湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试题（A卷）（含详解）

湖南省名校联考联合体2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数，其中为虚数单位，则的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
5．小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ）
A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.6
6．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．棱长为3的正方体中，为棱靠近的三等分点，为棱靠近的三等分点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（ ）
A．
B．不存在实数，使为递减数列
C．存在实数，使得为等比数列
D．，使得当时，总有
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则
B．的展开式中二项式系数和为32
C．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小
D．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.95和0.8，则模型甲的拟合效果更好
10．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ）
A．可能为等边三角形
B．
C．若直线的倾斜角为，则
D．若直线的倾斜角为，则的面积为
11．已知函数，其中为正整数，且为常数，是函数大于的零点，其构成数列，则（ ）
A．函数不可能有三个零点
B．函数的减区间为
C．对于任意的，函数在区间内均存在零点，则
D．存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知离散型随机变量，，则 .
13．某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育7堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是 .用数字作答）
14．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了100名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数 30 20 30 20
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列，数学期望以及方差.
16．在中，分别为角的对边，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，，的面积为，求的周长.
17．已知函数，为实数.
(1)若函数在处的切线经过点，求的值；
(2)若有极小值，且极小值大于2，求的取值范围；
(3)若对任意的，且恒成立，求的取值范围.（为自然常数）
18．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.

(1)证明：平面；
(2)设平面平面，点.
（i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为；
（ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求.
19．在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点、上顶点、左顶点，若的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知两点，其中点在线段上运动（不含端点），与关于点对称，直线与椭圆的另一交点为点，直线与椭圆的另一交点为点，设直线的斜率分别为，直线的斜率分别为.
（i）求的面积的最大值；
（ii）求证：为定值，并求出该定值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由已知当或时，，当时，无意义，
当时，，当时，，
所以.
故选.
2．【答案】A
【详解】因为，
所以.
故选.
3．【答案】B
【详解】因为，，
所以，
所以，可得，所以，
故选B.
4．【答案】C
【详解】由题意得，解得.
故选C.
5．【答案】A
【详解】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件，
则、、、，
所以，
即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为.
故选A.
6．【答案】B
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
又，，
所以，
所以，所以，所以.
故选.
7．【答案】D
【详解】依题意可得，，
在中由余弦定理，
所以，
则外接圆的半径，
又且平面，
设三棱锥的外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积.
故选D.
8．【答案】C
【详解】由得，
相减可得，，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，
且，，
所以，，
所以，所以不可能为递减数列，即不存在实数，使为递减数列，故B正确；
对于C，因为，，
若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故C错误，
对于D，若，只要足够大，一定会有，
则，只要足够的大，趋近于0，
而，显然能满足，
故，当时，总有，故D正确，
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】对于A中，将样本点中心点代入回归方程为，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，二项式的展开式中二项式系数和为，所以B正确；
对于C中，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误；
对于D中，根据决定系数的含义知：决定系数越大，模型拟合效果越好，
由，所以模型甲的拟合效果更好，所以D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】

由已知可得，设直线的方程为，
设，，
由得，所以，，
对于，若为等边三角形，则，
根据抛物线的对称性可得此时直线与轴垂直，且，，
所以，，
所以不可能为等边三角形，故错误；
对于，因为，，所以，
因为两点在抛物线上，所以，，所以，
所以，故正确；
对于，若直线的倾斜角为，所以，
所以，，
所以
，故正确；
对于，若直线的倾斜角为，直线的方程为，即，
所以到直线的距离为，
所以，故错误.
故选.
11．【答案】ACD
【详解】对于A：因为，所以，
所以在定义域上单调递增，所以函数不可能有三个零点，故A正确；
对于B：因为，所以，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，故B错误；
对于C：当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，
所以函数在内均存在零点只需满足即可，
即，所以，
所以且，
又为正整数，所以，即，故C错误；
对于D：令，解得，
当时，，
则当时，，所以是上的严格增函数，
所以．
所以．
所以是恒为的常数列，故存在实数使得数列的部分项构成无穷等比数列，故D正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以.
13．【答案】432
【详解】数学课、物理课都排在上午，且不连排的排法数为；体育课排在下午的排法数为；
将余下4门课程排入课程表有种方法，
所以所求不同排法种数是.
14．【答案】
【详解】设点，依题意可得，
即，
则，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
由，解得，所以，则，
所以.
15．【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为；方差为.
【详解】（1）解：由表格中的数据，可得该地区的100名大学生中“视频创作”的人生为30人，
所以该地区的大学生最喜爱“视频创作”的概率为.
（2）解：在该地区的100名大学生中“视频创作”和“图象修复”的人数分别为30人和20人，
采用分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取5人，
可得“视频创作”和“图象修复”的人数分别为3人和2人，
从这5人中随机抽取2人，其中“视频创作”的人数为，可得的可能取值为，
则，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
则期望为，
方差为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，即；
（2）因为的面积为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，
由余弦定理可得，解得，
所以，所以的周长为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，所以，
又，所以函数在处的切线方程为，
因为切线经过点，所以，解得；
（2）由（1）知，函数的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，极小值为，
由，所以，所以的取值范围为；
（3）由得，
令，所以对任意的，且，恒成立，
所以在单调递减，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为二次函数在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
所以.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由题意得，，，
所以，即，
∵，所以，即，
又平面，所以平面；
（2）（i）∵,平面,平面,所以平面,
又平面,平面平面，所以

以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
∵，∴,∴，
设平面的法向量为，
则 即
令得,∴，
记直线与平面所成角为,则，
化简得，解得，所以.
（ii）由（i）知，，
,即(三等分点)，
又∵平面，
∴，∴(三等分点)，
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴即(四等分点)，
∴
又∵
∴.
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析，
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）（i）设为点到直线的距离，
所以的面积
显然当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时取得最大值，
因为，，所以，设直线的方程为，即，
由，整理得，
由，解得（正值舍去），
所以直线的方程为，又到直线的距离，
所以的最大值为，
则；
（ii）设，则，
所以，
又直线的方程为，由，整理得，
所以，则，
即，同理可得，
所以
，
因为，所以，则，
所以
，
所以.