(共35张PPT)
（北师大版）七年级
下
6.4.1用图象表示变量之间的关系
变量之间的关系
第6章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1．理解两个变量之间的关系的曲线图象，了解图象中各个部分所表示的意义；
2．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．
新知导入
同学们见过股市走势图吗？生活中还有哪些类似现象？你能看懂这些图象吗？
新知讲解
气温的变化是人们经常谈论的话题。请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况。
(1)你能描述该地这一天气温的变化情况
吗 在什么时间范围内气温下降，什么
时间范围内气温上升
先下降，后上升，之后再下降。
0:00-3:00温度下降，3:00-15:00温度上升，15:00-24:00温度下降。
探究
用曲线型图象表示变量之间的关系
新知讲解
(2)该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的 最高气温呢 这一天的温差是多少
最低温度是23℃，3:00是达到最低温度；
最低温度是37℃，15:00是达到最高温度；
这一天的温差是14℃。
新知讲解
(3)图中的A点表示什么 B点呢
(4)你预测该地这一天次日凌晨1:00的
气温是多少 说说你的理由。
(3)A点表示21:00温度为31℃；
B点表示0:00温度为26℃。
(4)次日凌晨1:00的气温是24℃;
由温度曲线可以看出。
新知讲解
如图表示了气温随着时间的变化而变化的情况，它是气温与时间之间关系的图象。
新知讲解
图象法：
用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
新知讲解
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）
上的点表示因变量．
横轴
纵轴
0
尝试·思考：
新知讲解
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况。观察图象，回答下列问题:
(1)你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗
日出时间由晚到早再到晚；
日落时间由早到晚再到早。
尝试·思考：
新知讲解
如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况。观察图象，回答下列问题:
(2)这一年日出时间最早大约是什么时候 最晚呢 日落时间呢
日出时间最早大约是5:00，最晚大约是7:30；
日落时间最早大约是17:00，最晚大约是19:30。
新知讲解
曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的含义.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深y与注水量x的函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.张老师在化学实验室做实验时,将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却,如图是这杯水冷却时的温度变化图,根据图中所显示的信息,下列说法不正确的是( )
A.水温从100℃逐渐下降到35℃用了6 min
B.从开始冷却后14min时的水温是15℃
C.实验室的室内温度是15℃
D.水自然冷却到了10℃
C
课堂练习
3.如图是某市某一天的气温变化图象,结合该图给出的信息写出一个正确的结论: .
这一天的最高气温约是26℃(答案不唯一)
【知识技能类作业】必做题：
4．在池塘里,藻类的数量与水温有关,如图是藻类数量与水温的关系图.
(1)藻类在什么情况下数量最多
(2)藻类在什么情况下基本不能生存
解:(1)藻类在水温为30℃时数量最多;
(2)藻类在0℃以下和60℃以上基本不能生存;
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4．在池塘里,藻类的数量与水温有关,如图是藻类数量与水温的关系图.
(3)根据此图请你说一说藻类的数量是怎样
随水温变化的.
(3)0 ℃~30℃时,藻类的数量随水温的升高而增多，
30 ℃~60℃时,藻类的数量随水温的升高而减少.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.下列四幅图象近似地刻画两个变量之间的关系,按图象顺序将下列四种情景与之对应排序正确的是( )
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
①一辆汽车在公路上匀速行驶,汽车行驶的路程与时间的关系;
②向锥形瓶中匀速注水,水面的高度与注水时间的关系;
③将常温下的温度计插入一杯热水中,温度计的读数与时间的关系;
④一杯越来越凉的水,水温与时间的关系.
A.①②④③ B.③④②① C.①④②③ D.③②④①
6.经科学家研究，蝉在气温超过28℃时才会活跃起来,此时边吸树木的汁液边鸣叫.如图是某地一天的气温变化图象,在这一天中,听不
到蝉鸣的时间有 h.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
12
7.青春期男、女生身高变化情况不尽相同.如图是小军和小蕊青春期身高的变化情况.
（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？
解：（1）反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高.
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.青春期男、女生身高变化情况不尽相同.如图是小军和小蕊青春期身高的变化情况.
（2）A，B两点表示什么？
（3）小蕊10岁时身高大约是多少？
解：（2）A点表示小军和小蕊在11岁半时身高都是143cm，B点表示小军和小蕊在15岁时身高都是156cm.
（3）小蕊10岁时身高大约是127cm.
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
1.图象法：
用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）
上的点表示因变量．
板书设计
1.图象法：
用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量．
课题：6.4.1用图象表示变量之间的关系
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．在一次足球比赛中,守门员用脚踢出去的球的高度h随时间t的变化而变化,可以近似地表示h与t之间的关系的图象是( )
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( )
A.5 m B.7 m
C.10m D.13 m
D
3.如图是周涛同学推出的铅球行进的曲线,其中y表示铅球行进的高度,x表示铅球行进的水平距离.
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系
(2)根据图象回答:铅球行进的最高点距地面是多少米 周涛投掷铅球的距离是多少
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
解:(1)这个图象反映了铅球行进的高度y与
行进的水平距离x这两个变量之间的关系;
(2)3 m;10m.
4.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长.如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图.在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（ ）
A.惊蛰 B.小满
C.秋分 D.大寒
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图是某市一天的气温随时间变化的情况,下列说法正确的是( )
A.这一天最低气温是-4℃
B.这一天12时气温最高
C.最高气温比最低气温高8℃
D.0时至8时气温呈下降趋势
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
A
6.小明在同样的两个容器中盛满水,加热到相同温度,然后用厚度相同的1,2两种保温材料包好,每隔 5 min测量一次两个容器中水的温度.试验过程中室温保持不变,最后他把记录的温度画成了如图所示的图象，其中横轴表示时间,纵轴表示温度,仔细观察图象,然后回答问题.
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
(1)小明把水加热到了多少度，后来降到了多少度
(2)半小时后,哪个容器中的水温度稍高些 你是怎样看出来的
解:(1)加热到了80 ℃,后来降到了20℃;
(2)用保温材料1包好的容器水温稍高;用保温材料1包好的容器中水温约为56℃,而用保温材料2包好的容器中水温约为46℃;
【综合拓展类作业】
作业布置
(3)你估计当时室温可能是多少度,说一说你估计的依据;
(4)哪种保温材料的保温性能更好些 说说你的理由.
解：(3)室温约20℃,因为两容器的水温降到这一温度后都不再降了;
(4)保温材料1的保温性能更好些,因为用它包的容器中的水降温的速度相对比较慢.
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2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 下册、第6章
课标要求 【内容要求】1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。【学业要求】能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义，并能找出变量之间的数量关系及变化规律，形成初步的抽象能力；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例，初步形成模型观念；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义；能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值；能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息，发现变量间的变化规律；能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，结合对函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测。
内容分析 本章的主要内容有：(1)两个变量之间关系的表示方法及变量、自变量、因变量的意义；(2)根据表格、关系式、图象获取信息并解决一些实际问题。本章从常量的世界进入变量的世界，开始接触新的思维方式.经历探究具体情境中的两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，培养学生的符号意识：从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的变量间关系，发展学生有条理的思考和表达能力；从运动变化的角度认识数学对象的过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；同时在本单元的学习中注意数形结合思想的运用，善于由图象获取信息，由图索数、由数导形，将抽象的数与直观的形有机结合起来.
学情分析 在前面相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
单元目标 教学目标1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，感受变量的思想，发展符号意识；2.能发现实际情境中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量；3.能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，感受几何直观的作用，并能用自己的语言进行表达，发展有条理地进行思考和表达的能力；4.能根据具体问题，用表格和关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测；5.体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；6. 在探究、学习变量之间关系的过程中，进一步提高学习兴趣和增强学好数学的自信心。(二)教学重点、难点教学重点：自变量、因变量的理解，图象的认识。教学难点：根据具体问题，选取用表格、关系式或图象来表示某些变量间的关系，并结合对某些变量之间关系的分析，尝试对某些变化趋势进行预测.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数6.1现实中的变量1课时6.2用表格表示变量之间的关系1课时6.3用关系式表示变量之间的关系1课时6.4用图象表示变量之间的关系2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1现实中的变量1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；2.了解自变量与因变量的意义。1.理解常量与变量的含义；2.能区分实例中的常量与变量；3.了解自变量与因变量的意义。任务一：观察图片，感受事物的变化任务二：变量与常量6.2用表格表示变量之间的关系1.能从表格中获得变量之间关系的信息；2.能用表格表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测．1.能从表格中获得变量之间关系的信息；2.能用表格表示变量之间的关系，3.会根据表格对变化趋势进行初步的预测．任务一：复习变量、常量的概念，引出新课任务二：用表格表示变量之间的关系6.3用关系式表示变量之间的关系1.能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系，根据关系式解决相关问题；2.并会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系；3.通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的能力.1.能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系，2.会根据关系式解决相关问题；3.会根据关系式求值.任务一：复习回顾，引出新课任务二：用关系式表示变量之间的关系6.4.1用图象表示变量之间的关系1．理解两个变量之间的关系的曲线图象，了解图象中各个部分所表示的意义；2．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．1．理解两个变量之间的关系的曲线图象，2.了解图象中各个部分所表示的意义；3．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．任务一：观察图片，引出新课任务二：用曲线型图象表示变量之间的关系6.4.2用图象表示变量之间的关系1.能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解；2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；3.进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。1.能从图象分析变量之间的关系；2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示；3.体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。任务一：回忆学过的表示变量之间关系的方法任务二：用折线型图象表示变量之间的关系
《第6章 》变量之间的关系 单元教学设计
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分课时教学设计
《6.4.1用图象表示变量之间的关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容主要是用图象表示的变量间关系，这是第一课时，主要是一些温度变化的表示等。学生在活动中，可以从图象的角度进一步感受到自变量与因变量的对应思想，同时体会几何直观的作用，进一步积累研究变量之间关系的经验.
学习者分析 学生通过前两节课的学习已经清楚变量、自变量和因变量的含义，并学会用表格和关系式表示变量之间的关系；学生在七年级上学期已经学习了折线统计图，了解折线统计图的特征，并能准确地绘制折线统计图，会利用折线统计图解决实际问题.在这个基础上，可以利用图象深刻体会变量之间关系.
教学目标 1．理解两个变量之间的关系的曲线图象，了解图象中各个部分所表示的意义； 2．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．
教学重点 能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息.
教学难点 能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 同学们见过股市走势图吗？生活中还有哪些类似现象？你能看懂这些图象吗？ 学生活动1： 学生观察图片，感受图象能够展示许多信息.活动意图说明： 通过展示图片，激发学生的好奇心，从而激发学生学习本课的兴趣.环节二：用曲线型图象表示变量之间的关系教师活动2： 气温的变化是人们经常谈论的话题。请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况。 (1)你能描述该地这一天气温的变化情况吗？在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升？ 先下降，后上升，之后再下降。 0：00-3：00温度下降，3：00-15：00温度上升，15：00-24：00温度下降。 (2)该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的？最高气温呢？这一天的温差是多少？ 最低温度是23℃，3：00是达到最低温度； 最低温度是37℃，15：00是达到最高温度； 这一天的温差是14℃。 图中的A点表示什么？B点呢？ A点表示21：00温度为31℃； B点表示0：00温度为26℃。 (4)你预测该地这一天次日凌晨1：00的气温是多少？说说你的理由。 次日凌晨1：00的气温是24℃； 由温度曲线可以看出。 如图表示了气温随着时间的变化而变化的情况，它是气温与时间之间关系的图象。 图象法： 用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量． 尝试·思考： 如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况。观察图象，回答下列问题： (1)你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗？ 日出时间由晚到早再到晚； 日落时间由早到晚再到早。 (2)这一年日出时间最早大约是什么时候？最晚呢？日落时间呢？ 日出时间最早大约是5：00，最晚大约是7：30； 日落时间最早大约是17：00，最晚大约是19：30。 曲线型图象能够反映出数据的变化趋势，通过结合横、纵轴表示的意义，我们能够很直观的感受到数据的含义.学生活动2： 学生观察气温变化的图象，回答问题。 学生与教师一起总结图象法的概念。 学生观察图象，思考回答问题。 活动意图说明： 从学生熟悉的情境出发，通过图象直观地表示变量之间的关系，鼓励学生根据生活经验，自己从图象中获取信息，并与同伴进行交流，培养学生的识图能力，观察分析能力及.语言表达能力，发展几何直观.
板书设计 课题：6.4.1用图象表示变量之间的关系 1.图象法： 用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。 2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深y与注水量x的函数关系的大致图象是（ D ） 2.张老师在化学实验室做实验时，将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却，如图是这杯水冷却时的温度变化图，根据图中所显示的信息，下列说法不正确的是( C ) A.水温从100℃逐渐下降到35℃用了6 min B.从开始冷却后14min时的水温是15℃ C.实验室的室内温度是15℃ D.水自然冷却到了10℃ 3.如图是某市某一天的气温变化图象，结合该图给出的信息写出一个正确的结论： 这一天的最高气温约是26℃(答案不唯一) . 4.在池塘里，藻类的数量与水温有关，如图是藻类数量与水温的关系图. (1)藻类在什么情况下数量最多？ (2)藻类在什么情况下基本不能生存？ (3)根据此图请你说一说藻类的数量是怎样随水温变化的. 解：(1)藻类在水温为30℃时数量最多； (2)藻类在0℃以下和60℃以上基本不能生存； (3)0 ℃~30℃时，藻类的数量随水温的升高而增多， 30 ℃~60℃时，藻类的数量随水温的升高而减少. 选做题： 5.下列四幅图象近似地刻画两个变量之间的关系，按图象顺序将下列四种情景与之对应排序正确的是( D ) ①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间的关系； ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度与注水时间的关系； ③将常温下的温度计插入一杯热水中，温度计的读数与时间的关系； ④一杯越来越凉的水，水温与时间的关系. A.①②④③ B.③④②① C.①④②③ D.③②④① 6.经科学家研究，蝉在气温超过28℃时才会活跃起来，此时边吸树木的汁液边鸣叫.如图是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉鸣的时间有 12 h. 【综合拓展类作业】 7.青春期男、女生身高变化情况不尽相同.如图是小军和小蕊青春期身高的变化情况. （1）图中反映了哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？ （2）A，B两点表示什么？ （3）小蕊10岁时身高大约是多少？ 解：（1）反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高. （2）A点表示小军和小蕊在11岁半时身高都是143cm，B点表示小军和小蕊在15岁时身高都是156cm. （3）小蕊10岁时身高大约是127cm.
课堂总结 1.图象法： 用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法。 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。 2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在一次足球比赛中，守门员用脚踢出去的球的高度h随时间t的变化而变化，可以近似地表示h与t之间的关系的图象是( C ) 2.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( D ) A.5 m B.7 m C.10m D.13 m 3.如图是周涛同学推出的铅球行进的曲线，其中y表示铅球行进的高度，x表示铅球行进的水平距离. (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据图象回答：铅球行进的最高点距地面是多少米？周涛投掷铅球的距离是多少？ 解：(1)这个图象反映了铅球行进的高度y与行进的水平距离x这两个变量之间的关系； (2)3 m；10m. 选做题： 4.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长.如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图.在下列选项中白昼时长超过13小时的节气是（ B ） A.惊蛰 B.小满 C.秋分 D.大寒 5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是( A ) A.这一天最低气温是-4℃ B.这一天12时气温最高 C.最高气温比最低气温高8℃ D.0时至8时气温呈下降趋势 【综合拓展类作业】 6.小明在同样的两个容器中盛满水，加热到相同温度，然后用厚度相同的1，2两种保温材料包好，每隔 5 min测量一次两个容器中水的温度.试验过程中室温保持不变，最后他把记录的温度画成了如图所示的图象，其中横轴表示时间，纵轴表示温度，仔细观察图象，然后回答问题. (1)小明把水加热到了多少度，后来降到了多少度？ (2)半小时后，哪个容器中的水温度稍高些？你是怎样看出来的？ (3)你估计当时室温可能是多少度，说一说你估计的依据； (4)哪种保温材料的保温性能更好些？说说你的理由. 解：(1)加热到了80 ℃，后来降到了20℃； (2)用保温材料1包好的容器水温稍高；用保温材料1包好的容器中水温约为56℃，而用保温材料2包好的容器中水温约为46℃； (3)室温约20℃，因为两容器的水温降到这一温度后都不再降了； (4)保温材料1的保温性能更好些，因为用它包的容器中的水降温的速度相对比较慢.
教学反思 图象法能直观形象地表示因变量随自变量变化的变化趋势，可通过图象来研究变量的某些性质，这也是数形结合的优点，但是它也存在感性观察不够准确，画面局限性大的缺点.教学中让学生自己归纳总结，回顾反思，将知识点串连起来，完成对该部分内容的完整认识和意义建构.这对学生在实际情境中根据不同需要选择恰当的方法表示变量间的关系，发展与深化思维能力是大有裨益的.
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