广东省肇庆市第六中学2024-2025学年高二下学期期中检测数学试题（含详解）

广东省肇庆市第六中学2024 2025学年高二下学期期中检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知各项均为正数的等比数列是单调递增数列，，则（ ）
A． B． C．10 D．20
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．用0～5这6个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数为（ ）．
A．100 B．150 C．200 D．225
6．若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
8．已知函数，函数恰有两个不同的零点，则的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C． D．
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，是数列的前项和.以下说法正确的是（ ）
A． B．是数列的第8项
C．当时，最大 D．是公差为的等差数列
11．已知函数，是的导函数，且，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．的所有极值点之和为0
B．的极大值点之积为2
C．
D．的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 .
13．在一个玩数米粒的游戏中，甲 乙 丙 丁四人每人各有一个罐子，每轮游戏都从米缸中分若干次数米粒放入自己的罐子中．第一轮：甲数了1粒，接着乙数了2 3粒，接着丙数了4 5 6粒，接着丁数了7 8 9 10粒；第二轮甲接着数了11 12 13 14 15粒，依次循环，直到某人某次数了1000粒，游戏结束．在第二轮游戏完成时，丁的罐子里一共有 粒米粒；游戏结束时，是进行到第 轮游戏．
14．已知函数的两个零点分别为和，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在公差不为0的等差数列中，且，数列的前项和为且
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性.
17．设函数．
（1）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程；
（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围．
18．已知是公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，且，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式及其前n项和；
(2)设求数列的前n项和；
(3)设集合，求集合M中所有元素的和．
19．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若不等式恒成立，证明：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因，即，，
解得或（舍），
设公比为，则，故
故选D.
2．【答案】D
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选D.
3．【答案】B
【详解】，
令可得解得，
所以，所以，
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题，
，
故选A.
5．【答案】A
【详解】依题意，从6个数字中任取3个的排列数为，其中数字0在百位的有个，
所以组成的没有重复数字的三位数的个数为.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，
由于在上单调递增，
所以在上恒成立，
在上恒成立，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
所以，故的最大值为，
故选D.
7．【答案】B
【详解】由得，
由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
故ACD都错，B正确，
故选B.
8．【答案】A
【详解】作出的图象如下，

由图象可知，当，即时，函数有2个交点，
即函数恰有两个不同的零点，
因为，所以，可得，
则，
构造函数，，
令解得，，令解得，，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以函数的最大值和最小值之差为，
所以的最大值和最小值的差是，
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】因为，，又数列是递增的，
所以，所以公比，，所以，所以，
得，，，，故A错误；
由于，所以数列是等差数列，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，故D正确．
故选BCD．
10．【答案】ABC
【详解】由等差数列的首项，公差，可得，
对于A中，根据题意，可得，，所以公差为，
所以数列的通项公式为，所以A正确；
对于B中，由，令，解得，所以B正确；
对于C中，令，解得，
所以或时，取得最大值，所以C正确；
对于D中，由，可得，
则，
所以是公差为的等差数列，所以D错误.
故选ABC.
11．【答案】AC
【详解】，
令，则或；令，则或；
故的极大值点为，它们的乘积为，故B错误.
而的极小值点为，故的所有极值点之和为0，故A正确.
设，
则有三个不同的实数解，且.
设，则有3个不同的零点，
又，
令，则；
令，则或，
故在为增函数，在、上为增函数，
因为有三个不同的实数解，故，
整理得到：，解得.
又因为有三个不同的实数解，
故
，
故恒成立，
故且，故C正确，
而，故D错误.
故选AC.
12．【答案】0
【详解】因为，所以，
所以.
13．【答案】 294 12
【详解】将自然数按照以下规律排成数阵：
第一行：1
第二行：2,3
第三行：4,5,6
第四行：7,8,9,10
第五行：12,13,14,15,16
……
设数列：.
则数阵第行的最后一个数为：.
由，且.
所以是第45行的第10个数.
在第二轮游戏完成时，丁的罐子里的米粒数为：.
因为，所以游戏完成时，是进行到第12轮.
14．【答案】
【详解】当时，，当，时，
由题意，，，
所以，，
故
设，，
则，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故，
故的最小值为.
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，
因为，解得，所以，
又由数列的前项和为，满足
当时，可得，即，可得；
当时，，
两式相减得，整理得，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）解：由（1）知：，，可得，
所以，
则，
两式相减，可得
，
所以，即数列的前项和为.
16．【答案】(1)有极小值，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，，且函数的定义域为，
当时，，在单调递减；时，，单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）函数定义域为，，
当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
当时，的解为，的解为，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意，函数，可得，
因为时，函数取得极值，所以，解得，
所以，且，
令，可得，且，
所以函数的图像在处的切线方程，即.
（2）因为函数在区间内不单调，即在有解，
即方程在有解，即在有解，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，
所以，即，即，
解得，即实数的取值范围是.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)900.
【详解】（1）因为是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，
所以，即，又，
所以，，，；
（2），
则数列的前n项和；
（3）集合，
故，故集合M中所有元素的和即求数列的前30项和，
则．
19．【答案】(1)的单调递减区间为，无单调递增区间
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，．
所以，
故的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）由恒成立，
可知恒成立，即，
令，
不妨设，则，
，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，
所以．