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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第10章 二元一次方程组
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：方程组的概念与构成
易错点：
学生可能混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，忘记方程组是由至少两个方程组成的。
在列出方程组时，可能会遗漏某个方程或错误地设置未知数。
解题技巧：
明确二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的线性方程组成的。
在列出方程组时，要仔细审题，确保所有条件都被转化为方程，并且未知数设置正确。
易错知识点梳理02：方程组的解法
代入法易错点：
在选择一个方程解出一个未知数时，可能会选择复杂的方程，导致后续计算困难。
代入后得到的方程可能不是一元一次方程，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。
解题技巧：
优先选择容易解出一个未知数的方程。
代入后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。
加减法（消元法）易错点：
在选择两个方程进行加减消元时，可能会选择系数不成比例的未知数项，导致无法消元。
消元后得到的方程可能无解或有多解，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。
解题技巧：
选择两个方程中未知数项系数成比例的项进行加减消元。
消元后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。如果无解或多解，应检查原方程组是否矛盾或有无穷多解。
易错知识点梳理03：方程组的解的应用
易错点：
在将方程组的解应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解不符合实际情况。
在求解实际问题时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。
解题技巧：
仔细审题，理解问题的实际背景，确保解符合实际情况。
在求解实际问题时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。
易错知识点梳理04：方程组的解的检验
易错点：
在检验方程组的解时，可能会遗漏某个方程或错误地代入解进行检验。
检验后可能会得出错误的结论，即认为解不正确或方程组无解。
解题技巧：
将求得的解代入原方程组中的每个方程进行检验。
如果代入后每个方程都成立，则解是正确的；否则，解是错误的或方程组无解。在检验过程中要仔细计算并核对结果。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2021七下·五华期末）《算法统宗》中有如下问题：“哑巴来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问肉数和肉价各是多少？设肉价为文/两，哑巴所带的钱数为文，则可建立方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，根据题意，
得
故答案为：B．
【思路引导】找等量关系式，列方程组解应用题。 买一斤（16两）还差二十五文钱 ，列方程16x=y-25； 买八两多十五文钱 ，列方程8x=y+15。
2．（2分）（2021七下·龙凤期末）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【解析】解：∵当k=5时，方程组为，此时方程组无解；∴①正确；
∵解方程组得：，
把x=，y=代入6x+15y=16，方程左右两边相等，∴②正确；
∵解方程组得：，
又∵k为整数，
∴x、y不能均为整数，∴③正确．
故选：A．
【思路引导】①将k=5代入，得到方程组，求解即可做出判断；
②解方程组得：，把x=，y=代入6x+15y=16，即可做出判断；
③解方程组得： ，根据k为整数即可作出判断．
3．（2分）（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【完整解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【思路引导】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
4．（2分）（2024七下·鄞州期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
【答案】A
5．（2分）（2020七下·鼓楼期末）一辆汽车从 地驶往 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度为 ，汽车从 地到 地一共行驶了 .设普通公路长、高速公路长分别为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：
故答案为：C.
【思路引导】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的 ，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
6．（2分）（2024七下·和平期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
7．（2分）（2024七上·全椒期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【思路引导】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
8．（2分）（2023七下·五莲期末）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【完整解答】
解：
由 得，2a+b=a+1，∴a+b=1 ①
由 得，，整理得，3a+b=-2 ②
由①②解得，a=-1.5，b=2.5
∴2a+b=-0.5
故答案为：C.
【思路引导】先化简两个等式，再组成方程组求出a，b，从而求出2a+b。也可以通过(①+②)÷2求出2a+b.
9．（2分）（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【完整解答】解：∵，，，
∴，解得：，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
整理得：，
∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
上式对任意实数x，y均成立，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：A.
【思路引导】先根据新定义运算法则，列出二元一次方程，解方程求出a和b的值，即可得出，再根据运算法则逐个计算，即可求解.
10．（2分）（2024七下·重庆市期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【答案】A
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024八上·河源期末）写出一个解为 的二元一次方程组 ．
【答案】
【完整解答】解：由1+2=3，1﹣2=﹣1．列出方程组得 ．
故答案为： ．（答案不唯一）．
【思路引导】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时应先围绕 列一组算式，然后用x，y代换即可
12．（2分）（2024七下·大兴期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ；
【答案】
【完整解答】解：由用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可列方程 ；
由将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，可列方程 ；
所以可列方程组 .
13．（2分）（2021七下·拱墅期末）若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组 的解是 .（用含m，n的代数式表示）.
【答案】
【完整解答】解：将方程组 整理，得：
，
根据题意，得：
解得： ，
故答案为： .
【思路引导】将方程组 变形为 ，根据题中方程组的解，可得，求出x、y的值即可.
14．（2分）（2023七下·泌阳期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
【答案】5
【完整解答】由题意得：，
整理得： ，
故答案为：5．
【思路引导】
利用大长方形的长的两种表示形式建立等式即可，即．
15．（2分）（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【完整解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【思路引导】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
16．（2分）（2025八上·武冈期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜3
【完整解答】解：方程组
①+②得：3x+3y=3-m，
即：，
又∵x+y＞0，
∴＞0，
解得：m＜3.
故答案为：m＜3.
【思路引导】
观察方程组以及 x+y＞0 把方程组中的方程①与方程②相加，即可得出x+y的表达式，再代入x+y＞0得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
17．（2分）（2024七下·康巴什期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种 ．
【答案】3
18．（2分）（2024七下·荆门期末）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 cm；
【答案】75
19．（2分）（2024七下·南通期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【答案】26
20．（2分）（2024七下·宝安期末）魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 ．
【答案】7
【完整解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y根据题意得，
∴
∴
∵x，y都是之间的数
∴
解得
∴
∴观众选择的第一个数是7．
【思路引导】根据题意分析计算解方程即可，即将文字信息利用代数式表示建立等量关系，最后利用个位数整数解进行不等式分析即可得出结果.
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·西湖期末）（1）解方程组
（2）计算：．
【答案】解：（1），
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）原式．
【思路引导】（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据同分母分式的加法法则：分母不变，分子相加，然后约分解题即可．
22．（6分）（2024七下·湛江期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）（3分）请你用上述方法解方程组．
（2）（3分）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
【思路引导】（1）根据一元二次方程组的解法，结合“加减消元法”，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”，求得方程组的解，验证即可得到答案．
（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
23．（8分）（2023七下·杭州期末）为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）（2分）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）（3分）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）（3分）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元．
（2）解：
需购买单价为6元的N95口罩m个，需购买医用口罩和N95口罩共1000个，∴购买医用口罩个，
依题意得：，
化简得：．
（3）解：由（2）可知∵m、n均为正整数，且，
∴m为40的倍数，
∴m为80或120或160，
答： N95口罩的个数为80或120或160.
【思路引导】（1）先分别设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据“用3500元购买医用口罩和消毒液．若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则还缺100元钱：若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组并求解即可；
（2）由于消毒液共n瓶，N95口罩共m个，则普通医用口罩共个，则由等量关系“总费用＝N95口罩费用+普通医用口罩费用+消毒液费用 ”即可得出关于m，n的二元一次方程，此时把m看作常数，解关于n的一元一次方程即可．
（3）由于“m，n均为正整数，且”，求关于n的一元一次方程的正整数解即可得出m的值．
24．（8分）（2024七下·南昌期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
（1）（2分）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）（3分）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）（3分）售出一部甲种型号手机，利润率为15%，乙型号手机的售价为1400元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【答案】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为2000元，乙型号手机的每部进价为1000元.
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：4≤a≤6，
∵a为整数，
∴a=4或5或6，
则进货方案有如下三种：
方案一：购进甲型号手机4部，购进乙型号手机16部；
方案二：购进甲型号手机5部，购进乙型号手机15部；
方案三：购进甲型号手机6部，购进乙型号手机14部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
当时，W的值与a的取值无关，
故（2）中的所有方案获利相同．
【思路引导】（1）设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据“ 购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据“ 预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台 ”列出不等式组，再求解即可；
（3）设总获利W元，购进甲型号手机a台，列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为2000元，乙型号手机的每部进价为1000元；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：4≤a≤6，
∵a为整数，
∴a=4或5或6，
则进货方案有如下三种：
方案一：购进甲型号手机4部，购进乙型号手机16部；
方案二：购进甲型号手机5部，购进乙型号手机15部；
方案三：购进甲型号手机6部，购进乙型号手机14部．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
，
当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
25．（8分）（2024七下·渝中期末）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）（2分）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）（3分）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）（3分）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
【答案】（1）5
（2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得：
解得：
答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券．
（3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张．
①若小丽使用A型，B型优惠券，
100a+68b=708．
化简，得，25a+17b=177．
∵a，b都为整数，且，，
∴a=3，b=6
②若小丽使用B型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵b，c都为整数，且，，
∴，．
③若小丽使用A型，C型优惠券，则．
化简得，．
∵a，c都为整数，且，，
∴无解．
答：小丽可能用了两种优惠券组合方法，
方法1：A型3张，B型6张；
方法2：B型6张，C型15张．
【完整解答】解：（1）（640-2×100-5×20）÷68=5，
∴还用了5张B型优惠券，
故答案为：5；
【思路引导】（1）用优惠的总额减去使用A、C优惠券的金额，再除以68，据此求解；
（2）基本关系：A型数量+B型数量=6，A型 优惠 金额+B型 优惠金额=536，据此列方程组求解即可；
（3）分①若小丽使用A型，B型优惠券；②若小丽使用B型，C型优惠券；③若小丽使用A型，C型优惠券三种情况讨论即可．
26．（8分）（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）（2分）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）（3分）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）（3分）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【思路引导】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
27．（8分）（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）（2分）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）（3分）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）（3分）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
28．（8分）（2024七下·甘井子期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）（2分）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）（3分）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）（3分）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】（1）最多可以购买5台A型电脑
（2）有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台
（3）该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值
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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第10章 二元一次方程组
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：方程组的概念与构成
易错点：
学生可能混淆二元一次方程与二元一次方程组的概念，忘记方程组是由至少两个方程组成的。
在列出方程组时，可能会遗漏某个方程或错误地设置未知数。
解题技巧：
明确二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的线性方程组成的。
在列出方程组时，要仔细审题，确保所有条件都被转化为方程，并且未知数设置正确。
易错知识点梳理02：方程组的解法
代入法易错点：
在选择一个方程解出一个未知数时，可能会选择复杂的方程，导致后续计算困难。
代入后得到的方程可能不是一元一次方程，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。
解题技巧：
优先选择容易解出一个未知数的方程。
代入后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。
加减法（消元法）易错点：
在选择两个方程进行加减消元时，可能会选择系数不成比例的未知数项，导致无法消元。
消元后得到的方程可能无解或有多解，或者解出的未知数不符合原方程组的条件。
解题技巧：
选择两个方程中未知数项系数成比例的项进行加减消元。
消元后得到的方程应简化为一元一次方程，并检查解是否符合原方程组的条件。如果无解或多解，应检查原方程组是否矛盾或有无穷多解。
易错知识点梳理03：方程组的解的应用
易错点：
在将方程组的解应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解不符合实际情况。
在求解实际问题时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。
解题技巧：
仔细审题，理解问题的实际背景，确保解符合实际情况。
在求解实际问题时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。
易错知识点梳理04：方程组的解的检验
易错点：
在检验方程组的解时，可能会遗漏某个方程或错误地代入解进行检验。
检验后可能会得出错误的结论，即认为解不正确或方程组无解。
解题技巧：
将求得的解代入原方程组中的每个方程进行检验。
如果代入后每个方程都成立，则解是正确的；否则，解是错误的或方程组无解。在检验过程中要仔细计算并核对结果。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2021七下·五华期末）《算法统宗》中有如下问题：“哑巴来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问肉数和肉价各是多少？设肉价为文/两，哑巴所带的钱数为文，则可建立方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2021七下·龙凤期末）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
3．（2分）（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2024七下·鄞州期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
5．（2分）（2020七下·鼓楼期末）一辆汽车从 地驶往 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度为 ，汽车从 地到 地一共行驶了 .设普通公路长、高速公路长分别为 ，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）（2024七下·和平期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2分）（2024七上·全椒期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2分）（2023七下·五莲期末）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2分）（2023七下·巴南期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．（2分）（2024七下·重庆市期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024八上·河源期末）写出一个解为 的二元一次方程组 ．
12．（2分）（2024七下·大兴期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ；
13．（2分）（2021七下·拱墅期末）若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组 的解是 .（用含m，n的代数式表示）.
14．（2分）（2023七下·泌阳期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
15．（2分）（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
16．（2分）（2025八上·武冈期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是 ．
17．（2分）（2024七下·康巴什期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，已知型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则不同的购买方案共有种 ．
18．（2分）（2024七下·荆门期末）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 cm；
19．（2分）（2024七下·南通期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
20．（2分）（2024七下·宝安期末）魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·西湖期末）（1）解方程组
计算：．
22．（6分）（2024七下·湛江期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
（1）（3分）请你用上述方法解方程组．
（2）（3分）猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
23．（8分）（2023七下·杭州期末）为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）（2分）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）（3分）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）（3分）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
24．（8分）（2024七下·南昌期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
（1）（2分）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）（3分）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）（3分）售出一部甲种型号手机，利润率为15%，乙型号手机的售价为1400元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
25．（8分）（2024七下·渝中期末）五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．
A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元．
（1）（2分）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了 张B型优惠券．
（2）（3分）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张；
（3）（3分）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程）
26．（8分）（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）（2分）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）（3分）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）（3分）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
27．（8分）（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）（2分）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）（3分）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）（3分）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
28．（8分）（2024七下·甘井子期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）（2分）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）（3分）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）（3分）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
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