广东省江门市新会区名冠实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含详解）

广东省江门市新会区名冠实验学校2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A．6 B．3 C． D．
3．函数的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在正项等比数列中，，则的公比等于（ ）
A． B．2 C．4 D．2
6．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数求导错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．以下关于数列的结论正确的是（ ）
A．若数列的前n项和，则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．若数列满足，则数列为等差数列
D．若数列满足．则数列为等比数列
11．定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项积为，若，则 .
13．在等差数列中，，则 .
14．已知函数，且，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
（1）求曲线在点（e，）的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
16．已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
17．已知函数，且当时，有极值－5．
(1)求的值；
(2)求在上的值域．
18．已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
19．设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)把用表示．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，则，
所以.
故选A.
2．【答案】D
【详解】因为，
所以，
令，得，
∴，
所以，故
故选D.
3．【答案】B
【详解】
．
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题设，令，
则，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
，且时趋向，时趋向，
要使函数既有极大值又有极小值，
即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点，
所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】设数列的公比为，则，
解得（负值舍去）.
故选B.
6．【答案】B
【详解】解法一： 由题意得当时，，
因为函数，在上都单调递减，
所以函数在上单调递减，排除C，D；
因为，所以排除A，
故选B.
解法二：当时，则，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确.
故选B．
7．【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选D．
8．【答案】A
【详解】由可得，
因在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，
而函数在上单调递减，则，
故，即a的取值范围是.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】A．，时，，
时，，，
当时，上式也符合，所以成立，A选项正确.
B．，时，，
时，，，
所以，数列不是等不数列，B选项错误.
C．由等差中项定义知C选项成立；
D．若，则不成立，D选项错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误；
对于B，令，则，解得．所以B正确；
对于C，令得，，
即，所以C正确；
对于D，令得．，
因为，，所以，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，所以，
所以，所以，所以，所以D正确．
故选BCD．
12．【答案】
【详解】由题意得，，
∵，
∴，
∴.
13．【答案】9
【详解】因为，，
所以.
14．【答案】
【详解】令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又，
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
15．【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增．
【详解】解：（1）由得，
所以切线斜率为
切点坐标为，
所以切线方程为，即；
（2），
令，得．
当时，；
当时，，
∴在单调递减，在单调递增．
16．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
（2）由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到，
所以，
故．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
（2）由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
18．【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）由题意知，又，可得，
所以，又是正偶数，所以．
（2）设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
又，，故，
可得，又，又，都为正偶数，
故，即，
又由（1）的结论得，，故有，即．
（3）设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．