【期末专项培优】平行四边形的性质（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 【期末专项培优】平行四边形的性质（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 958.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-16 15:34:04 | ||
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文档简介
期末专项培优 平行四边形的性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（ ）
A． B． C．12 D．6
3．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
4．（2024秋 渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
5．（2024秋 潍坊期末）在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为 ．
7．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝ ．
8．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 ．
9．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 ．
10．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
12．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
13．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度．
14．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
15．（2024秋 邵阳期末）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：EO⊥BD；
（2）若AB＝10cm，∠BAC＝60°，求 ABCD的面积．
期末专项培优 平行四边形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11，
∴CD＝AB＝11，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝11，
∵BE＝4，
∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，
故选：A．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键．
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（ ）
A． B． C．12 D．6
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AHAB＝2，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE AF＝AD AH＝12．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AF⊥DE，
∴△EAD的面积AD AHDE AF，
∴DE AF＝6×212．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD AH＝DE AF．
3．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ADF是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由 ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴BG⊥AE，AB＝6，BG，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，掌握其性质定理是解决此题的关键．
4．（2024秋 渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DCE＝55°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB＝125°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2024秋 潍坊期末）在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，由∠A与∠B的度数之比为1：2，得∠B＝2∠A，所以∠A+2∠A＝180°，则∠C＝∠A＝60°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C＝∠A，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A与∠B的度数之比为1：2，
∴∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的性质等知识，由∠A+∠B＝180°，∠B＝2∠A，求得∠C＝∠A＝60°是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为 16cm ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】16cm．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm，
∴AD+AB＝11cm，
∵AC，BD相交于点O且BD为5cm，
∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm），
故答案为：16cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
7．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝ 2cm ．
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】2cm．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．
【解答】解：在 ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝DAE，
∴∠BAE＝BAE，
∴BE＝AB＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．
8．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 4+2 ．
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】4+2．
【分析】由平行四边形的性质得OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD4，则AD2，再证明∠ECD＝∠EDC，所以DE＝CE＝AEAD，即可求得△CDE的周长为4+2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，
∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD4，
∴AD2，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AEAD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝44+2，
∴故答案为：4+2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．
9．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 110 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°．
10．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴，
∴，
∴OP′，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根据“AAS“证明△ABE≌△DCF，则BE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠C，
∵AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE＝CF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．
12．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明；
（2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点，
∴DEAB＝2，
∴AB＝4，
∴AD2，
∴S△ABDAD DB＝2，
∴S△BDE，
在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴S BEDF＝2S△BDE＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】BD的长度是2．
【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD，因为∠ACB＝90°，所以AC6，则OC＝3，求得OB，所以BD＝2OB＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC6，
∴OCAC＝3，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
∴BD的长度是2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确地求出AC的长是解题的关键．
14．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AECF是正方形，证明见解答．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，得AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，所以∠ABE＝∠CDF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，则∠AEF＝∠CFE，所以AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，由ACBD，EFBD，推导出AC＝EF，而AC⊥EF，则四边形AECF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，
∴AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：四边形AECF是正方形，
证明：由（1）得△ABE≌△CDF，EFBD，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
∵∠AEF＝180°﹣∠AEB，∠CFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵ACBD，EFBD，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，推导出∠ABE＝∠CDF，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
15．（2024秋 邵阳期末）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：EO⊥BD；
（2）若AB＝10cm，∠BAC＝60°，求 ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OB＝OD，结合BE＝DE，即可证明；
（2）由（1）得AC⊥BD，推出四边形ABCD是菱形，∠AOB＝90°，得到∠ABO＝30°，求出AC、BD，即可求解．
【解答】（1）证明：由条件可知OB＝OD，
又∵EB＝ED，
∴EO⊥BD．（三线合一）
（2）解：由（1）得AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝5cm，，
∴，AC＝2AO＝10cm，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（ ）
A． B． C．12 D．6
3．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
4．（2024秋 渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
5．（2024秋 潍坊期末）在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为 ．
7．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝ ．
8．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 ．
9．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 ．
10．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
12．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
13．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度．
14．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
15．（2024秋 邵阳期末）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：EO⊥BD；
（2）若AB＝10cm，∠BAC＝60°，求 ABCD的面积．
期末专项培优 平行四边形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长春校级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11，
∴CD＝AB＝11，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝11，
∵BE＝4，
∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，
故选：A．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键．
2．（2024秋 丽水期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE AF的值是（ ）
A． B． C．12 D．6
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AHAB＝2，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE AF＝AD AH＝12．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AF⊥DE，
∴△EAD的面积AD AHDE AF，
∴DE AF＝6×212．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD AH＝DE AF．
3．（2024秋 浑南区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．5
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ADF是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由 ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【解答】解：在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴BG⊥AE，AB＝6，BG，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，掌握其性质定理是解决此题的关键．
4．（2024秋 渝北区期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（ ）
A．125° B．115° C．55° D．135°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠DCE＝55°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠DCB＝125°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2024秋 潍坊期末）在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，由∠A与∠B的度数之比为1：2，得∠B＝2∠A，所以∠A+2∠A＝180°，则∠C＝∠A＝60°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C＝∠A，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A与∠B的度数之比为1：2，
∴∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的性质等知识，由∠A+∠B＝180°，∠B＝2∠A，求得∠C＝∠A＝60°是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为 16cm ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】16cm．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm，
∴AD+AB＝11cm，
∵AC，BD相交于点O且BD为5cm，
∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm），
故答案为：16cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
7．（2024秋 潍坊期末）如图， ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝ 2cm ．
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】2cm．
【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．
【解答】解：在 ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝DAE，
∴∠BAE＝BAE，
∴BE＝AB＝3cm，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．
8．（2024秋 鲤城区校级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是 4+2 ．
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】4+2．
【分析】由平行四边形的性质得OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD4，则AD2，再证明∠ECD＝∠EDC，所以DE＝CE＝AEAD，即可求得△CDE的周长为4+2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴OC＝OAAC＝3，OD＝OBBD＝5，
∵AC⊥CD，OE⊥AC，
∴∠ACD＝90°，AE＝CE，
∴CD4，
∴AD2，
∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝AEAD，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝44+2，
∴故答案为：4+2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．
9．（2024秋 桓台县期末）已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 110 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为180°．
10．（2023秋 巴中期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴，
∴，
∴OP′，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根据“AAS“证明△ABE≌△DCF，则BE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠C，
∵AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE＝CF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．
12．（2024秋 紫金县期末）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明；
（2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点，
∴DEAB＝2，
∴AB＝4，
∴AD2，
∴S△ABDAD DB＝2，
∴S△BDE，
在 ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴S BEDF＝2S△BDE＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（2024秋 莱西市期末）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】BD的长度是2．
【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD，因为∠ACB＝90°，所以AC6，则OC＝3，求得OB，所以BD＝2OB＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC6，
∴OCAC＝3，
∴OB，
∴BD＝2OB＝2，
∴BD的长度是2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确地求出AC的长是解题的关键．
14．（2024秋 崂山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的三等分点，连接AE，CE，AF，CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）连接AC，若AC⊥BD，且，判断四边形AECF的形状，并证明．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）四边形AECF是正方形，证明见解答．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，得AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，所以∠ABE＝∠CDF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，则∠AEF＝∠CFE，所以AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，由ACBD，EFBD，推导出AC＝EF，而AC⊥EF，则四边形AECF是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的三等分点，
∴AB∥CD，AB＝CD，BE＝EF＝DFBD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：四边形AECF是正方形，
证明：由（1）得△ABE≌△CDF，EFBD，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，
∵∠AEF＝180°﹣∠AEB，∠CFE＝180°﹣∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵ACBD，EFBD，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，推导出∠ABE＝∠CDF，进而证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
15．（2024秋 邵阳期末）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：EO⊥BD；
（2）若AB＝10cm，∠BAC＝60°，求 ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OB＝OD，结合BE＝DE，即可证明；
（2）由（1）得AC⊥BD，推出四边形ABCD是菱形，∠AOB＝90°，得到∠ABO＝30°，求出AC、BD，即可求解．
【解答】（1）证明：由条件可知OB＝OD，
又∵EB＝ED，
∴EO⊥BD．（三线合一）
（2）解：由（1）得AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝5cm，，
∴，AC＝2AO＝10cm，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
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