第18章平行四边形达标练习卷（含解析）
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第18章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．在平行四边形中，的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
3．如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（ ）
A．12米 B．16米 C．20米 D．24米
5．如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
7．如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点，，连接，，给出下列四个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形，其中正确的结论序号是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题
9．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 ．
11．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ．
12．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动APD点也随之停止运动．从运动开始，经过 秒时，．
14．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是 ．
三、解答题
15．如图，在中，点、在对角线上，连接、，，求证：．
16．在矩形中，F是外角平分线上一点，且
(1)（尺规作图）请在线段上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，试探究与的数量关系．
17．如图，在菱形中，对角线的长分别为、8．求菱形的周长．
18．如图，正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，取中点，连接、、．
①依题意补全图形，并求的度数；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
19．如图，已知矩形纸片，，．
(1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．直接判断四边形的形状，不必说明理由．
(2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2．
①求证：．
②若，，求折痕的长．
③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
20．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状；
(3)如图3，若，，，是的中点，求的长．
《第18章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C A C C A
1．D
【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故正确，符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键．
根据平行线的性质可求得，然后根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可．
【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米，
∴是的中位线，
∴米，
∵是等边三角形，
∴米，
∴米，
∴篱笆的长（米）．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
根据菱形的性质，可得，进而得到顶点的横坐标为，即可求得点顶点的坐标．
【详解】解：菱形的顶点坐标为，
，
顶点的横坐标为，
顶点的坐标为，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分得到点O是的中点，则是的中位线，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，对角线相交于点O，
∴点O是的中点，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．由正方形的性质证明，得出，由，证明四边形是矩形，得出，进而得出，①符合题意；由矩形的性质证明，得出，进而得出，②符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，③符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，④不符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，故①符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，
，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
∴，，
，
，
是等腰直角三角形，
，故③符合题意；
点在上，
只有或或时，才是等腰三角形，故④不符合题意；
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据折叠得出，由勾股定理求得长，进而求得长，设，在中利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：矩形中，，由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故选：A．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
利用勾股定理求出即可得解．
【详解】解：正方形边长为，即，
，
，
故答案为：．
11．12
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】解：、是菱形的对角线，
，
，
，
在和中，
，
，
的面积的面积，
阴影部分的面积菱形的面积，
对角线、的长度分别为和，
菱形的面积，
阴影部分面积的和．
故答案为：12．
12．3
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，
在中，，是的中线，
，
故答案为：3．
13．4或6
【分析】此题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，
即，
，
解得：；
②当四边形为等腰梯形时，
即，
，
解得：，
即当或时，，
故答案为：4或6．
14．/
【分析】设，则根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质得到，再根据勾股定理求出，即可得解．
【详解】13．解答解：在中，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则；
由作图可知，即，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，用同一个未知数表示是解题的关键．
15．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明，得到，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，还涉及到垂直平分线的作法，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）直接利用垂直平分线的作法进行作图即可；
（2）过作交于点，先证明，进而即可等量代换得出与的数量关系．
【详解】（1）解：点E如图所示：
（2）解：如图，过作交于点，
，
，
，
是矩形,
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
17．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．由菱形的性质得，，由勾股定理得，然后根据周长的计算方法求解即可．
【详解】∵菱形的两条对角线相交于点O，
∴，，
，
∴．
菱形的周长为．
18．(1)见解析
(2)①，图见解析； ②，证明见解析
【分析】（1）先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，两边加上可得结论成立；
（2）①先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，再求得的度数；
②先写出结论，再证明．先证明，再设，然后用分别表示出，，从而可得出结论成立．
【详解】（1）证明：正方形，
，．
．
，
．
．
．
即．
（2）①补全图形如图：
如图，连接，．
正方形，
，．
点是中点，
．
，点是中点，
．
．
，，
．
．
．
②结论：．
证明：过点作于点，
，
．
，
．
设．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，，，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握上述知识并能熟练运用是解题关键．
19．(1)四边形是正方形
(2)①见解析；；或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由平行线的性质可得，从而得出，推出四边形是菱形，再由正方形的判定定理证明即可；
（2）①连接，由（1）知，，由矩形的性质可得，，由折叠知，，，证明，即可得证；②过点E作于点D，证明四边形是矩形，得出，，设，则，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理计算即可得解；③当为等腰三角形时，分三种情况：Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接；Ⅱ．当时；Ⅲ．当时，连接，交于点O；分别求解即可．
【详解】（1）证明：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形；
（2）①证明：如图1，连接，由（1）知，，
四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
，
在和中，
，
∴，
；
②解：，，如图2，过点E作于点D，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
；
折痕的长为；
③解：当为等腰三角形时，分三种情况：
Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接，如图2所示，
由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得；
Ⅱ．当时，
，
由折叠的性质可知：，
，
在矩形中，，
点与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点重合，
四边形是正方形，
，与矛盾；
Ⅲ．当时，连接，交于点O，如图3所示：
，
，
，
，
由折叠的性质可知：垂直平分，
，，
，，，
，
，
在中，，，
，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20．(1)见解析
(2)；是等边三角形
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题；
（2）连接，先证明，得出，，
证明，得出是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：；是等边三角形；
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：如图，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
根据解析（2）可知，，
∵M为中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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第18章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．在平行四边形中，的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
3．如图，在平行四边形中，连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，校园内有一块等边三角形的空地，已知M，N分别是边的中点，量得米，若想把四边形用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是（ ）
A．12米 B．16米 C．20米 D．24米
5．如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
7．如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点，，连接，，给出下列四个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形，其中正确的结论序号是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（ ）．
A． B． C． D．1
二、填空题
9．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 ．
11．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ．
12．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动APD点也随之停止运动．从运动开始，经过 秒时，．
14．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是 ．
三、解答题
15．如图，在中，点、在对角线上，连接、，，求证：．
16．在矩形中，F是外角平分线上一点，且
(1)（尺规作图）请在线段上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，试探究与的数量关系．
17．如图，在菱形中，对角线的长分别为、8．求菱形的周长．
18．如图，正方形中，点是边上一点，点是延长线上一点，且，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，取中点，连接、、．
①依题意补全图形，并求的度数；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
19．如图，已知矩形纸片，，．
(1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．直接判断四边形的形状，不必说明理由．
(2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2．
①求证：．
②若，，求折痕的长．
③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．
20．如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状；
(3)如图3，若，，，是的中点，求的长．
《第18章平行四边形达标练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C A C C A
1．D
【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故正确，符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键．
根据平行线的性质可求得，然后根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可．
【详解】解：∵M，N分别是边的中点，米，
∴是的中位线，
∴米，
∵是等边三角形，
∴米，
∴米，
∴篱笆的长（米）．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
根据菱形的性质，可得，进而得到顶点的横坐标为，即可求得点顶点的坐标．
【详解】解：菱形的顶点坐标为，
，
顶点的横坐标为，
顶点的坐标为，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分得到点O是的中点，则是的中位线，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，对角线相交于点O，
∴点O是的中点，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．由正方形的性质证明，得出，由，证明四边形是矩形，得出，进而得出，①符合题意；由矩形的性质证明，得出，进而得出，②符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，③符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，④不符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，故①符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，
，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
∴，，
，
，
是等腰直角三角形，
，故③符合题意；
点在上，
只有或或时，才是等腰三角形，故④不符合题意；
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据折叠得出，由勾股定理求得长，进而求得长，设，在中利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：矩形中，，由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故选：A．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
利用勾股定理求出即可得解．
【详解】解：正方形边长为，即，
，
，
故答案为：．
11．12
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】解：、是菱形的对角线，
，
，
，
在和中，
，
，
的面积的面积，
阴影部分的面积菱形的面积，
对角线、的长度分别为和，
菱形的面积，
阴影部分面积的和．
故答案为：12．
12．3
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，
在中，，是的中线，
，
故答案为：3．
13．4或6
【分析】此题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用．根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，
即，
，
解得：；
②当四边形为等腰梯形时，
即，
，
解得：，
即当或时，，
故答案为：4或6．
14．/
【分析】设，则根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质得到，再根据勾股定理求出，即可得解．
【详解】13．解答解：在中，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则；
由作图可知，即，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理，用同一个未知数表示是解题的关键．
15．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明，得到，即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，还涉及到垂直平分线的作法，熟练掌握相关概念是解题的关键．
（1）直接利用垂直平分线的作法进行作图即可；
（2）过作交于点，先证明，进而即可等量代换得出与的数量关系．
【详解】（1）解：点E如图所示：
（2）解：如图，过作交于点，
，
，
，
是矩形,
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
17．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．由菱形的性质得，，由勾股定理得，然后根据周长的计算方法求解即可．
【详解】∵菱形的两条对角线相交于点O，
∴，，
，
∴．
菱形的周长为．
18．(1)见解析
(2)①，图见解析； ②，证明见解析
【分析】（1）先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，两边加上可得结论成立；
（2）①先利用正方形的性质，证明，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，再求得的度数；
②先写出结论，再证明．先证明，再设，然后用分别表示出，，从而可得出结论成立．
【详解】（1）证明：正方形，
，．
．
，
．
．
．
即．
（2）①补全图形如图：
如图，连接，．
正方形，
，．
点是中点，
．
，点是中点，
．
．
，，
．
．
．
②结论：．
证明：过点作于点，
，
．
，
．
设．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，，，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握上述知识并能熟练运用是解题关键．
19．(1)四边形是正方形
(2)①见解析；；或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由平行线的性质可得，从而得出，推出四边形是菱形，再由正方形的判定定理证明即可；
（2）①连接，由（1）知，，由矩形的性质可得，，由折叠知，，，证明，即可得证；②过点E作于点D，证明四边形是矩形，得出，，设，则，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理计算即可得解；③当为等腰三角形时，分三种情况：Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接；Ⅱ．当时；Ⅲ．当时，连接，交于点O；分别求解即可．
【详解】（1）证明：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形；
（2）①证明：如图1，连接，由（1）知，，
四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
，
在和中，
，
∴，
；
②解：，，如图2，过点E作于点D，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
；
折痕的长为；
③解：当为等腰三角形时，分三种情况：
Ⅰ．当时，过点E作于点M，连接，如图2所示，
由折叠可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
解得；
Ⅱ．当时，
，
由折叠的性质可知：，
，
在矩形中，，
点与点A重合，
由折叠的性质可知：点C与点重合，
四边形是正方形，
，与矛盾；
Ⅲ．当时，连接，交于点O，如图3所示：
，
，
，
，
由折叠的性质可知：垂直平分，
，，
，，，
，
，
在中，，，
，
解得；
综上所述：当为等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20．(1)见解析
(2)；是等边三角形
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题；
（2）连接，先证明，得出，，
证明，得出是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：；是等边三角形；
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：如图，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
根据解析（2）可知，，
∵M为中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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