河北承德市高新区第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含详解）

河北承德市高新区第一中学
2024--2025学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.是等差数列的前项和，，，则首项（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4.的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
5.某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ）
A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580
6.甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ）
A. 150 B. 300 C. 450 D. 540
7.若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. [－5,1) B. (－5,1) C. [－2,1) D. (－2,1)
8.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
10.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）
A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案
C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种
D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式.
11.已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.已知函数是区间上的单调函数，则实数的取值范围是________．
13.已知a为常数，函数f(x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值点，则实数a的取值范围为________．
14.将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有________种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
16.(本小题15分）已知函数．
（1）若，求在上的最值；
（2）讨论函数的单调性．
17.(本小题15分）某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：，，，）
18.(本小题17分）已知数列，满足，其中，.
（1）若，.
①求证：为等比数列；
②试求数列的前n项和.
（2）若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？
19.(本小题17分）已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明:．
参考答案;
1.【答案】A
【解析】对函数求导可得，所以，所以切线方程为：
2.【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，因为，，等差数列的通项公式，前项和；所以，
3.【答案】B
【解析】由，求导可得：，
令，得到，所以解得.
4.【答案】A
【解析】 ，
的通项公式为，
对于的通项，所以含的项为，的系数为
对于的通项，含的项为，的系数为
所以，的展开式中含的系数为；故的系数为．
5.【答案】B
【解析】已知，由每年存栏数的增长率为且每年年底卖出头牛，可得数列的递推公式.
设，展开得，令，解得，所以，
由此可知数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式，可得，即.
当时，，又因为，所以.
所以大约为，答案选B.
6.【答案】A
【解析】根据条件，有两类分配方案，即：把5人分组为两类情况：和.
若把5人按分组，有种分组方法，若按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，再把三组人安排到三个城市，均有有种方法，
所以不同分配方法种数是.
7.【答案】C
【解析】依题意，求导得，，
令，解得或；令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
所以当时，取得唯一的极小值，
当时，，解得或，
所以要使函数在(,)内存在最小值，则，解得．
8.【答案】A
【解析】因为，则，构造函数，
则，因为，所以，在上单调递减，又，则，又不等式，等价于，
即，解得，所以不等式的解集是.
9.【答案】CD
【解析】解：因为，，所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
10.【答案】BCD
【解析】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误，
对于B，甲乙丙三人选择同样课程，即从6门课程中选一门，有6种方案，故B正确，
对于C，6门课程中恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确，对于D，法一：分类
五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，则有一名老师需要教两门课程
若老师教2门课程，则有种，
若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种，
若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种，
因此一共有种方案，故D正确，
法二：五名教师教这6门课程，所以将6门课程分成5组，在分配给老师
第一步：分为5组，有一组有两门课程，其余每组都只有一门课程：种；
第二步：因为老师不教“数”这一组，所以从另外4组中选一组给老师，在将剩下4组分配给4个老师：种；则一共有种；故D正确，
11.【答案】BD
【解析】选项A：由，可得，解得，故A正确；
选项B：对函数求导得到，
令解得；令解得或，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，故B错误；
选项C：由选项B的分析过程可知，当时，，且当时，，
函数的最小值是，
结合对选项A的分析，可得函数的大致图象，
所以当时，方程有且只有两个实根，故C正确；
选项D：由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
其中，当时，即在区间时，可得，故D错误.
12.【答案】
【解析】由函数可得，
令，解得或， 因为是区间上的单调函数，
所以或，解得或，故实数取值范围是.
13.【答案】0＜a＜
【解析】f′(x)＝ln x＋2－2ax，函数f(x)有两个极值点，则f′(x)有两个零点，
即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，
当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，
则有解得
要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e即0＜a＜.
14.【答案】42
【解析】方法一　分别用a，b，c代表3种农作物．
先安排第1块田(从左往右数，下同)，有3种种植方法，不妨设种植a.
再安排第2块田，可种植b或c，有2种种植方法，不妨设种植b.
再安排第3块田，若第3块田种植c，则第4,5块田各有2种种植方法，即此时第4,5块田的种植方法种数为2×2＝4；若第3块田种植a，则第4块田可种植b或c，①若第4块田种植c，则第5块田有2种种植方法，②若第4块田种植b，则第5块田只能种植c，有1种种植方法．
综上所述，不同的种植方法种数为3×2×(4＋2＋1)＝42.
方法二　从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，所以不同的种植方法种数为3×2×2×2×2＝48，这些方法中包含“5块试验田只种植2种作物”的情况种数为3×2×1×1×1＝6.所以满足题意的不同的种植方法种数为48－6＝42.
15.【答案】解：（1）的展开式的通项为：；则可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，所以，即，则，或（舍去）；
（2）展开式的通项为，
常数项，即，解得，所以，所以第5项时常数项为60；
（3）设第项系数绝对值最大，根据通项知，项的系数的绝对值为：
则，，
解得，又，，，即展开式中系数绝对值最大的项为.
16.【答案】解：（1）当时，，，
由可得，，，
令，解得，令，解得，所以
当，，，的变化情况如下表所示，
所以在区间的最大值为，最小值为.
（2）由求导可得，
令，得或，
当，即时，令，得或，令，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当，即，此时恒成立，所以函数的单调递增区间是，无减区间；
当，即时，，得或，，得，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
17.【答案】解：（1）设总成本函数（为常数），
由已知，，可得，
解得，所以，
已知每百件产品的销售收入，
所以.
（2）由（1）可知，
求导可得，
令，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有，
答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．
18.【答案】（1）①证明：由于，则当时利用累加法得
，
则，又因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
②解：由①得，则，不妨设数列的前项和为，
则，①
，②
①②得，
即，
则数列的前n项和为.
（2）解：因为，则，.
所以数列是周期为6的周期数列，
设，，则，，，，则,
设数列的前n项和为，则.
所以解得，，
所以
所以.
所以数列前2024项之和是1849.
19.【答案】解：（1）对函数求导得，
由于在上恰有两个不同的解，
则构造函数，则有，解得，
即实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，则由韦达定理得①，则，
由①得，
构造函数，并对其求导得.
构造函数，求导得，易知在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．