【期末专项培优】实践与探索（函数及图象）（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 【期末专项培优】实践与探索（函数及图象）（含解析）2024-2025学年华东师大版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 673.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-16 15:36:14 | ||
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文档简介
期末专项培优 实践与探索（函数及图象）
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）已知一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 肥西县期末）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝60°，射线OB与x轴正半轴夹角为15°，点A和点B分别为射线OM，ON上的动点，∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（ ）上．
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x﹣1 D．y＝x+2
3．（2024秋 温江区期末）已知直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 兴庆区模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知20℃时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y＝0.36x B．y＝36x C． D．
5．（2020 莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v B．v+t＝480 C．v D．v
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 句容市期末）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
7．（2024秋 太原期末）已知二元一次方程组的解是，由此可知相应的正比例函数y＝2x与一次函数 图象的交点坐标为（1，2）．
8．（2024秋 沙坪坝区校级期末）一次函数y＝kx与的图象如图所示，观察图象直接写出关于x，y的方程组的解是 ．
9．（2024 昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
10．（2022秋 丛台区校级期末）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 贵州期末）如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．
（1）求m的值及l2的关系式；
（2）方程组的解为 ；
（3）求S△AOC﹣S△BOC的值．
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）．
（1）求点P坐标；
（2）一元一次方程mx+n＝0的解为 ；
（3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标．
13．（2024秋 金凤区校级期末）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求直线l1对应的表达式；
（3）求△ABP的面积．
14．（2022春 衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
15．（2021 杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
期末专项培优 实践与探索（函数及图象）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）已知一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】点（2，3）是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式；即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于x、y的二元一次方程组解即可求出．
【解答】解：∵函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．（2024秋 肥西县期末）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝60°，射线OB与x轴正半轴夹角为15°，点A和点B分别为射线OM，ON上的动点，∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（ ）上．
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x﹣1 D．y＝x+2
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；角平分线的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OP，过P作PE⊥OM于E，PF⊥AB于F，PH⊥ON于H，根据角平分线的性质得到PE＝PF，PF＝PH，求得PE＝PH，推出OP平分∠MON，得到∠PON∠MON＝30°，于是得到结论．
【解答】解：连接OP，过P作PE⊥OM于E，PF⊥AB于F，PH⊥ON于H，
∵∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，
∴PE＝PF，PF＝PH，
∴PE＝PH，
∴OP平分∠MON，
∴∠PON∠MON＝30°，
∵射线OB与x轴正半轴夹角为15°，
∴射线OP与x轴正半轴夹角为45°，
∴OP是第一象限角的平分线，
∴点P一定在直线方程y＝x上，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024秋 温江区期末）已知直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可．
【解答】解：∵直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，
∴方程组，
即方程组的解是，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
4．（2024 兴庆区模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知20℃时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y＝0.36x B．y＝36x C． D．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；一次函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接利用：，进而得出y与x之间的关系．
【解答】解：由题意可得：，
故y＝0.36x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及反比例函数的应用，正确运用已知关系式是解题关键．
5．（2020 莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v B．v+t＝480 C．v D．v
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】模型思想．
【答案】A
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 句容市期末）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：把x＝1，y＝a代入2x﹣y+1＝0得2﹣a+1＝0，
∴a＝3，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
7．（2024秋 太原期末）已知二元一次方程组的解是，由此可知相应的正比例函数y＝2x与一次函数 y＝3x﹣1 图象的交点坐标为（1，2）．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；推理能力．
【答案】y＝3x﹣1．
【分析】任何一个二元一次方程都可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标的值．
【解答】解：∵二元一次方程组的解是，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标，
∴一次函数y＝3x﹣1和正比例函数y＝2x图象的交点坐标是（1，2），
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，掌握满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解决问题的关键．
8．（2024秋 沙坪坝区校级期末）一次函数y＝kx与的图象如图所示，观察图象直接写出关于x，y的方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】．
【分析】方程组的解就是两函数图象的交点
【解答】解：∵一次函数y＝kx与的图象交于点（﹣4，﹣2），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
9．（2024 昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300
∴y，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y．
故答案为：y．
【点评】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式的知识点，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．（2022秋 丛台区校级期末）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 y ．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y，再代入一对x、y的值可得k的值，进而可得答案．
【解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y．
故答案为：y．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如y（k≠0）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 贵州期末）如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．
（1）求m的值及l2的关系式；
（2）方程组的解为 ；
（3）求S△AOC﹣S△BOC的值．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）m，l2的解析式为yx；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）根据C点的坐标即可求解；
（3）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数yx+5，
可得，m+5，解得m，
∴C（，）．
设l2的解析式为y＝ax，
将点C（，）代入，
得a，解得a，
∴l2的解析式为yx；
（2）∵正比例函数的图象l2与l1交于点C（，），
∴方程组的解为，
故答案为：；
（3）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，
在yx+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想．
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）．
（1）求点P坐标；
（2）一元一次方程mx+n＝0的解为 x＝4 ；
（3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）（1，3）；
（2）x＝4；
（3）（，6）或（，﹣6）．
【分析】（1）把P（1，b）代入y＝2x+1求出b的值，从而得到P点坐标；
（2）设Q（t，2t+1），先确定A（，0），再利用三角形面积公式得到（4）×3（4）×|2t+1|，然后解方程求出t，从而得到∴点的坐标．
【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝2x+1得b＝2×1+1＝3，
∴点P的坐标为（1，3）；
（2）∵直线y＝mx+n与x轴交点B（4，0），
∴一元一次方程mx+n＝0的解为x＝4；
故答案为：x＝4；
（3）设Q（t，2t+1），
当y＝0时，2x+1＝0，
解得x，
∴A（，0），
∵S△ABP，
∴（4）×3（4）×|2t+1|，
解得t或t，
∴Q点的坐标为（，6）或（，﹣6）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13．（2024秋 金凤区校级期末）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求直线l1对应的表达式；
（3）求△ABP的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）3．
【分析】（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2，求得P（﹣1，2），于是得到结论；
（2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b解方程组得到直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，求得B（1，0），根据三角形的面积公式得到△ABP的面积3×2＝3．
【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2，
∴P（﹣1，2），
∴方程组的解为；
（2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，
∴B（1，0），
∴△ABP的面积3×2＝3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
14．（2022春 衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；不等式的解集．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为y（x≥5）；
（2）共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y，再结合墙长为6m，即可得出x≥5；
（2）由x，y均为整数，x≥5，且y，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案．
【解答】解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y．
又∵墙长为6m，
∴6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y（x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值．
15．（2021 杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】跨学科．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把V＝1代入（1）得到的函数解析式，可得P；
（3）把P＝140代入得到V即可．
【解答】解：（1）设P，
由题意知，
所以k＝96，
故P；
（2）当V＝1m3时，P96（kpa）；
（3）当P＝140kPa时，V0.69（m3）．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）已知一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 肥西县期末）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝60°，射线OB与x轴正半轴夹角为15°，点A和点B分别为射线OM，ON上的动点，∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（ ）上．
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x﹣1 D．y＝x+2
3．（2024秋 温江区期末）已知直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 兴庆区模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知20℃时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y＝0.36x B．y＝36x C． D．
5．（2020 莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v B．v+t＝480 C．v D．v
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 句容市期末）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
7．（2024秋 太原期末）已知二元一次方程组的解是，由此可知相应的正比例函数y＝2x与一次函数 图象的交点坐标为（1，2）．
8．（2024秋 沙坪坝区校级期末）一次函数y＝kx与的图象如图所示，观察图象直接写出关于x，y的方程组的解是 ．
9．（2024 昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
10．（2022秋 丛台区校级期末）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 贵州期末）如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．
（1）求m的值及l2的关系式；
（2）方程组的解为 ；
（3）求S△AOC﹣S△BOC的值．
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）．
（1）求点P坐标；
（2）一元一次方程mx+n＝0的解为 ；
（3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标．
13．（2024秋 金凤区校级期末）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求直线l1对应的表达式；
（3）求△ABP的面积．
14．（2022春 衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
15．（2021 杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
期末专项培优 实践与探索（函数及图象）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 瑶海区期末）已知一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】点（2，3）是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式；即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于x、y的二元一次方程组解即可求出．
【解答】解：∵函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．（2024秋 肥西县期末）如图，在平面直角坐标系中，∠MON＝60°，射线OB与x轴正半轴夹角为15°，点A和点B分别为射线OM，ON上的动点，∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（ ）上．
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x﹣1 D．y＝x+2
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；角平分线的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接OP，过P作PE⊥OM于E，PF⊥AB于F，PH⊥ON于H，根据角平分线的性质得到PE＝PF，PF＝PH，求得PE＝PH，推出OP平分∠MON，得到∠PON∠MON＝30°，于是得到结论．
【解答】解：连接OP，过P作PE⊥OM于E，PF⊥AB于F，PH⊥ON于H，
∵∠MAB和∠NBA的平分线交于点P，
∴PE＝PF，PF＝PH，
∴PE＝PH，
∴OP平分∠MON，
∴∠PON∠MON＝30°，
∵射线OB与x轴正半轴夹角为15°，
∴射线OP与x轴正半轴夹角为45°，
∴OP是第一象限角的平分线，
∴点P一定在直线方程y＝x上，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024秋 温江区期末）已知直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，则方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系求解即可．
【解答】解：∵直线y＝3x﹣3与直线交点的坐标为，
∴方程组，
即方程组的解是，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
4．（2024 兴庆区模拟）在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知20℃时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y关于x的函数关系式是（ ）
A．y＝0.36x B．y＝36x C． D．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；一次函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】直接利用：，进而得出y与x之间的关系．
【解答】解：由题意可得：，
故y＝0.36x．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及反比例函数的应用，正确运用已知关系式是解题关键．
5．（2020 莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v B．v+t＝480 C．v D．v
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】模型思想．
【答案】A
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．
【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 句容市期末）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：把x＝1，y＝a代入2x﹣y+1＝0得2﹣a+1＝0，
∴a＝3，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
7．（2024秋 太原期末）已知二元一次方程组的解是，由此可知相应的正比例函数y＝2x与一次函数 y＝3x﹣1 图象的交点坐标为（1，2）．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；推理能力．
【答案】y＝3x﹣1．
【分析】任何一个二元一次方程都可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标的值．
【解答】解：∵二元一次方程组的解是，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标，
∴一次函数y＝3x﹣1和正比例函数y＝2x图象的交点坐标是（1，2），
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，掌握满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解决问题的关键．
8．（2024秋 沙坪坝区校级期末）一次函数y＝kx与的图象如图所示，观察图象直接写出关于x，y的方程组的解是 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】．
【分析】方程组的解就是两函数图象的交点
【解答】解：∵一次函数y＝kx与的图象交于点（﹣4，﹣2），
∴关于x，y的方程组的解是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
9．（2024 昭平县三模）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300
∴y，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y．
故答案为：y．
【点评】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式的知识点，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
10．（2022秋 丛台区校级期末）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
y（单位：度） 100 200 400 500 …
x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 …
则y关于x的函数关系式是 y ．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y，再代入一对x、y的值可得k的值，进而可得答案．
【解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y．
故答案为：y．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如y（k≠0）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 贵州期末）如图，一次函数的图象l1：yx+5分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．
（1）求m的值及l2的关系式；
（2）方程组的解为 ；
（3）求S△AOC﹣S△BOC的值．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）m，l2的解析式为yx；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）根据C点的坐标即可求解；
（3）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数yx+5，
可得，m+5，解得m，
∴C（，）．
设l2的解析式为y＝ax，
将点C（，）代入，
得a，解得a，
∴l2的解析式为yx；
（2）∵正比例函数的图象l2与l1交于点C（，），
∴方程组的解为，
故答案为：；
（3）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，
在yx+5中，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想．
12．（2024秋 城关区校级期末）如图，直线y＝2x+1与直线y＝mx+n相交于点P（1，b），且两直线分别与x轴分别交于A，B两点，且点B坐标为（4，0）．
（1）求点P坐标；
（2）一元一次方程mx+n＝0的解为 x＝4 ；
（3）若直线y＝2x+1上有一点Q，使得S△ABP，求点Q的坐标．
【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）（1，3）；
（2）x＝4；
（3）（，6）或（，﹣6）．
【分析】（1）把P（1，b）代入y＝2x+1求出b的值，从而得到P点坐标；
（2）设Q（t，2t+1），先确定A（，0），再利用三角形面积公式得到（4）×3（4）×|2t+1|，然后解方程求出t，从而得到∴点的坐标．
【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝2x+1得b＝2×1+1＝3，
∴点P的坐标为（1，3）；
（2）∵直线y＝mx+n与x轴交点B（4，0），
∴一元一次方程mx+n＝0的解为x＝4；
故答案为：x＝4；
（3）设Q（t，2t+1），
当y＝0时，2x+1＝0，
解得x，
∴A（，0），
∵S△ABP，
∴（4）×3（4）×|2t+1|，
解得t或t，
∴Q点的坐标为（，6）或（，﹣6）．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
13．（2024秋 金凤区校级期末）如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．
（1）直接写出方程组的解；
（2）求直线l1对应的表达式；
（3）求△ABP的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）3．
【分析】（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2，求得P（﹣1，2），于是得到结论；
（2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b解方程组得到直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，求得B（1，0），根据三角形的面积公式得到△ABP的面积3×2＝3．
【解答】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得y＝2，
∴P（﹣1，2），
∴方程组的解为；
（2）把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l1对应的表达式为y＝2x+4；
（3）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，
∴B（1，0），
∴△ABP的面积3×2＝3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
14．（2022春 衡阳县期中）如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；不等式的解集．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y关于x的函数表达式为y（x≥5）；
（2）共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y，再结合墙长为6m，即可得出x≥5；
（2）由x，y均为整数，x≥5，且y，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案．
【解答】解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y．
又∵墙长为6m，
∴6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y（x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值．
15．（2021 杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【专题】跨学科．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把V＝1代入（1）得到的函数解析式，可得P；
（3）把P＝140代入得到V即可．
【解答】解：（1）设P，
由题意知，
所以k＝96，
故P；
（2）当V＝1m3时，P96（kpa）；
（3）当P＝140kPa时，V0.69（m3）．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
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