【期末专项培优】平行四边形的判定（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 【期末专项培优】平行四边形的判定（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 789.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-16 15:31:28 | ||
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文档简介
期末专项培优 平行四边形的判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
3．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
4．（2024秋 绥化期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
5．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 南阳期末）四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 ，可得四边形ABCD成为平行四边形．
7．（2024春 新城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 ．
8．（2024春 市中区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ．（只填序号）
9．（2024春 海沧区期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，E，F分别在边BC和AD上，EF∥AB，交AC于点P．若CD＝6，AC＝8，CE＝7，则AF的长为 ．
10．（2024春 顺河区校级期末）如图，在平行四边形中，AB＝6cm，AD＝9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：四边形DEBF是平行四边形．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积．
15．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
期末专项培优 平行四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推导出AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝BC，AB＝CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可判定四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴2∠A+2∠B＝360°，2∠A+2∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴由AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
3．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故本选项符合题意；
D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（2024秋 绥化期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
【考点】平行四边形的判定．
【答案】C
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD＝BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．
5．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 南阳期末）四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 AB＝CD（答案不唯一） ，可得四边形ABCD成为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】AB＝CD（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：添加条件为AB＝CD，
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．（2024春 新城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 AD＝BC（答案不唯一） ．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理添加条件即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键
8．（2024春 市中区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ②③ ．（只填序号）
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】②③．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，
①OE＝OF，
则四边形DEBF是平行四边形；
故①能判定四边形DEBF是平行四边形；
②DE＝BF时，不能证明OE＝OF，
故②不能判定四边形DEBF是平行四边形；
③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF，
故③不能判定四边形DEBF是平行四边形；
④∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故④能判定四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：②③．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．（2024春 海沧区期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，E，F分别在边BC和AD上，EF∥AB，交AC于点P．若CD＝6，AC＝8，CE＝7，则AF的长为 3 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，AD∥BC，得到CD⊥AC，由勾股定理求出AD10，判定四边形EFDC是平行四边形，推出FD＝CE＝7，即可求出AF＝AD﹣DF＝3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB⊥AC，
∴CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵AC＝8，CD＝6，
∴AD10，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD＝CE＝7，
∴AF＝AD﹣DF＝10﹣7＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD的长，判定四边形ECDF是平行四边形．
10．（2024春 顺河区校级期末）如图，在平行四边形中，AB＝6cm，AD＝9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 3或9 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3或9．
【分析】根据平行四边形的性质得到AP∥BQ．若要以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形，则AP＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4.5时，当4.5＜t≤9时，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AP∥BQ．
若要以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形，则AP＝BQ．
设运动时间为t．
当0＜t≤4.5时，AP＝t，CQ＝2t，BQ＝9﹣2t，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3；
当4.5＜t≤9时，AP＝t，BQ＝2t﹣9，
∴t＝2t﹣9，
解得：t＝9；
综上所述，t的值为3或9时，以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为 44 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）44．
【分析】（1）证△ABF≌△CDE（SAS），得AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，再证AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CF＝3，EF＝5，
∴AC＝AE+EF+CF＝11，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝211×4＝44，
故答案为：44．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，∠ABC＝∠ADF，又由BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，可证得∠CBE＝∠CFD，即可证得BE∥DF，则可判定四边形DEBF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠CFD，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CBE∠ABC，∠EDF∠ADC，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意有两组对角分别平行的四边形是平行四边形．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△ACE的面积是8．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，由 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OCAC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE2，则S△ACEAC OE＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵延长CD至点E，使CD＝DE，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：连接OE，
∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，
∴OA＝OCAC＝4，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE＝6，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∴OE2，
∴S△ACEAC OE8×28，
∴△ACE的面积是8．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△AEF的面积为12．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠ABE＝∠CDF，由DE＝BF推导出BE＝DF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，所以AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AB⊥BD，得∠ADB＝90°，而AB＝5，AD＝BC＝3，则BD4，因为DE＝BF＝2，所以EF＝DE+BD+BF＝8，则S△AEFEF AD＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF，
∴AB∥CD，AB＝CD，DE+BD＝BF+BD，
∴∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，AD＝BC＝3，
∴BD4，
∵DE＝BF＝2，
∴EF＝DE+BD+BF＝2+4+2＝8，
∴S△AEFEF AD8×3＝12，
∴△AEF的面积为12．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
15．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AFCE周长是32．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，
∴CE∥AF，OC＝OA＝4，
∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∵∠AEC＝60°，
∴△EAC是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，
∴四边形AFCE周长是32．
【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
3．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
4．（2024秋 绥化期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
5．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 南阳期末）四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 ，可得四边形ABCD成为平行四边形．
7．（2024春 新城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 ．
8．（2024春 市中区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ．（只填序号）
9．（2024春 海沧区期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，E，F分别在边BC和AD上，EF∥AB，交AC于点P．若CD＝6，AC＝8，CE＝7，则AF的长为 ．
10．（2024春 顺河区校级期末）如图，在平行四边形中，AB＝6cm，AD＝9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：四边形DEBF是平行四边形．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积．
15．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
期末专项培优 平行四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推导出AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．（2024秋 重庆期末）如图，已知四边形ABCD，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB∥CD，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD＝BC，AB＝CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由∠A＝∠C，∠B＝∠D，推导出∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，则AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可判定四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B不符合题意；
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，且∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴2∠A+2∠B＝360°，2∠A+2∠D＝360°，
∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
∴由AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
3．（2024秋 莱芜区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD
C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故本选项符合题意；
D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（2024秋 绥化期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB∥CD，∠C＝∠A D．AB＝AD，CB＝CD
【考点】平行四边形的判定．
【答案】C
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD＝BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．
5．（2024 南充模拟） ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 南阳期末）四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件 AB＝CD（答案不唯一） ，可得四边形ABCD成为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】AB＝CD（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：添加条件为AB＝CD，
∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．（2024春 新城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中AB＝CD，请你再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，可以添加的条件是 AD＝BC（答案不唯一） ．
【考点】平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理添加条件即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键
8．（2024春 市中区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠BCF；④∠ABE＝∠CDF；其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是 ②③ ．（只填序号）
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】②③．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，
①OE＝OF，
则四边形DEBF是平行四边形；
故①能判定四边形DEBF是平行四边形；
②DE＝BF时，不能证明OE＝OF，
故②不能判定四边形DEBF是平行四边形；
③∠ADE＝∠BCF时，不能证明OE＝OF，
故③不能判定四边形DEBF是平行四边形；
④∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故④能判定四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：②③．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．（2024春 海沧区期末）如图，在 ABCD中，AB⊥AC，E，F分别在边BC和AD上，EF∥AB，交AC于点P．若CD＝6，AC＝8，CE＝7，则AF的长为 3 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3．
【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，AD∥BC，得到CD⊥AC，由勾股定理求出AD10，判定四边形EFDC是平行四边形，推出FD＝CE＝7，即可求出AF＝AD﹣DF＝3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB⊥AC，
∴CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵AC＝8，CD＝6，
∴AD10，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD＝CE＝7，
∴AF＝AD﹣DF＝10﹣7＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，关键是由勾股定理求出AD的长，判定四边形ECDF是平行四边形．
10．（2024春 顺河区校级期末）如图，在平行四边形中，AB＝6cm，AD＝9cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 3或9 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】3或9．
【分析】根据平行四边形的性质得到AP∥BQ．若要以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形，则AP＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4.5时，当4.5＜t≤9时，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AP∥BQ．
若要以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形，则AP＝BQ．
设运动时间为t．
当0＜t≤4.5时，AP＝t，CQ＝2t，BQ＝9﹣2t，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3；
当4.5＜t≤9时，AP＝t，BQ＝2t﹣9，
∴t＝2t﹣9，
解得：t＝9；
综上所述，t的值为3或9时，以A，B，P，Q四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：3或9．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为 44 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）44．
【分析】（1）证△ABF≌△CDE（SAS），得AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，再证AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵CF＝3，EF＝5，
∴AC＝AE+EF+CF＝11，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝211×4＝44，
故答案为：44．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，∠ABC＝∠ADF，又由BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，可证得∠CBE＝∠CFD，即可证得BE∥DF，则可判定四边形DEBF是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠CFD，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CBE∠ABC，∠EDF∠ADC，
∴∠CBE＝∠CFD，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意有两组对角分别平行的四边形是平行四边形．
13．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△ACE的面积是8．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，由 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OCAC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE2，则S△ACEAC OE＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵延长CD至点E，使CD＝DE，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）解：连接OE，
∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，
∴OA＝OCAC＝4，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE＝6，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∴OE2，
∴S△ACEAC OE8×28，
∴△ACE的面积是8．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在 ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，DE＝2，求△AEF的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△AEF的面积为12．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则∠ABE＝∠CDF，由DE＝BF推导出BE＝DF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，所以AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形；
（2）由AB⊥BD，得∠ADB＝90°，而AB＝5，AD＝BC＝3，则BD4，因为DE＝BF＝2，所以EF＝DE+BD+BF＝8，则S△AEFEF AD＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E和点F是直线BD上的两点且DE＝BF，
∴AB∥CD，AB＝CD，DE+BD＝BF+BD，
∴∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，AD＝BC＝3，
∴BD4，
∵DE＝BF＝2，
∴EF＝DE+BD+BF＝2+4+2＝8，
∴S△AEFEF AD8×3＝12，
∴△AEF的面积为12．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
15．（2024秋 鄠邑区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四边形AFCE的周长．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AFCE周长是32．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OD＝OB，OA＝OC，而DE＝BF，所以OE＝OF，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）由∠EAC＝∠FAC，∠ECA＝∠FAC，推导出∠EAC＝∠ECA，则AE＝CE，所以四边形AFCE是菱形，而∠AEC＝60°，则△EAC是等边三角形，所以AE＝AC＝8，即可求得四边形AFCE周长是32．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵四边形AFCE为平行四边形，OA＝4，
∴CE∥AF，OC＝OA＝4，
∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∵∠AEC＝60°，
∴△EAC是等边三角形，
∴AE＝AC＝8，
∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，
∴四边形AFCE周长是32．
【点评】此题重点考查等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明OE＝OF，以及在AC平分∠EAF的条件下证明四边形AFCE为菱形是解题的关键．
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