河南省濮阳外国语学校2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题（含详解）

河南省濮阳外国语学校2024 2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．12 B．16 C．20 D．22
3．若，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．-3
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
B．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
C．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
D．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
10．现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是（ ）
A．若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案
B．共有243种不同的选择方案
C．若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案
D．若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案
11．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则（ ）
A．四叶图上的点到点的距离的最大值为
B．开口向上的抛物线的方程为
C．四叶图的面积小于
D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在点处的切线方程为 ．
13．若的展开式中的系数为40，则实数 .
14．如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆，直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程
16．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．在四棱锥中，底面是正方形，若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
19．已知函数（为常数）.
(1)求证：当时，；
(2)讨论函数的单调性；
(3)不等式在上恒成立，求实数的最小整数值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由的圆心为，A错；
由的圆心为，B错；
由的圆心为，显然点在圆上，C对；
由的圆心为，D错；
故选：C.
2．【答案】D
【详解】由，可得：，
所以，
又，
故选：D
3．【答案】A
【详解】由，
所以.
故选：A.
4．【答案】B
【详解】在等比数列中，，
所以，
所以，又，
设公比为q，则，
所以．
故选：B
5．【答案】D
【详解】是上靠近的三等分点，是的中点，
故
.
故选：D
6．【答案】A
【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
7．【答案】C
【详解】令，得，故A不正确；
令，得，所以，故B不正确；
令，得，
所以，故C正确；
令，得，所以D不正确.
故选：C
8．【答案】D
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，
然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故A错误；
对于B，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，
看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故B正确；
对于C，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故C正确；
对于D，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，
其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AB
【详解】由题可知：包括小王、小李在内的5名大四学生可以去同一家公司实习，也可以去不同的公司实习，每位学生都有三种选择方案.
对于选项A：因为小王、小李去不同的公司实习，
所以先安排小王和小李，共有种不同的选择方案，再安排其余三人，共有种不同的选择方案，
则根据分步乘法计数原理可得：不同的安排方案共有种，故选项A正确；
对于选项B：因为每位学生都有三种选择方案
所以根据分步乘法计数原理可得：共有中不同的选择方案，故选项B正确；
对于选项C：因为只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，
所以共有种不同的选择，故选项C错误；
对于选项D：因为小王、小李都不去甲公司实习，
所以先安排小王和小李，共有种不同的选择方案，再安排其余三人，共有种不同的选择方案；
根据分步乘法计数原理可得：满足题意的不同的选择方案共有种，故选项D错误.
故选：AB
11．【答案】ABC
【详解】由题知，，
逆时针旋转，，后所得的三条曲线为，，，
联立，解得或，
根据对称性可知，到点的距离即是最大，且为，A正确；
由逆时针旋转所得的曲线为，B正确；
由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半，
即四叶图的面积小于，C正确；
如图，设直线与第一象限叶子分别交于，
由，解得或（舍去），
由，解得或（舍去），
即，
则弦长，
由图知，直线经过点时取最大值，
经过点时，取最小值，
即在第一象限部分满足，
不妨设，则，且，
代入得，，
所以当时，最大，且为，D错.
故选：ABC
12．【答案】
【详解】因为，所以切点坐标为，
又，则切线的斜率，
由直线的点斜式方程可得，即，
所以切线方程为.
故答案为：
13．【答案】
【详解】因，
故其展开式中的系数为，解得.
故答案为：.
14．【答案】48
【详解】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：，
所以直线的方程：
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
所以，
所以，解得：，
所以直线的方程：
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列是公差为，且， .
，，
又成等比数列，
，即，整理得：，解得或（舍），
，
即
（2）由（1）得，
则.
又，
则.
又，
①，
②，
①-②得：，
所以．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18．【答案】(1)；
(2)（i）或；（ii）证明见解析.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得（舍去）.
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得.
故，.
易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：.
联立消去y得，
则，得；①
联立消去得，
则，得，②
联立①②，解得或
故和都相切的直线方程为或.
（ⅱ）证明：设l与相交于，，
线段CD的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则
联立得，
又，则，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为N定值.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)2.
【详解】（1）当时，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（2）函数的定义域为，求导得
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）不等式，
依题意，，恒成立，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的最小整数值是.