江苏省连云港市连云港高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中质量监测 数学试题（含详解）

江苏省连云港市连云港高级中学2024 2025学年高二下学期4月期中质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．120 B．360 C．720 D．840
2．已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．某医疗小组有3名医生，5名护士，现从中选1名医生和1名护士代表参加医院年终表彰大会，则不同的选法种数为（ ）
A．6 B．8 C．15 D．20
4．设随机变量服从正态分布，记，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
5．已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．3个完全相同的球（无任何差别），放入5个不同的盒子，则不同的放法种数为（ ）
A．35 B．60 C．243 D．125
8．已知随机变量满足：，当时，，随机变量的取值为，，…，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数，，使得，则与，共面
B．若与，共面，则存在实数，，使得
C．若，，共面，则存在实数，，，使得
D．若存在实数，，，使得，则，，共面
11．某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知盒中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同.从中一次摸出个球，记取到的红球数为随机变量，则的数学期望 .
13．在的二项展开式中，第3项的二项式系数为 ，系数为 .
14．若随机事件、满足：，，，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校招募社团干事，涵盖文学社、器乐社和科技社3个社团.已知有5人报名，每人只报1个社团.
(1)求不同的报名情况种数；
(2)若恰有1个社团无人报名，求不同的报名情况种数.
16．如图，在直三棱柱中，已知，.试建立恰当的空间直角坐标系解决如下问题：
(1)求证：；
(2)求二面角的大小.
17．已知（，且）.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的值.
18．已知四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，平面平面，，四棱锥的底面与棱长为1的正三棱柱的侧面恰好重合，拼接成多面体（如图，、重合为点，、重合为点，、重合为点，、重合为点），点，，分别在棱，，上，且.
(1)当时，
（i）求证：平面；
（ii）记的重心为，求线段的长；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.
19．某商场进行抽奖活动，规则如下：在一个盒中共有4个大小相同的小正四面体，其中2个类小正四面体（3面印着奇数，1面印着偶数），1个类小正四面体（4面都印着奇数），1个类小正四面体（4面都印着偶数）.顾客先从盒中随机取出1个小正四面体并投掷两次，若两次投掷向下的面都是奇数，则进入最终环节，否则退出，不获得任何消费券.最终环节是从盒中剩余的3个小正四面体中随机取出1个投掷，若投掷向下的面为奇数，则获得300元消费券；否则获得100元消费券.
(1)求第1次投掷向下的面为奇数的概率；
(2)若某顾客随机取出1个小正四面体投掷两次，向下的面均为奇数，求该小正四面体是类的概率；
(3)在某顾客进入了最终环节的条件下，求他获得的消费券金额的数学期望.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为随机变量服从两点分布，
所以，故C正确.
故选C.
3．【答案】C
【详解】根据题意可知选择医生有3种,选择护士有5种,故种.
故选C.
4．【答案】B
【详解】因，则，
由和正态曲线的对称性，可得，
故.
故选B.
5．【答案】B
【详解】因为空间向量，，所以，
，
所以在上的投影向量为.
故选B.
6．【答案】D
【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，所以，，
设与的夹角为，则，
所以，
所以点到直线的距离为.
故选D.
7．【答案】A
【详解】根据题意,.
故选A.
8．【答案】D
【详解】由题意可知：，，
可知，故AB错误；
因为，且距比距较近，
即随机变量的波动性较大，所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】由题意得，
对于A，令，得到，
解得，故A正确，
对于B，由二项式定理得的通项为，
当时，，当时，，
由组合数性质得，即，故B正确，
对于C，令，得到，
由已知得，则，故C错误，
对于D，令，则，
而，两式相减得，
解得，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】AC
【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面；
若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面；
综上所述：与，共面，故A正确；
对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误；
对于选项C：若向量共线，则取，可得；
若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得，
即，可得；
综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确；
对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立，
此时无法判断，，是否共面，故D错误.
故选AC.
11．【答案】AC
【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，，
事件：“乙射击一次，命中目标”，，
则，，
由二项分布的期望公式得，，
则，，
即，故A正确，
对于B，由二项分布的方差公式得，，
则，，
则不一定相等，故B错误，
对于C，由题意得假定甲、乙互不影响，
则，相互独立，由独立事件概率公式得，
则，由二项分布的期望公式得，
由二项分布的方差公式得，
由已知得，得到，故C正确，
对于D，由已知得，
，则，故D错误.
故选AC.
12．【答案】/
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，
则，，
因此，.
13．【答案】 21 84
【详解】二项式展开式的通项为，
则展开式中第3项的二项式系数为；其系数为．
14．【答案】
【详解】因为，，
，所以，
由条件概率公式可得.
15．【答案】(1)243种.
(2)90种.
【详解】（1）5人报名3个社团，每人只报1个社团，则每人都有3种不同报名方法，
所以不同的报名情况共有种.
（2）法1：5个人报名两个社团的情况有种，
5个人报其中同一社团的情况有种，
所以恰有1个社团无人报名的不同情况共有种.
法2：因为“1，4”型有种，
“2，3”型有种，
所以恰有1个社团无人报名的不同报名情况共有90种.
16．【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）在直三棱柱中，因为平面，，
故可以为一组基底建立空间直角坐标系（如图）.
因为，则，，，，，.
于是，，由可得.
（2）因，，
设平面的一个法向量，
则，故可取；
又，，
设平面的一个法向量，
则故可取.
设二面角的大小为，
则，
由图知，为锐角，故二面角的大小为.
17．【答案】(1)42；
(2).
【详解】（1）当时，.
（2）因为，所以，
即，所以，
所以，解得.
18．【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）1
(2).
【详解】（1）由题意得在多面体中，
四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，
平面平面，，正三棱柱的棱长为1，
设与交于点，的中点为，
则四边形是边长为1，为的菱形，
故不妨以为基底建立空间直角坐标系（如图）.
则，，，，
，，，
因为，所以当时，，
，，
（i），又平面的一个法向量为，
则.又平面，所以平面.
（ii）由重心坐标公式得的重心，
则，由向量模长公式得.
（2）易得，，
由向量加法法则得，
设平面的一个法向量为，则，，
即，，令，得.
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
得到，解得或.
又因为，所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)（元）
【详解】（1）记事件分别表示第1次抽到类，类，类小正四面体，
事件表示第1次投掷向下的面为奇数，事件表示第2次投掷向下的面为奇数，
由题知，，，
则
，
即第1次投掷向下的面为奇数的概率为.
（2）连续投掷两次向下的面均为奇数的概率为
，
故所求概率为，
则该小正四面体是类的概率为.
（3）记事件表示第3次投掷向下的面为奇数，
设第3次投掷获得的消费券为元，的可能取值为300，100.
若第1次抽到的是A类小正四面体，
记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体，
则
；
若第1次抽到的是类小正四面体，
记事件分别表示第2次抽到类，类，类小正四面体，
则
.
所以，.
所以，，
所以他获得的消费券金额的数学期望（元）.