江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含详解）

江苏省南京市南京师范大学附属中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
4．若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定
8．若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则关于的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．是的最大值
C．图象关于点对称
D．把图象向左平移个单位长度得到的图象
10．有互不相同的7个样本数据，去掉第25百分位数和最大的数后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（ ）
A．平均数可能变小 B．中位数变大
C．极差不变 D．方差可能变小
11．数列满足，且，数列的前项和为．从的前项中任取两项，它们之和是奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则 .
13．对如图所示的5个格子进行染色，每个格子均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为 ．
14．已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等．
(1)求含的项；
(2)若，求的值．
16．已知在中，角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)若是的中点，，求的值．
17．某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下：
夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立.
(1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率；
(2)若，现在小队计划两种方案参加游戏.
方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；
（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望；
（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小.
18．已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，为椭圆的两个动点，若点满足．
①求证：直线的斜率是定值；
②若线段与椭圆交于点，求面积的最大值．
19．设函数．
(1)当时，
①讨论函数的单调性；
②若存在两个极值点，且，求的取值范围；
(2)当且时，若相异的满足，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，
所以.
故选C.
2．【答案】D
【详解】.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.选A.
4．【答案】C
【详解】，，
，，
，化简得，，
.
故选C.
5．【答案】A
【详解】充分性：若对，，都有，
则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列;
必要性:等差数列不一定满足,,,
例如:当等差数列通项公式为时,,,
此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件.
故选A
6．【答案】B
【详解】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为，
第三次答对，概率为，
记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，，
由条件概率公式可得.
故选B．
7．【答案】B
【详解】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，
所以，
则，
故
，
所以.
故选B.
8．【答案】B
【详解】，要满足题意则，
时不成立，所以，即，
此时，可变形为，即，
所以，所以实数的取值范围是．
故选B.
9．【答案】AD
【详解】对于A，因为，所以，
所以函数在区间上单调递增，故A正确；
对于B，，所以不是的最大值，故B错误；
对于C，，所以的图象不关于点对称，故C错误；
对于D，将图象向左平移个单位长度得到的图象，
即，故D正确.
故选AD.
10．【答案】AD
【详解】设7个数由小到大分别为a，b，c，d，e，f，g，则第25百分位数为b，
所以去掉第25百分位数和最大的数后5个数由小到大为a，c，d，e，f，
原中位数为d，现中位数为d，故B错，原极差为，现极差为，故C错.
设这7个数从小到大依次为1，2，3，4，5，6，7，
对于A，其平均数为，
去掉2和7后，余下5个数的平均数为：，故A正确；
对于D，其方差为：，
同理，去掉2和7后，余下5个数的方差为：
，故D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】，，，
又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.，
即，，
对于选项A：，故A对；
对于选项B：，故B错；
对于选项C：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以，故C对；
对于选项D：当时，满足；
当时，，
所以，故D对.
故答案为：ACD.
1.形如（其中均为常数且）型的递推式
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
2、形如型的递推式
递推公式为（其中，均为常数）或（其中，，为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型1的方法解决．
12．【答案】/0.25
【详解】设，由正态分布密度曲线的对称性可知，
，.所以，
解得.即.
13．【答案】
【详解】0个红格，共种；1个红格，共种；2个红格，共种；
3个红格，共种，
.
14．【答案】
【详解】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为，
设，，由向量可知三点共线，即，
则，化简得，即，
，，
所以
（当且仅当时取等）.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得，所以，即，
其展开式的通项公式为，，
令，有.
（2），
由（1），二项式展开式的通项公式，，
可知均为正，均为负，
所以，
令，得，
又令，所以，
所以．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在，，所以，
由，
即，
所以，在中，，所以，
因此，即；
（2）由余弦定理得，即有①，
由是中点得，
两边平方有，
即有②，
联立①②解得，
所以．
17．【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）方案一
【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件，
则，所以.
（2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3
，，；
所以的分布列为
1 2 3
.
（ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得，
因为，所以
，
所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小.
18．【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由题意可得，则，，
所以椭圆的方程为.
（2）①设，则直线的斜率，直线的斜率，

由可得，
因为在椭圆上，则，
两式相减可得，即，
代入已知有，即；
②由题意可知线段，
联立方程，解得或（舍去），即
由①可设．
联立方程，消去y可得，
则，解得，且，
可得，
且点到直线的距离，
则，
设，则，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
所以面积的最大值为．
19．【答案】(1)①答案见解析；②；
(2)证明见解析
【详解】（1）时
①
设
1°，当时，因为（当且仅当时取等），所以，
即在上单调递增
2°，当时，，令解得，
所以
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
此时在和单调递增，
在单调递减；
②由①得此时且设，由韦达定理得，
所以
因为，所以，解得，
因此的取值范围是；
（2）由得，即，
当时，要证，即证，即证，
若，则恒成立，下证时.
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
不妨设，则有，现要证，即证，
因为，即证，即证，
设，
则
，
所以，即得证，所以得证；
当时，要证，即证，即证，
若，则恒成立，
下证：当时有.
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
不妨设，则有，现要证，
即证，
因为，即证，即证，
设，
则
，
所以，即得证，所以得证；
综上所述：．