湖北省部分普通高中联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含详解）

湖北省部分普通高中联盟2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在的展开式中，常数项为（ ）
A．160 B． C． D．
2．下列函数的求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．3
5．现有6个编号为不同的球和6个编号为不同的盒子，每盒放一球，则恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法，有（ ）
A．20种 B．30种 C．40种 D．80种
6．与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
8．下列不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设数列的前项和是，且，已知，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小为15
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．总有两个极值点
B．时，只有一个零点
C．点是曲线的对称中心，则
D．是的极小值点
三、填空题（本大题共3小题）
12．数列中，，，则通项 ．
13．已知，求在处的切线方程： ．
14．已知在上是增函数，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．已知函数，
(1)若，求的单调区间和极值；
(2)有两个根，求的取值范围.
17．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
(2)6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
(3)6人支教小组中，至少有1名主任参加；
(4)6人支教小组中既有主任，又有女教师．
18．已知中，，．是的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的取值范围；
(3)，，求的通项公式.
19．已知函数，，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有解，求的取值范围．
(3)，讨论零点个数.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题可得二项式展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的常数项为.
故选B.
2．【答案】C
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选C.
3．【答案】C
【详解】设首项为，公差为，因为，所以，
则，即，得到，
而，故C正确.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题意得在等比数列中，是方程的两个实数根，
则由韦达定理得，，故，得到，
由等比中项性质得，解得，得到，故A正确.
故选A.
5．【答案】C
【详解】从6个盒子任取3个，使其与球的编号相同，有种方法，另三球的放法数为2种，
所以恰有三个球的编号和盒子的编号相同的放法的（种）.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设切点坐标为，求导得，
依题意，，即，解得或，
则切点坐标为或，切线与直线的距离即切点到该直线距离，
当切点为时，，
当切点为时，，
由，即点到直线的距离最大.
故选D.
7．【答案】B
【详解】从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师，
所求的不同方法种数为.
故选B.
8．【答案】D
【详解】设函数，则，
当时，单调递增；当时，单调递减.
对于A，因为，所以，即，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，即，
所以，故B正确；
对于C，设函数，则，等于0不恒成立，
故是R上的增函数，
因为，所以，即，故C正确；
对于D，设函数，则，等于0不恒成立，
故是R上的增函数，
因为，所以，即，故D错误.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】数列的前项和，且，
所以，
且，
对于A，当时，，
当时，，
显然满足上式，所以，
所以，故数列是等差数列，故A正确；
对于BC，由上，
因为，所以有最大值；故B错误，C正确；
对于D，令，所以的最小为15，故D正确.
故选ACD
10．【答案】BCD
【详解】对于B，取，得，B正确；
对于A，取，得，则，A错误；
对于C，依题意，均为正数，均为负数，
取，得，则
，C正确；
对于D，两边求导得，取，
得，D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】函数的定义域为R，求导得
对于A，方程中，，则函数总有两个变号零点，
因此总有两个极值点，A正确；
对于B，当时，，，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值极小值为，即当时，，
而，因此只有一个零点，B正确；
对于C，由点是曲线的对称中心，得，
即，则，C错误；
对于D，函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，是的极小值点，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则，
所以.
13．【答案】
【详解】由，得，
令，则，解得，
所以，
所以在处的切线方程的斜率为，
又，
所以切线方程为：，即或.
14．【答案】/
【详解】函数，求导得，
由函数在上是增函数，得，，
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此，而，解得，
所以的最小值是.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，而，即，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以数列的前项和.
16．【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值；
(2).
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，无极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，由，得，令，
由有两个根，得直线与函数的图象有两个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，恒成立，，
因此当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围是.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）在数列中，当时，，，
，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
则，
而数列单调递增，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，当时，，
而，
则，即，
因此数列是常数列，则，
所以的通项公式是.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由题意得，的定义域为，
因为，所以，
则，
当时，，令，，令，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
令，则，解得或，
当时，解得，令，，
令，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，解得，得到，
故此时在上单调递增，
当时，解得，令，，
令，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若有解，则有解，
故有解，即有解，则有解即可，
令，则即可，而，
令，，令，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，则.
（3）因为，
所以，
令，则，故，
令，则，而，
故在上单调递增，故，即，
若讨论的零点个数，
我们讨论和的交点个数即可，
而，令，，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
得到的极大值为，
当时，，当时，，
则当或时，和有个交点，
当时，和有个交点，
当时，和没有交点，
综上，则当或时，有个零点，
当时，有个零点，
当时，没有零点.