函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·广西壮族自治区模拟）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象经过点（1，﹣2）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）都在图象上，则y1＜y2
2．（2025·龙华模拟）甲、乙两地相距约，一辆汽车由甲地向乙地匀速行驶，所用时间与行驶速度之间的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
3．（2024九上·四平期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·北京市开学考）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
5．（2024九上·长沙月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
6．（2024九下·岚山模拟）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．（2019八下·北京期中）函数中自变量x的取值范围是 ．
8．（2024九下·礼泉模拟）如图，是反比例函数（为常数且，）的图象的一部分，则的值可能是 ．（只写一个）
9．（2024·上虞模拟）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
10．（2024九下·湖南模拟）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高．
11．（2024·柳州模拟）双曲线和如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点、点，与分别交于点、点，若四边形的面积为4，则的值为 ．
12．（2024九下·闵行模拟）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
三、解答题
13．（2024九上·温州月考）已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
（1）求二次函数的表达式；
（2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
14．（2024九下·曲靖模拟）每年4月 23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示：
（1）请求出当和 时，y与x的函数关系式；
（2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？
15．（2024九上·济宁期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
16．（2024九下·福田模拟）某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍．
（1）求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算控制在3万元以内．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？
17．（2024·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，．
①求的面积；
②当是直角三角形时，求点M的坐标．
18．（2024九上·张家界月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标．
19．（2024九上·官渡模拟）年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元．
（1）该物流公司月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？
四、实践探究题
20．（2024·宝安模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k＝﹣2＜0，
∴ 它的图象的两支分布在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、∵ x＝1 时，y=2，
∴ 点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
C、k＝﹣2＜0，当x＞0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
D、点A（﹣2，y1）、B（1、y2）都在反比例函数y的图象上，
∴ y1＝1，y2＝﹣2，
∴ y1＞y2，故本选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数y（k≠0）中，当k＞0时，它的图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，它的图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、C选项；根据反比例函数图象上点的坐标特点，分别令x=1与x=-2，算出对应的函数值，即可判断B、D选项.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为，
所以函数图象大致是C．
故答案为：C．
【分析】根据时间=路程÷速度可得，结合反比例函数的图象性质及现实意义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：A．
【分析】先根据反比例函数值的几何意义，得到，，再利用代数求解．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
7．【答案】x≥﹣5
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+5≥0，
解得x≥﹣5．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：x+5≥0，解不等式求x的范围．
8．【答案】-6（答案不唯一）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，
∴，
∴的值可以为-6．（答案不唯一）
故答案为：-6.
【分析】由于反比例函数（为常数且，） 的图象的一支在第二象限，可得比例系数k+3＜0①，然后根据反比例函数系数的几何意义可得k+3＞-4②，联立①②组成的不等式组，求解得出k的取值范围，即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵，且a=，
∴抛物线的开口向下，且二次函数有最大值，
∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高，
∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高，
故答案为：．
【分析】根据篮球距离地面最高可知，此时篮球处于二次函数的顶点处，把函数关系式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解．
11．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，，
在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
【分析】由反比例函数系数k的几何意义得到，，，然后利用解题即可．
12．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
13．【答案】（1）
（2）m的值为
（3）的值为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
14．【答案】（1）解：当时，
设，把代入得，
∴；
当时，
设，把和代入得，
，
解得
所以与的关系式为；
（2）解：设总费用为元，由题意得，，
当时，
，
∵，随的增大而增大，
∴当时，；
∴当时，利润最大是元.此时乙种图书是本，
答：应购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意分类讨论，进而运用待定系数法即可求出一次函数关系式；
（2）设总费用为元，根据题意即可得到关于的关系式，再根据一次函数的性质即可求解。
15．【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
（2）点的坐标为
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
16．【答案】（1）解：设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：B等级茶叶每盒125元，则A等级茶叶每盒375元．
（2）解：设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，
根据题意，得，
∵购茶的总预算控制在3万元以内，
∴，
解得，
根据，得y随x的增大而增大，
故时，利润最大，最大为（元）．
此时，
答：购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合购茶的总预算控制在3万元以内，建立不等式，解不等式可得m范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
17．【答案】（1）
（2）①4；②或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-线段周长问题
19．【答案】（1）解：设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得，
解得，
答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨；
（2）解：设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，
根据题意，得，
解得．
设该物流公司月份共收到运费元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：该物流公司月份最多将收到运费元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，根据题意列出一元一次不等式组，解得，设该物流公司月份共收到运费元，根据一次函数的性质，即可求出答案.
（1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得，
解得，
答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨；
（2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，
根据题意，得，
解得．
设该物流公司月份共收到运费元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：该物流公司月份最多将收到运费元．
20．【答案】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立直角坐标系，设该抛物线函数表达式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：=从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意即可求出答案.
1 / 1函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·广西壮族自治区模拟）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象经过点（1，﹣2）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1）、B（1，y2）都在图象上，则y1＜y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k＝﹣2＜0，
∴ 它的图象的两支分布在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、∵ x＝1 时，y=2，
∴ 点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
C、k＝﹣2＜0，当x＞0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；
D、点A（﹣2，y1）、B（1、y2）都在反比例函数y的图象上，
∴ y1＝1，y2＝﹣2，
∴ y1＞y2，故本选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数y（k≠0）中，当k＞0时，它的图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，它的图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、C选项；根据反比例函数图象上点的坐标特点，分别令x=1与x=-2，算出对应的函数值，即可判断B、D选项.
2．（2025·龙华模拟）甲、乙两地相距约，一辆汽车由甲地向乙地匀速行驶，所用时间与行驶速度之间的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为，
所以函数图象大致是C．
故答案为：C．
【分析】根据时间=路程÷速度可得，结合反比例函数的图象性质及现实意义即可求出答案.
3．（2024九上·四平期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．（2024九上·北京市开学考）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024九上·长沙月考）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：A．
【分析】先根据反比例函数值的几何意义，得到，，再利用代数求解．
6．（2024九下·岚山模拟）已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
二、填空题
7．（2019八下·北京期中）函数中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣5
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+5≥0，
解得x≥﹣5．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：x+5≥0，解不等式求x的范围．
8．（2024九下·礼泉模拟）如图，是反比例函数（为常数且，）的图象的一部分，则的值可能是 ．（只写一个）
【答案】-6（答案不唯一）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，
∴，
∴的值可以为-6．（答案不唯一）
故答案为：-6.
【分析】由于反比例函数（为常数且，） 的图象的一支在第二象限，可得比例系数k+3＜0①，然后根据反比例函数系数的几何意义可得k+3＞-4②，联立①②组成的不等式组，求解得出k的取值范围，即可得出答案.
9．（2024·上虞模拟）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】函数解析式；用关系式表示变量间的关系
10．（2024九下·湖南模拟）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵，且a=，
∴抛物线的开口向下，且二次函数有最大值，
∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高，
∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高，
故答案为：．
【分析】根据篮球距离地面最高可知，此时篮球处于二次函数的顶点处，把函数关系式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解．
11．（2024·柳州模拟）双曲线和如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点、点，与分别交于点、点，若四边形的面积为4，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，，
在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
【分析】由反比例函数系数k的几何意义得到，，，然后利用解题即可．
12．（2024九下·闵行模拟）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
三、解答题
13．（2024九上·温州月考）已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
（1）求二次函数的表达式；
（2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
【答案】（1）
（2）m的值为
（3）的值为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
14．（2024九下·曲靖模拟）每年4月 23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示：
（1）请求出当和 时，y与x的函数关系式；
（2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：当时，
设，把代入得，
∴；
当时，
设，把和代入得，
，
解得
所以与的关系式为；
（2）解：设总费用为元，由题意得，，
当时，
，
∵，随的增大而增大，
∴当时，；
∴当时，利润最大是元.此时乙种图书是本，
答：应购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元.
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意分类讨论，进而运用待定系数法即可求出一次函数关系式；
（2）设总费用为元，根据题意即可得到关于的关系式，再根据一次函数的性质即可求解。
15．（2024九上·济宁期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
（2）点的坐标为
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
16．（2024九下·福田模拟）某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍．
（1）求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算控制在3万元以内．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：B等级茶叶每盒125元，则A等级茶叶每盒375元．
（2）解：设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，
根据题意，得，
∵购茶的总预算控制在3万元以内，
∴，
解得，
根据，得y随x的增大而增大，
故时，利润最大，最大为（元）．
此时，
答：购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，根据题意列出函数关系式，结合购茶的总预算控制在3万元以内，建立不等式，解不等式可得m范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
17．（2024·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，将直线向上平移2个单位长度后得到新的直线，点M在直线上，设点M的横坐标为．连接，．
①求的面积；
②当是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）①4；②或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
18．（2024九上·张家界月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求P点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-线段周长问题
19．（2024九上·官渡模拟）年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元．
（1）该物流公司月份运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？
【答案】（1）解：设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得，
解得，
答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨；
（2）解：设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，
根据题意，得，
解得．
设该物流公司月份共收到运费元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：该物流公司月份最多将收到运费元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，根据题意列出一元一次不等式组，解得，设该物流公司月份共收到运费元，根据一次函数的性质，即可求出答案.
（1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，
依题意得，
解得，
答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨；
（2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，
根据题意，得，
解得．
设该物流公司月份共收到运费元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：该物流公司月份最多将收到运费元．
四、实践探究题
20．（2024·宝安模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立直角坐标系，设该抛物线函数表达式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：=从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意即可求出答案.
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