椭圆离心率问题专项训练（含解析）-2025学年高考数学二轮专题

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椭圆离心率问题专项训练-2025学年高考数学二轮专题
一、单选题
1．已知椭圆的右焦点为F，点，若椭圆C经过线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆，过的右焦点的直线交于，两点，若存在直线使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的焦距为，，，是上三个不同的点，，关于坐标原点对称，且直线与直线的斜率之积为（是的离心率），则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
5．已知圆，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，圆柱的轴与一平面所成角为，该平面截圆柱侧面所得的图形为椭圆，此椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
7．设椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆与椭圆离心率相同，过左顶点与上顶点的直线与椭圆交于两点，若恰为线段的两个三等分点，则的长轴长为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题
9．已知在平面直角坐标系中，曲线的离心率为直线在某一坐标轴上的截距，则的值可能是（ ）
A．57 B． C． D．
10．给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．动点的轨迹是一个椭圆
C．直线的斜率之积为常数
D．内切圆的面积无最大值也无最小值
11．已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与椭圆切于点的切线方程为
D．若直线的斜率存在，则
三、填空题
12．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 .
13．已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为 .
四、解答题
15．已知椭圆的离心率为，左顶点为．
(1)求的方程；
(2)设点为上一点且在轴上方，直线分别交轴于两点．若的面积比的面积大，求点的坐标．
16．已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
17．如图，已知椭圆的离心率为，线段，分别为的长轴与短轴，四边形的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)若直线与分别交于，两点，且总有平分.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
18．已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且.
(1)求椭圆M的标准方程.
(2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由．
《椭圆离心率问题专项训练-2025学年高考数学二轮专题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B D D B ABD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】找出线段PF的中点坐标，代入椭圆方程，化简即可.
【详解】因为，所以线段PF的中点坐标为．
因为椭圆C经过线段PF的中点，所以，化简可得,
即椭圆C的离心率为．
故选：C．
2．D
【分析】根据给定条件，求出过的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.
【详解】设的右焦点坐标为，长轴是过的右焦点的最长弦，
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由消去得，设，
，则
，当且仅当时取等号，
依题意，，解得，则的离心率.
故选：D
3．B
【分析】利用点差法即可得到则，结合斜率关系，最后利用离心率公式即可.
【详解】设，，则，，所以，，
两式相减得，则．
由，得，
因为，所以4，则，所以的方程为．
故选：B．
4．D
【分析】根据等比中项可求，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式即可求解.
【详解】因为实数，，成等比数列，所以，则；
当时，圆锥曲线，即为椭圆，其离心率；
当时，圆锥曲线，即为双曲线，其离心率；
故选：D
5．B
【分析】画出图形，当动圆M与圆内切，与圆外切，此时离心率为，当动圆M与圆，均内切，，求出答案.
【详解】，如图1，动圆M与圆内切，与圆外切，
此时，，，
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
如图2，当动圆M与圆，均内切，
，
则
，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆方程，此时，
故，故离心率为，
.
故选：B
6．D
【分析】设圆柱底面圆的半径为R，则，利用截面与底面成角求出，再求得，从而可得结果.
【详解】设圆柱底面圆的半径为R，则短轴长，所以，
圆柱的轴与一平面所成角为，
所以椭圆的长轴长为，
所以，
离心率为，
故选：D
7．D
【分析】根据椭圆的标准方程得到的坐标，再利用两点式可得到直线的方程，结合条件及点到直线的距离公式得到，从而有，即可求解.
【详解】易知，，，则直线的方程为，即，
又到直线的距离为，则，整理得到，
所以，则，解得或（舍）
故选：D.
8．B
【分析】由离心率得到，求出过左顶点与上顶点的直线方程，不妨设点在轴上方，则，代入椭圆方程，即可求出，从而得解.
【详解】因为椭圆与椭圆离心率相同，
所以，所以，
椭圆的左顶点，上顶点，
又过左顶点与上顶点的直线方程为，
不妨设点在轴上方，过点作轴的垂线，则为的中点，则，
所以，所以，解得（负值已舍去）
所以的长轴长为.
故选：B
9．ABD
【分析】求得直线在，轴上的截距，分类讨论可求得的值.
【详解】由，可得直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
若曲线的离心率为，
则或，解得或，
若曲线的离心率为，
则，解得，
综上所述：的值可能是.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】若是内切圆与轴的切点，利用椭圆的定义及圆切线的性质得到判断A；若，，且，结合椭圆、角平分线、合比的性质得到、，代入椭圆方程即可得动点的轨迹，进而应用两点式求斜率判断B、C；由内切圆的半径判断D.
【详解】若是内切圆与轴的切点，，，，，
又，则，即，
所以离心率，A对；

若为延长线与轴的交点，，且，则，故，
由角平分线的性质可得，则，
所以，则，
又，则，故，
所以，故，则且，
所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；

由上分析，，，则为定值，C对；
由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于，
即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对.
故选：ACD
11．ACD
【分析】利用椭圆定义及正弦定理推理判断A；利用椭圆定义、余弦定理、三角形面积公式及二倍角公式求解判断B；设出切线方程并现椭圆方程联立，借助判别式求出切线斜率判断C；设出直线方程并与椭圆方程联立推理判断D.
【详解】令椭圆的半焦距为，则，
对于A，在中，由正弦定理，得，
因此，A正确；
对于B，在中，由余弦定理，得
，则，
，B错误；
对于C，与椭圆切于点的切线斜率存在，设方程为，
由消去得：，
，
整理得，而，
则，即，解得，
因此切线方程为，整理得，C正确；
对于D，设直线的方程为，点，由
消去得，，，
，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】由椭圆的定义结合题意可得出，，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案.
【详解】由题可知，由椭圆的定义知：，，
所以，又因为，
所以，
，所以，
解得：，，
所以在中，由余弦定理可得：
，
在中，由余弦定理可得：
所以，可得：，即，
所以，因为，
所以.
故答案为：.

13．
【分析】设点坐标为，根据斜率关系可得，即可得离心率的取值范围.
【详解】设点坐标为，则，，
由可得，
则，
所以．
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆图形特征，结合椭圆定义计算求出离心率即可.
【详解】延长OQ交于点A，设，.
因为，所以，又，所以.
因为O为的中点，所以点A为的中点，.因为点Q在的平分线上，
所以，所以，从而，因为，所以，
又由椭圆的定义可得，所以结合以上两式可得.
在中，，得，
化简得，故C的离心率.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得、，再求出，即可得解；
（2）设，求出直线、的方程，从而求出、的坐标，再由面积公式得到方程，求出，从而求出，即可得解.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，则直线的方程为，
令，可得，即，
又直线的方程为，
令，可得，即，
所以，
，
因为的面积比的面积大，
即，解得，
又，解得，
所以.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和即可结合的关系求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据中点坐标可得，进而可得以及，即可结合向量的数量积以及两点距离公式化简求解.
【详解】（1）根据题意可知，解得，
故椭圆方程为
（2）设直线，联立与的方程可得，
设，则,
故，故，
，
故直线的方程为，
联立与椭圆方程可得，解得,
在直线中，令，则，故,
故
，
故
17．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据离心率和椭圆的性质求解的值，得的标准方程；
（2）令，，得到，故有，设，，，联立方程组，化简得，可得定点.
【详解】（1）由题意得，
，解得，，
椭圆的标准方程为；
（2）令，，
由平分，可知直线、、倾斜角的大小关系，
得到，故有，
故有，化简得到（※）
设，，，
联立，有，
于是有，，
又，
，代入※式化简得，，
则直线，
即可证过定点
18．(1)
(2)四边形为平行四边形，答案见解析
【分析】（1）根据离心率及短轴长列式求出，即可得出椭圆方程；
（2）联立方程组，结合点的坐标得出斜率，结合斜率关系证明即可.
【详解】（1）由已知，得，，，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为.
由解得或（舍去），
所以点的坐标为，从而点的坐标为，
于是直线的斜率，直线的方程为.
又直线的方程为，由得；
由得.
直线的方程为，直线的方程为，由得.
因为直线的斜率，直线的斜率，
所以，，所以四边形为平行四边形.
19．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为椭圆的离心率，且椭圆过点，
可得 ，解得，所以椭圆的方程为.
（2）解：由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为点为的中点，可得，
则，即，
令，可得，即，
假设存在点，使得，此时
因为，可得，
整理得，
因为，所以，即恒成立，
所以 ，解得，即，
即存在定点，使得.

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