湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试题（含详解）

湖南省长沙市平高教育集团六校2024 2025学年高二下学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．甲 乙两人独立地破译一份密码，已知甲 乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．1或 D．或3
7．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（ ）
A．504种 B．729种 C．84种 D．27种
8．已知双曲线的焦距为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．点在圆内
C．圆的半径为5 D．点在圆内
10．已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，且，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．设 是第一象限的角，若 ，则 .
14．在等差数列中，，则 ．
15．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知.
(1)求函数的最小正周期：
(2)求函数在上的单调区间.
18．已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求：
(1)第一次抽取的题目是选择题的概率；
(2)在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率；
(3)设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望．
19．已知等差数列的前n项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求前n项和.
20．长方体中，，，M为中点.
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
21．已知抛物线的焦点坐标为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求．
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，虚部为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由，
故选B.
3．【答案】B
【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即.
故选B.
4．【答案】B
【详解】函数，求导得，
所以．
故选B.
5．【答案】D
【详解】解：因为甲 乙两人独立地破译一份密码，且甲 乙能破译的概率分别是，
所以密码被破译的概率为，
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为直线与直线平行，
所以,解得，或；
当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；
当时，两条直线为：两条直线平行；
故选B.
7．【答案】C
【详解】不同选法有．
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为双曲线的焦距为，
所以，即，又，即，解得，
所以的离心率.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选ABC.
10．【答案】BD
【详解】A：，A错误；
B：由知，，解得，B正确；
C：由知，，解得，C错误；
D：若，，则，D正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】由题意可得，则，
故，
，．
故选ACD.
12．【答案】AC
【详解】A选项：因为，，且，则，
当且仅当，即时等号成立，A选项正确；
B选项：由得，
即，当且仅当时等号成立，
即的最大值为，B选项错误；
C选项：由，即，当且仅当时等号成立，
即的最大值为，C选项正确；
D选项：，当且仅当，即时，等号成立，D选项错误；
故选AC.
13．【答案】/
【详解】∵是第一象限角，，
∴，
∴
14．【答案】2
【详解】因为在等差数列中，，
所以，即.
15．【答案】-30
【详解】的展开式的通项公式为，
故的展开式中的系数为.
16．【答案】
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象知的值域为.
17．【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1）最小正周期为：
令则
由
所以的单调递增区间为，
（2）令则
由,
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【详解】（1）记第i次抽到选择题为，则
（2）
（3）可能为0，1，2，
分布列为：
0 1 2
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以.
20．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，如图，
，，
因此，又，
则，可得；
又平面，而平面，
可得，又，平面，
故平面，又平面，
故.
（2）以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则，
可得，，
显然，即可得，
又，平面，
所以平面，
即平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
故所求线面角的正弦值为.
21．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，则抛物线方程为；
（2）由题设，直线，联立抛物线得，
所以，，则.
22．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.