9}，10种情况，其中孪生素数有{3，5}，{5，7}，共2种情况，所以可得这2个奇数是孪生素数的概率为＝.
7. CD　将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法．所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).对于A，恰有1件一等品的取法的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，故恰有1件一等品的概率为0.6，故A不符合；对于B，至少有1件一等品的取法的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，故至少有1件一等品的概率为0.9，故B不符合；对于C，至多有1件一等品的取法的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至多有1件一等品的概率为0.7，故C符合；对于D，至少有1件二等品的取法的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至少有1件二等品的概率为0.7，故D符合．故选CD.
8. BCD　设红骰子朝下的面上的点数为a，蓝骰子朝下的面上的点数为b，样本点为(a，b)，则样本空间为Ω＝{(a，b)|a，b∈{1，2，3，4}}，则n(Ω)＝16.因为事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，所以P(A)＝＝，故A错误；因为事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，B＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，所以P(B)＝＝，故B正确；因为事件C表示“两枚骰子的点数相同”，C＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，所以P(C)＝＝，故C正确；因为事件D表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，D＝{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(1，2)，(3，2)，(1，4)，(3，4)}，所以P(D)＝＝，故D正确．故选BCD.
9. 　由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则所有的样本点共有6×6＝36(个)，又由log3(x＋y)≥2，可得x＋y≥9，其所对应的样本点有(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共10个，故所求概率 P＝＝.
10. 　设4个白球编号为1，2，3，4，1个黑球编号为A.从中任取2个球的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，A)，(2，3)，(2，4)，(2，A)，(3，4)，(3，A)，(4，A)，共10个，所取的2个球是不同色的样本点有(1，A)，(2，A)，(3，A)，(4，A)，共4个，故所求概率为P＝＝.
11. 　设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，则试验的样本空间 Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个.因为其中恰有1件是次品的样本点有(A，D)，(B，D)，(C，D)，共3个，所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为P＝＝.
12. (1) 分别记白球为1，2，3，黑球为4，5，从中一次摸出2只球，则样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共有10个样本点．
(2) 记“摸出的2只球都是白球”为事件A，则由(1)得事件A包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝，故摸出2只球都是白球的概率为.
13. (1) 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．
用数字m(m∈{1，2，3，4，5，6})表示一号骰子出现的点数，用数字n(n∈{1，2，3，4，5，6})表示二号骰子出现的点数，
则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，
样本空间Ω共有36个样本点，因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型．
(2) ①记“两个点数之和是5”为事件A，由(1)知事件A所含样本点为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4个，所以P(A)＝＝.
②记“一号骰子掷出的点数比二号骰子掷出的点数大”为事件B，事件B所含样本点为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共15个，所以P(B)＝＝.
15．2.2　随机事件的概率(2)
1. D　对于A，中靶的结果是频率，不是概率，故A错误；对于B，C，掷硬币正面朝上的概率和彩票的回报率均只代表可能性，故B，C错误，对于D，符合概率的估算方法，故D正确．
2. B　设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子大约有300颗．
3. C　由统计表可知在1 000名志愿者中，服药后出现体重减轻的人数为241，故服药后出现体重减轻的频率为＝0.241≈0.24.
4. B　由题意可知从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以认为这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的比较合理．
5. B　设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h．因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%，所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a，则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为P＝＝.
6. B　某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000 次抛掷硬币的试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为＝0.56.由于每次抛掷硬币时，正面朝上和反面朝上的概率相等，都是，故出现正面朝上的概率为＝0.5.
7. ABC　概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，故A，B错误；频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数足够时，频率会稳定在概率附近，故C错误，D正确．故选ABC.
8. ABD　概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，故A，B，D错误；抛掷均匀塑料圆板出现正面朝上与反面朝上的概率相等，是公平的，故C正确．故选ABD.
9. 0.58　由数表知，取到奇数号码的次数为17＋5＋6＋18＋12＝58，所以取到号码为奇数的频率为＝0.58.
10. 125 000　设红嘴鸥有x只，则＝，解得x＝125 000，故红嘴鸥约有 125 000只.
11. 0.65　20组数据中，表示甲获得冠军的有334，221，433，315，142，331，423，212，121，231，312，324，115共13组，所以估计甲获得冠军的概率为＝0.65.
12. (1) 这种鱼卵的孵化率为＝0.851 3.
(2) 30 000个鱼卵大约能孵化30 000×0.851 3＝25 539(尾)鱼苗．
(3) 设大概需要x个鱼卵．
由题意知＝，解得x≈5 900，
所以大概需要5 900个鱼卵．
13. (1) 表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.
(2) 随着抽球数的增多，得到的频率都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，质量检测为优等品的概率约为0.950.
15．2.3　随机事件的概率(3)
1. A　将2 023各个数字打乱顺序重新排列，所组成的不同四位数(含原来的四位数)的基本事件包含的样本点有2 203，2 230，3 220，3 022，2 023，2 320，2 032，2 302，3 202，共9个，所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的基本事件包含的样本点有2 023，2 320，2 032，2 302，3 202，共5个．故所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为.
2. C　记事件A为“小明输入一次密码能够成功开机”，则小明输入密码的前两位的所有样本点为(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15个，而小明输入一次密码能够成功开机，只有1个样本点，故P(A)＝.
3. D　由题意，知采用中医治疗法的患者有2人，设为A，B，采用西医疗法的有4人，设为a，b，c，d，从这6人中抽取2人的结果有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15个结果，其中至少有一名采用中医疗法的患者的结果有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共9种结果，所以所抽取的2人中至少有一名采用中医疗法的患者的概率为P＝＝.
4. D　从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的所有样本点的总数n＝5×5＝25(个).抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共有10个，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P＝＝.
5. C　任取一个“十全十美三位数”，包含的所有样本点为109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，所以任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为P＝＝.
6. A　设乙领到i元，丙领到j元，丁领到k元，则可用(i，j，k)表示1个样本点，所以Ω＝{(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)，(1，2，2)，(2，1，2)，(2，2，1)}，所以样本点总数n(Ω)＝6，设乙获得“最佳手气”为事件A，则A包含的样本点有(3，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，共3个，即n(A)＝3，所以概率为P(A)＝＝＝.
7. AD　设中奖的奖券为1，2，不中奖的奖券为3，4，5，则试验“首先由甲抽一张，然后由乙抽一张”的所有样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20个．因为事件“甲中奖”包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，共8个，所以甲中奖的概率为＝，故A正确；因为事件“乙中奖”包含的样本点为(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，共8个，所以乙中奖的概率为＝，故B错误；因为事件“只有乙中奖”包含的样本点为(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，共6个，所以只有乙中奖的概率为＝，故C错误；因为事件“甲、乙都中奖”包含的样本点为(1，2)，(2，1)，共2个，所以甲、乙都中奖的概率为＝，故D正确．故选AD.
8. AD　对于A，有放回的随机选取两张标签，有25种取法，因为其中标号相等的取法有5种，所以概率为P＝＝，故A正确；对于B，有放回的随机选取两张标签，有25种取法，因为其中第一次标号大于第二次标号的取法有10种，所以概率为P＝＝，故B不正确；对于C，无放回的随机选取两张标签，有20种取法，因为其中标号之和为5的取法有4种取法，所以概率为P＝＝，故C不正确；对于D，无放回的随机选取两张标签，有20种取法，因为其中第一次标号大于第二次标号的取法有10种，所以概率为P＝＝，故D正确．故选AD.
9. 　将一颗质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数(a，b)所有可能的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个基本事件．因为其中满足|a－b|≤1的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个基本事件，所以概率P＝＝.
10. 　记黑球为黑，3个白球分别为白1，白2，白3，则前后两次摸出球的颜色的所有样本点为(黑，黑)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，黑)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，黑)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，白3)，(白3，黑)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，白3)，共16个，两次都是白球的样本点有9个，则前后两次摸出的球都是白球的概率为.
11. 　所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个，点数之和大于10的样本点为(5，6)，(6，5)，(6，6)，共3个，故所求概率为＝.
12. (1) 在这4条线路中任选一条，每条线路被选中的可能性相等，
所以在这4条线路中，李欣选择线路“园艺小清新之旅”的概率是.
(2) 记“解密世园会”为A，“爱我家，爱园艺”为B，“园艺小清新之旅”为C，“快速车览之旅”为D，则画树形图，如图，共有16种等可能的结果，因为李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，所以李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为＝.
13. 记三个红球编号分别为1，2，3，两个白球分别为4，5.
(1) 在有放回情况下，第一次摸球时，有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时，有5种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果，则所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5).
第一次摸到白球的可能结果有10种，记事件A为 “第一次摸到白球”，则P(A)＝＝.
(2) 在无放回情况下，第一次摸球时，有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时，有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，则所有的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4).第二次摸到白球的可能结果有8种，记事件B为 “第二次摸到白球”，则P(B)＝＝.
(3) “同时摸出两个球”的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．
其中至少摸到一个白球的样本点有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共7个．
记事件C为 “至少摸到一个白球”，则P(C)＝.