【期末专项培优】矩形(含解析)2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

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名称 【期末专项培优】矩形(含解析)2024-2025学年华东师大版数学八年级下册
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资源类型 试卷
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2025-05-16 15:29:03

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期末专项培优 矩形
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 长春期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2024秋 顺德区期末)如图,点E在矩形ABCD的边AD上.若△EBC是等边三角形,则∠AEB的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.(2024秋 中原区期末)如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC与BD相交于点O,AD=8,OA=5,则AB的长为(  )
A.6 B.7 C.8 D.11
4.(2024秋 高州市期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在斜边AB上(不与A、B重合),过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF.随着P点在边AB上位置的改变,则EF长度的最小值.(  )
A.2.5 B.5 C.2.4 D.3
5.(2024秋 梁溪区校级期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线交CD的延长线于点G,交边AD于点E,若AE=2.5,则DG的长为(  )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 仪征市期末)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC=BD,请添加一个条件    ,使四边形ABCD是矩形.
7.(2024秋 江阴市期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线交CD的延长线于点G,交边AD于点E,若AE=2.5,则DG的长为    .
8.(2024秋 句容市期末)矩形ABCD中,点E在BC上,AE⊥ED,F为AE延长线上一点,满足EF=AE,连结DF交BC于点G,若AB=2,BE=1,则GC的长为    .
9.(2024秋 紫金县期末)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,∠ACB=20°,则∠AOB=    °.
10.(2024秋 扬州期末)如图,以矩形ABCD的顶点A为圆心,以AB边的长为半径作弧,交线段AD的延长线于点E,交边CD于点F,若CF=1,DE=3,则AD的长为    .
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 连州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=12,CE=8,求EF的长.
12.(2024秋 西安期末)如图,在长方形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上一动点(不与点C重合),点Q是边AD上任意一点.点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动.求△QPC的面积y(cm2)与点P的运动时间x(s)之间的关系式.
13.(2024秋 府谷县期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,交AB于点F,交CD于点E,EF=AF.求∠OFA的度数.
14.(2024秋 秦都区校级期中)如图,点E是 ABCD对角线AC上的点(不与A,C重合),连接BE,过点E作EF⊥BE交CD于点F.连接BF交AC于点G,BE=AD,∠FEC=∠FCE.
(1)求证: ABCD是矩形;
(2)若点E为AC的中点,求∠ABE的度数.
15.(2024秋 茂南区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.
期末专项培优 矩形
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2024秋 长春期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若OA=2,则BD的长为(  )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;几何直观;推理能力.
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得OA=OC=OB=OD=2,由此可得BD的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,
∴OA=OC=OB=OD=2,
∴BD=OB+OD=4,
即BD的长为4.
故选:B.
【点评】此题主要考查了矩形的性质,理解矩形的对角线相等且互相平分是解决问题的关键.
2.(2024秋 顺德区期末)如图,点E在矩形ABCD的边AD上.若△EBC是等边三角形,则∠AEB的度数为(  )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【考点】矩形的性质;等边三角形的性质.
【专题】三角形;矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答.
【解答】解:∵△EBC是等边三角形,
∴∠CBE=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE=60°.
故选:C.
【点评】本题考查矩形的性质,等边三角形的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
3.(2024秋 中原区期末)如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC与BD相交于点O,AD=8,OA=5,则AB的长为(  )
A.6 B.7 C.8 D.11
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】A
【分析】由矩形的性质得出AC=2OA=BD=10,∠BAD=90°,由勾股定理求出AB即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=2OA=10=BD,∠BAD=90°,
∵AD=8,
∴AB6,
故选:A.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,由勾股定理求出AD是解决问题的关键.
4.(2024秋 高州市期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在斜边AB上(不与A、B重合),过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF.随着P点在边AB上位置的改变,则EF长度的最小值.(  )
A.2.5 B.5 C.2.4 D.3
【考点】矩形的判定与性质;垂线段最短.
【专题】矩形 菱形 正方形;几何直观;运算能力;推理能力.
【答案】C
【分析】连接PC,过点C作CH⊥AB于点H,先求出AB=5,证明四边形PECF是矩形,则EF=PC,当PC的值最小时,EF的值为最小,再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时,PC的值为最小,最小值为线段CH的长,则EF的最小值是线段CH的长,然后根据三角形的面积公式求出线段CH的长即可得出答案.
【解答】解:连接PC,过点C作CH⊥AB于点H,如图所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
由勾股定理得:AB5,
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°,
∴四边形PECF是矩形,
∴EF=PC,
∴当PC的值最小时,EF的值为最小,
∵点P在斜边AB上(不与A、B重合),
∴根据“垂线段最短”得:当点P于点H重合时,PC的值为最小,最小值为线段CH的长,
∴EF的最小值是线段CH的长,
∵S△ABCAB CHAC BC,
∴CH2.4,
∴EF长度的最小值为2.4.
故选:C.
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质,垂线段的性质,熟练掌握矩形的判定与性质,理解垂线段最短是解决问题的关键.
5.(2024秋 梁溪区校级期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线交CD的延长线于点G,交边AD于点E,若AE=2.5,则DG的长为(  )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】图形的全等;矩形 菱形 正方形;运算能力;推理能力.
【答案】D
【分析】设直线OG交BC于点F,由矩形的性质得OA=OC,AD∥BC,CD=AB=2,AD=BC=4,∠BCD=∠ADC=∠ADG=90°,而AE=2.5,则DE=1.5,可证明△AOE≌△COF,得AE=CF=2.5,则S四边形CDEF=4,由S△CFG=41.5DG2.5(2+DG),求得DG=3,于是得到问题的答案.
【解答】解:设直线OG交BC于点F,
∵四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,AE=2.5,对角线AC、BC交于点O,
∴OA=OC,AD∥BC,CD=AB=2,AD=BC=4,∠BCD=∠ADC=∠ADG=90°,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,DE=AD﹣AE=4﹣2.5=1.5,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF=2.5,
∴S四边形CDEF(1.5+2.5)×2=4,
∵S△CFG=41.5DG2.5(2+DG),
∴DG=3,
故选:D.
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法,证明△AOE≌△COF是解题的关键.
二.填空题(共5小题)
6.(2024秋 仪征市期末)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC=BD,请添加一个条件  AB=CD(答案不唯一) ,使四边形ABCD是矩形.
【考点】矩形的判定.
【专题】多边形与平行四边形;矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】AB=CD(答案不唯一).
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形,再由矩形的判定定理即可得到结论.
【解答】解:添加一个条件为:AB=CD,使四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,
故答案为:AB=CD(答案不唯一).
【点评】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识,熟练掌握矩形的判定是解题的关键,属于中考常考题型.
7.(2024秋 江阴市期末)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线交CD的延长线于点G,交边AD于点E,若AE=2.5,则DG的长为  3 .
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】图形的全等;矩形 菱形 正方形;图形的相似;几何直观;运算能力;推理能力.
【答案】3.
【分析】根据矩形的性质得CD=AB=2,AD=BC=4,OA=OC,AD∥BC,进而得DE=1.5,证明△AOE和△COF全等得AE=CF=2.5,设DG=a,则CG=2+a,证明△GDE和△GCF相似,然后根据相似三角形的性质求出a=3,进而可得DG的长.
【解答】解:设直线OG交BC于点F,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,AB=2,BC=4,
∴CD=AB=2,AD=BC=4,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,
∵AE=2.5,
∴DE=AD﹣AE=1.5,
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF=2.5,
设DG=a,则CG=CD+DG=2+a,
∵AD∥BC,
∴△GDE∽△GCF,
∴,
∴,
解得:a=3,
∴DG=a=3.
故答案为:3.
【点评】此题主要考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,理解矩形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质是解决问题的关键.
8.(2024秋 句容市期末)矩形ABCD中,点E在BC上,AE⊥ED,F为AE延长线上一点,满足EF=AE,连结DF交BC于点G,若AB=2,BE=1,则GC的长为   .
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】图形的全等;矩形 菱形 正方形;运算能力;推理能力.
【答案】.
【分析】利用一线三直角得到△ABE∽△ECD,继而算出EC=4.再利用边角边证明出△AED≌△FED(SAS),得到DG=EG,最后利用勾股定理求出CG长即可.
【解答】解:∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°=∠B=∠C,
∴∠AEB+∠DEC=∠AEB+∠BAE,
∴∠BAE=∠DEC,
∴△ABE∽△ECD,
∴,
∴.
∴EC=4.
∵AE=EF,∠AED=∠DEF=90°,DE=DE,
∴△AED≌△FED(SAS),
∴∠ADE=∠FDE,∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠FDE,
∴DG=EG,
∵在Rt△CDG中,DG2=DC2+GC2,
∴(4﹣GC)2=4+GC2,
∴GC.
故答案为:.
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质,熟练掌握以上知识点是关键.
9.(2024秋 紫金县期末)如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,∠ACB=20°,则∠AOB=  40 °.
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】40.
【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分证明OB=OC,从而根据已知角求出∠OBC的度数,然后根据三角形内角和定理求出∠BOC,最后根据邻补角的定义求出∠AOB即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,
∴AO=OC=OB=OD,
∵∠ACB=20°,
∴∠OBC=∠ACB=20°,
∵∠OBC+∠ACB+∠BOC=180°,
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠ACB=180°﹣20°﹣20°=140°,
∵∠BOC+∠AOB=180°,
∴∠AOB=180°﹣∠BOC=180°﹣140°=40°,
故答案为:40.
【点评】本题主要考查了矩形的性质,解题关键是熟练掌握矩形性质、三角形内角和定理和邻补角的定义.
10.(2024秋 扬州期末)如图,以矩形ABCD的顶点A为圆心,以AB边的长为半径作弧,交线段AD的延长线于点E,交边CD于点F,若CF=1,DE=3,则AD的长为  1 .
【考点】矩形的性质.
【专题】矩形 菱形 正方形;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理可求AB的长,即可求解.
【解答】解:如图,连接AF,
由题意可得:AE=AF=AB,
在Rt△ADF中,AF2=DF2+AD2,
∴AB2=(AB﹣1)2+(AB﹣3)2,
∴AB4或AB=4(舍去),
∴AE4,
∴AD=AE﹣DE1,
故答案为:1.
【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,掌握矩形的性质是解题的关键.
三.解答题(共5小题)
11.(2024秋 连州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=12,CE=8,求EF的长.
【考点】矩形的判定与性质;三角形的面积;等腰三角形的性质;勾股定理.
【专题】三角形;等腰三角形与直角三角形;矩形 菱形 正方形;运算能力;推理能力.
【答案】(1)证明见解析;
(2)4.8.
【分析】(1)证明∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,再由矩形的判定即可得出结论;
(2)由矩形的性质得AE=CD=6,∠AEC=90°,再由勾股定理求出AC=10,然后由三角形面积求出EF的长即可.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵CE∥AD,
∴∠ECD=∠ADB=90°,
∵AE⊥AD,
∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形;
(2)解:∵AB=AC,D是BC的中点,BC=12,
∴BD=CDBC=6,
由(1)可知:四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=6,∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,由勾股定理得:AC10,
∵EF⊥AC,
∴S△AECAC EFAE CE,
∴EF4.8,
即EF的长为4.8.
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
12.(2024秋 西安期末)如图,在长方形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上一动点(不与点C重合),点Q是边AD上任意一点.点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动.求△QPC的面积y(cm2)与点P的运动时间x(s)之间的关系式.
【考点】矩形的性质;三角形的面积.
【专题】三角形;矩形 菱形 正方形;运算能力.
【答案】yx.
【分析】根据yAB PC,用含x的代数式表示出△QPC的底边PC的长即可得到答案.
【解答】解:由题意,BP=3x cm,
∴PC=BC﹣BP=(7﹣3x)cm,
∴yAB PC5×(7﹣3x)=(x)cm2,
故△QPC的面积y(cm2)与点P的运动时间x(s)之间的关系式为:yx.
【点评】本题考查矩形的性质,三角形的面积,动点问题、求自变量与因变量的关系式,掌握用含x的代数式表示出△QPC的底边PC的长是解答的关键.
13.(2024秋 府谷县期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,交AB于点F,交CD于点E,EF=AF.求∠OFA的度数.
【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.
【专题】图形的全等;等腰三角形与直角三角形;矩形 菱形 正方形;运算能力;推理能力.
【答案】∠OFA的度数是60°.
【分析】连接AE,由矩形的性质得CD∥AB,OC=OA,则∠OCE=∠OAF,而∠COE=∠AOF,即可根据“ASA”证明△OCE≌△OAF,得OE=OF,因为EF经过点O,且EF⊥AC,所以AC垂直平分EF,则AE=AF,而EF=AF,可证明△AEF是等边三角形,则∠OFA的度数是60°.
【解答】解:连接AE,
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O,
∴CD∥AB,OC=OA,
∴∠OCE=∠OAF,
在△OCE和△OAF中,

∴△OCE≌△OAF(ASA),
∴OE=OF,
∵EF经过点O,且EF⊥AC,
∴AC垂直平分EF,
∴AE=AF,
∵EF=AF,
∴AE=EF=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠OFA的度数是60°.
【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识,正确地作出辅助线是解题的关键.
14.(2024秋 秦都区校级期中)如图,点E是 ABCD对角线AC上的点(不与A,C重合),连接BE,过点E作EF⊥BE交CD于点F.连接BF交AC于点G,BE=AD,∠FEC=∠FCE.
(1)求证: ABCD是矩形;
(2)若点E为AC的中点,求∠ABE的度数.
【考点】矩形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【专题】等腰三角形与直角三角形;多边形与平行四边形;矩形 菱形 正方形;几何直观;推理能力.
【答案】(1)证明见解析;
(2)30°.
【分析】(1)先由平行四边形的性质得到AD=BC,则BE=BC,由等边对等角得到∠ECB=∠CEB,则可证明∠FEB=∠BCD=90°,进而可证明平行四边形ABCD是矩形;
(2)由矩形的性质得到,则可证明△BCE是等边三角形,得到∠CBE=60°,则∠ABE=30°.
【解答】(1)证明:点E是 ABCD对角线AC上的点,BE=AD,
∴AD=BC=BE,
∴∠ECB=∠CEB,
∵∠FEC=∠FCE,
∴∠FEC+∠CEB=∠FCE+∠BCE,
∴∠BEF=∠BCF,
∵EF⊥BE交CD于点F,
∴∠FEB=∠BCD=90°,
∴ ABCD是矩形;
(2)解:∵ ABCD是矩形,点E为AC的中点,
∴,
∴BE=CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠CBE=60°,
∴∠ABE=30°.
【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,平行四边形的性质等等,熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键.
15.(2024秋 茂南区期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BE∥AD,AE⊥AD.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)作EF⊥AB于F,若BC=4,AD=3,求EF的长.
【考点】矩形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理.
【专题】等腰三角形与直角三角形;矩形 菱形 正方形;几何直观;推理能力.
【答案】(1)见解析;
(2).
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得∠ADB=90°,再根据平行线的性质得∠DBE=90°,然后根据AE⊥AD,可得∠DAE=90°,即可得出结论;
(2)根据等腰三角形的性质求出,再根据勾股定理得AB,然后根据矩形的性质得BE=AD=3,AE=BD=2,最后根据三角形的面积相等得出答案.
【解答】(1)证明:∵△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°,
∵BE∥AD,AE⊥AD,
∴∠DBE=90°,∠DAE=90°,
∴四边形ADBE是矩形;
(2)解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=4,AD=3,
∴.
在直角三角形ABD中,由勾股定理得:.
∵四边形ADBE是矩形,
∴BE=AD=3,AE=BD=2.
∵,
∴.
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定,等腰三角形的性质,勾股定理,解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.
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