江苏省南京市2024-2025学年高二下学期第一阶段学业质量监测（4月期中） 数学试题（含详解）

江苏省南京市2024 2025学年高二下学期第一阶段学业质量监测（4月期中）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．23
3．今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有（ ）种不同的方法.
A．24 B．18 C．12 D．10
4．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若展开式中常数项为60.则常数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
6．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（ ）种不同的方案.
A．10 B．12 C．16 D．24
8．设，则的值为（ ）
A．128 B．-128 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知点，，则（ ）
A．为 B．线段的中点坐标为
C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为
10．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（ ）
A．与平面所成角的正弦值为
B．与所成角的余弦值为
C．点到直线的距离为
D．和平面的距离为
11．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个
C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，则 .
13．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为 .
14．已知，，直线与曲线相切，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．等比数列中的所有项均为整数，已知，.
(1)求与前项和；
(2)设，求数列的前10项的和.
16．在的展开式中，前3项的系数成等差数列.
(1)求展开式中的一次项；
(2)证明展开式中没有常数项；
(3)求展开式中所有的有理项.
17．某班一天的课表共安排6节课，上午4节，下午2节，每门学科都不重复，有7门学科可供选择，它们分别是数学、语文、物理、化学、体育、生物、历史.要求体育课必须安排进课表，且不安排在上午前3节课.
(1)共有多少种不同的课表
(2)若数学安排进课表，且安排在上午，共有多少种不同的课表
(3)若数学、语文都安排进课表，且都安排在上午，共有多少种不同的课表
18．如图，直三棱柱中，是的中点，，.
(1)求与平面所成的角大小；
(2)求点到平面的距离；
(3)若为的中点，求二面角的正弦值.
19．已知函数，，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设的最小值为，在区间上的最小值为，试比较与的大小关系；
(3)若与在区间上的单调性相反，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】根据排列数的定义得可以表示为.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由是一个单位正交基底，得，
所以.
故选A.
3．【答案】D
【详解】依题意，从一排的5个位置中任取2个放入2只红球，另3个位置放入黄球即得一个排列，
所以不同排法种数是.
故选D.
4．【答案】D
【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，
对于A，由，得，点不共面，A不是；
对于B，由，得，点不共面，B不是；
对于C，由，得，点不共面，C不是；
对于D，由，得，点共面，D是.
故选D.
5．【答案】A
【解析】直接利用二项式定理计算得到，解得答案.
【详解】展开式的通项为：.
取得到常数项为，解得.
故选.
6．【答案】D
【详解】由题意，向量，
故选D.
7．【答案】C
【详解】依题意，要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
所以要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
故选C.
8．【答案】B
【详解】依题意，的通项公式为，
则都为负数，都为正数，
因此
，取，得，
所以.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】对A，由题意得，则，故A正确；
对B，线段的中点坐标为，即，故B正确；
对C，点B到x轴的距离为，故C正确；
对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，设平面的法向量为，
，设与平面所成角为
所以，故A错误；
对于B，，设与所成角为，
则，故B正确；
对于C，，
由点到直线的距离公式可得，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，
取，则，
由可得平面，所以和平面的距离即为点到平面的距离，
由点到直线的距离公式可得，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】对于A，能被5整除的整数，个位为0或5，个位为0的六位数有个；
个位为5的六位数有个，共有（个），A错误；
对于B，个位为0的六位偶数有个，个位为2，4之一的六位偶数有个，
共有（个），B正确；
对于C，视2，4为1个数，相当于5个元素的排列，0不能排首位，有（个），C正确；
对于D，由选项C知，1，3相邻的数有192个，符合条件的六位数有个，
因此1，3不相邻的数有（个），D错误.
故选BC.
12．【答案】0
【详解】展开式通项为，
所以.
13．【答案】
【解析】先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.
【详解】由题意，
所以，
解得.
14．【答案】8
【详解】设切点为，
因为，所以，得，
所以，即，
所以，，
当且仅当，即时，取最小值，
所以的最小值为8.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设的公比为，依题意得，解得或，又因为等比数列中的所有项均为整数，则，
因此，.
（2）由（1）知，
则
所以.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设该二项式展开式通项为，则，
由题意可得：或，
显然不符题意，舍去，故.
令，即含x的一次项为：；
（2）由（1）展开式通项为 ，则，
所以不满足，所以展开式中没有常数项；
（3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知，
令得为展开式中所有的有理项.
17．【答案】(1)2160；
(2)1320；
(3)720.
【详解】（1）排体育课有种方法，从余下6门学科中任取5门排入课表有种方法，
所以不同的课表种数是（种）.
（2）数学排在前3节，有种方法；数学排在第4节，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
（3）上午不排体育课，有种方法；上午排体育课，有种方法，
所以不同的课表有（种）.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
由已知，，，
则，即，
又三棱柱为直三棱柱，
则平面，
如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
又为中点，所以，，
易知平面的一个法向量为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为，
即直线与平面的夹角为；
（2）由空间直角坐标系可知，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点到平面的距离；
（3）由空间直角坐标系可知，
又为中点，则，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
则，
所以二面角的正弦值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当时，，其定义域，可得，
可得，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）解：由（1）知：当时，，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，
所以函数在上单调递减，所以，即
又由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以，即，
由，所以.
（3）解：由函数，可得，
由（2）知，函数在 上单调递增，
因为若与在区间上的单调性相反，
即函数在区间上单调递减，即在区间恒成立，
即在区间恒成立，即在区间恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.