方程与不等式-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2023七下·东莞期末）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·白云模拟）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2025·叙州模拟）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（ ）
A．8组 B．9组 C．10组 D．11组
4．（2025·南山模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是
5．（2025·宁远模拟）在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（ ）
①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
二、填空题
7．（2024·连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
8．（2025·崇州模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则（a-2）2-a（1-b）的值为 .
9．（2022八下·金华期中）对于三个数，我们规定用表示这三个数的平均数，用示这三个数中最小的数.例如：，，如果，那么x= .
10．（2025·崇州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，根据题意列出方程组为 ．
11．（2025·湖南模拟）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，应用：已知，且，则的值为 ．
12．（2025·天心模拟）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，)
卡片编号
两数的和
三、计算题
13．（广西壮族自治区梧州市2025年初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题）解下列方程或方程组：
（1）
（2）
14．（2020八上·越城期末）解不等式组
15．（2025·福田模拟）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
四、解答题
16．（2025·潮阳模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
17．（2025·杭州模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
18．（2025·成都模拟）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用）
（1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？
（2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论：
①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半；
②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的；
为保证型家用电车的高端定位，求的最大值．
19．（2025·中山模拟）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，．
（1）理解应用：方程的解为：______，______；
（2）知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值．
五、阅读理解题
20．（2025·内江模拟）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，
则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______．
（2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2-3b.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
3．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
5．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题
6．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
7．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
8．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴a2-5a-2=0，ab=-2，
∴a2=5a+2，
∴(a-2)2-a(1-b)=a2-4a+4-a+ab=a2-5a+4-2=5a+2-5a+4-2=4
故答案为：4.
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)求出a+b和ab的值，然后将所求表达式展开并化简，最后代入已知值计算.
9．【答案】或
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
当时，，
∴，则，，符合题意；
当时，，
∴，则，，不符合题意；
当时，，
∴，则，，符合题意；
综上所示，如果，那么的值为或.
故答案为：或.
【分析】根据定义的新运算可得M{3，2x+1，4x-1}=2x+1，然后分min{2，-x+3，5x}=2或-x+3或5x，求出x的值，据此解答.
10．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】根据原价列方程，再根据互换后的总价列方程即可.
11．【答案】
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴=2023
故答案为：2023.
【分析】先根据等式求出a的取值范围为，然后代入计算解题.
12．【答案】
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以，且，
所以卡片上的数最大，
故答案为：．
【分析】由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论．
13．【答案】（1），
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
14．【答案】解： ，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解为：1≤x＜10
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集.
15．【答案】，
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
16．【答案】（1）该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张；
（2）最多生产熟宣2000张．
【知识点】一元一次不等式的应用
17．【答案】解：有错误；
由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集
18．【答案】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”列关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再根据不等关系“型家用电车落地单价≥型家用电车落地单价的”列关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
19．【答案】（1）3，
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验；估计方程的解
20．【答案】（1）3，
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4）解：，，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后通分化，整体代入计算解题；
（3）由题可得、是方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入分式解答即可；
（4）由题可得、是方程的两实数根；利用根的判别式可得，求出c的取值范围解题即可．
（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
（2）一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4），，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
1 / 1方程与不等式-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2023七下·东莞期末）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2-3b.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．（2025·白云模拟）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
3．（2025·叙州模拟）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（ ）
A．8组 B．9组 C．10组 D．11组
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
4．（2025·南山模拟）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （ ）
A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形
C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理
5．（2025·宁远模拟）在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（ ）
①点为“友好点”；②若点为“友好点”，则或；③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”；④若点为“友好点”，且x与y均为整数，则点D的个数为4个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题
6．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
二、填空题
7．（2024·连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
8．（2025·崇州模拟）已知a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则（a-2）2-a（1-b）的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，
∴a2-5a-2=0，ab=-2，
∴a2=5a+2，
∴(a-2)2-a(1-b)=a2-4a+4-a+ab=a2-5a+4-2=5a+2-5a+4-2=4
故答案为：4.
【分析】首先利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)求出a+b和ab的值，然后将所求表达式展开并化简，最后代入已知值计算.
9．（2022八下·金华期中）对于三个数，我们规定用表示这三个数的平均数，用示这三个数中最小的数.例如：，，如果，那么x= .
【答案】或
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
当时，，
∴，则，，符合题意；
当时，，
∴，则，，不符合题意；
当时，，
∴，则，，符合题意；
综上所示，如果，那么的值为或.
故答案为：或.
【分析】根据定义的新运算可得M{3，2x+1，4x-1}=2x+1，然后分min{2，-x+3，5x}=2或-x+3或5x，求出x的值，据此解答.
10．（2025·崇州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，根据题意列出方程组为 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】根据原价列方程，再根据互换后的总价列方程即可.
11．（2025·湖南模拟）阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，应用：已知，且，则的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴=2023
故答案为：2023.
【分析】先根据等式求出a的取值范围为，然后代入计算解题.
12．（2025·天心模拟）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，..，，，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为，，，，，张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 (填，，，，)
卡片编号
两数的和
【答案】
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以，且，
所以卡片上的数最大，
故答案为：．
【分析】由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论．
三、计算题
13．（广西壮族自治区梧州市2025年初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题）解下列方程或方程组：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
14．（2020八上·越城期末）解不等式组
【答案】解： ，
解①得：x＜10，
解②得：1≤x，
故不等式组的解为：1≤x＜10
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集.
15．（2025·福田模拟）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
【答案】，
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
四、解答题
16．（2025·潮阳模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
【答案】（1）该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张；
（2）最多生产熟宣2000张．
【知识点】一元一次不等式的应用
17．（2025·杭州模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：有错误；
由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集
18．（2025·成都模拟）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用）
（1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？
（2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论：
①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半；
②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的；
为保证型家用电车的高端定位，求的最大值．
【答案】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”列关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再根据不等关系“型家用电车落地单价≥型家用电车落地单价的”列关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，
由题意得：，
解得：，
则
答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
19．（2025·中山模拟）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，．
（1）理解应用：方程的解为：______，______；
（2）知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值．
【答案】（1）3，
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验；估计方程的解
五、阅读理解题
20．（2025·内江模拟）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，
则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则______，______．
（2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）类比应用：已知实数s、t满足，，且，求的值．
（4）思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
【答案】（1）3，
（2）解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4）解：，，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后通分化，整体代入计算解题；
（3）由题可得、是方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入分式解答即可；
（4）由题可得、是方程的两实数根；利用根的判别式可得，求出c的取值范围解题即可．
（1）解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：3，；
（2）一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
；
（4），，
将、看作是方程的两实数根．
，即，
而，则，
，
，
，
即，
的最大值为7．
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