【期末专项培优】菱形（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

期末专项培优 菱形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　）
A．2α B．45°+α C． D．
2．（2024秋 禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（　　）
A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm
3．（2024秋 源城区期末）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
4．（2024秋 丰顺县期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，，BE＝1，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 莱西市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（　　）
A．38° B．34° C．28° D．24°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 兰州期末）菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，则对角线AC＝　 　．
7．（2024秋 清新区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为 　 　．
8．（2024秋 市北区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是 　 　．
9．（2024秋 青白江区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点，在AE的右侧作EF＝AE，且∠AEF＝∠ABC＝120°，连接CF，连接AF交CD于点G．若G为边CD的三等分点，则BE的长为 　 　．
10．（2024秋 红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 平远县期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．
12．（2024秋 白银期末）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．
13．（2024秋 钢城区期末）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
14．（2024秋 贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
15．（2024秋 揭西县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长．
期末专项培优 菱形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 电白区期末）已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（　　）
A．2α B．45°+α C． D．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用互余解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAO∠BAD，
∴∠DFO+∠FDO＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°，
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
2．（2024秋 禅城区期末）以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16cm、12cm，则它的两条对边的距离应为（　　）
A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．4.8cm
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】设最外层菱形为菱形ABCD，它的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm，由AC⊥BD，得∠AEB＝90°，而AE＝CE＝8cm，BE＝DE＝6cm，所以AB10cm，设菱形ABCD两条对边的距离h cm，则10h16×12，解方程求出h的值即得到问题的答案．
【解答】解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16cm，BD＝12cm，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝CEAC＝8cm，BE＝DEBD＝6cm，
∴AB10（cm），
设菱形ABCD两条对边的距离h cm，
∵S菱形ABCD＝AB hAC BD，
∴10h16×12，
解得h＝9.6，
∴它的两条对边的距离应为9.6cm，
故选：A．
【点评】此题重点考查菱形有性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长是解题的关键．
3．（2024秋 源城区期末）如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质可证△ABD是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
4．（2024秋 丰顺县期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝60°，，BE＝1，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】先证明△ABD是等边三角形，再根据ASA证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，进而可求解AB的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝∠DBC＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵BE＝1，
∴BD＝AB＝AE+BE1．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△BDF是解题的关键．
5．（2024秋 莱西市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（　　）
A．38° B．34° C．28° D．24°
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】C
【分析】首先根据菱形的一组邻角互补可以求出∠ABC＝124°，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、OB＝OD，所以可得∠BDH＝28°，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得HO＝DO，根据等边对等角可得∠DHO＝∠BDO＝28°．
【解答】解：如下图所示，
由菱形性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝56°，
∵∠ABC＝124°，
∴，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△DBH中，∠BDH＝90°﹣∠DBH＝90°﹣62°＝28°，
∵OB＝OD，
∴点O是BD的中点，
∴HO＝DO，
∴∠DHO＝∠BDO＝28°．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 兰州期末）菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，则对角线AC＝　2　．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2．
【分析】利用菱形的性质求得△ABD是等边三角形，连接AC交BD于O，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
连接AC交BD于O，
∴∠AOB＝90°，OBBD＝1，AOAC，
∴OA，
∴AC＝2OA＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（2024秋 清新区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为 　24　．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】24．
【分析】由菱形可得AB＝BC＝CD＝AD，进而得到△ABC为等边三角形，得到AB＝BC＝AC＝6，即可求出菱形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键．
8．（2024秋 市北区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6．AE⊥CD于点E，则AE的长是 　　．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据菱形的性质得到AOAC＝3，OBBD，AC⊥BD，根据勾股定理得到BO＝4，求得BD＝8，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AOAC6＝3，OBBD，AC⊥BD，
∵AB＝5，
∴BO4，
∴BD＝8，
S菱形ABCDAC BD＝CD AE，
∴6×8＝5AE，
∴AE，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．
9．（2024秋 青白江区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，E是边BC上一点，在AE的右侧作EF＝AE，且∠AEF＝∠ABC＝120°，连接CF，连接AF交CD于点G．若G为边CD的三等分点，则BE的长为 　或　．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】或．
【分析】如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE＝∠ABC＝120°，证明△EFG≌△AEB（AAS），得出BE＝CG，则FG＝CG，证明∠DCF＝90°，作AH⊥CD于点H，则AH∥CF，DH＝3，证明△AHG∽△FCG，进而根据相似三角形的性质，求出CF，在AB上截取AN＝EC，连接EN，证明△AEN≌△EFC（SAS），得CF＝EN，过B作BM⊥EN于点M，根据等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，在BC的延长线上取点G，使得∠FGE＝∠ABC＝120°，
则∠FEG＝∠AEC﹣∠AEF＝∠ABC+∠BAE﹣∠AEF＝∠BAE，
又∵EF＝AE，
∴△EFG≌△AEB（AAS），
∴FG＝BE，EG＝AB，
由EG＝AB＝BC，得BE＝CG，
∴FG＝CG，∠FCG（180°﹣∠FGE）＝30°，
在菱形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠DCG＝∠ABC＝120°，
∴∠DCF＝∠DCG﹣∠FCG＝90°，
如图所示，连接AC，BD交于点O，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAO＝30°，
∴BOAB，
∴AOBOAB，
∴AC＝2AOAB，
如图，作AH⊥CD于点H，
∴∠AHD＝∠DCF＝90°，
∴AH∥CF，
∴△AHG∽△FCG，
∴，
∵∠ADH＝60°，
∴DHAD＝3，
∴AHDH＝3，
∴CF，
在AB上截取AN＝EC，连接EN，
∵AB＝BC，
∴BN＝BE，
∵∠AEF＝∠ABC＝120°，∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠BAE，
∴∠FEC＝∠BAE，
∵AE＝EF，
∴△AEN≌△EFC（SAS），
∴CF＝EN，
过B作BM⊥EN于点M，
∵BN＝BE，
∴EM＝MN，
∵∠NBE＝120°，
∴∠BEM＝30°，
∴BECF，
当DG＝2，CG＝4时，CF，
∴BECF，
当DG＝4，CG＝2时，CF，
∴BECF，
综上所述，BE的长为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．（2024秋 红古区期末）如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AC＝3，则AB的长为 　3　．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC，而∠B＝60°，则可判定△ABC是等边三角形，从而得出AC＝AB＝3．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△ABC是等边三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 平远县期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OB＝OD，根据角平分线的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；
（2）根据已知条件得到CD＝10，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵AC 平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OD8，OCAC＝6，
∴CD10，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝10．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
12．（2024秋 白银期末）如图，点F在△ABC的边AC上，且AB＝AF，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF．求证：四边形ABEF是菱形．
【考点】菱形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】先证得四边形ABEF是平行四边形，再由AB＝AF可得 ABEF是菱形．
【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴ ABEF是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
13．（2024秋 钢城区期末）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明过程请看解答．
【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵CE＝CF，AC＝AC，
∴△ECA≌△FCA（SAS），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
14．（2024秋 贵阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）平行四边形ABCD是菱形，理由见解答．
【分析】（1）由平行四边形的性质得∠B＝∠D，由AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，得∠AEB＝∠AFD＝90°，而BE＝DF，即可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF；
（2）由全等三角形的性质得AB＝AD，而四边形ABCD是平行四边形，即可根据菱形的定义证明平行四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA）．
（2）解：平行四边形ABCD是菱形，
理由：由（1）得△ABE≌△ADF，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的定义等知识，推导出∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD，进而证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
15．（2024秋 揭西县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，O是边AC上的中点，延长BO至点D，使得OB＝OD，DE⊥BC于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若CD＝5，DE＝4，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）根据勾股定理得出CE，进而利用菱形面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵O是边AC上的中点，
∴AO＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
由勾股定理可知，，
由（1），可得BC＝CD＝5，
∴BE＝BC+CE＝8，
在 Rt△DBE 中，，
∵，
∴．
【点评】本题主要考查菱形的判定与性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．
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