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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第8章 整式乘法
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：单项式乘单项式
易错点：
数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。
字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。
符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。
解题技巧：
明确单项式的结构，即系数和字母部分。
分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。
易错知识点梳理02：单项式乘多项式
易错点：
分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。
符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。
解题技巧：
使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。
注意保持每一项的符号正确。
易错知识点梳理03：多项式乘多项式
易错点：
乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。
乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。
合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。
解题技巧：
熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。
按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。
在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。
易错知识点梳理04：乘法公式的应用
易错点：
公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。
公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。
解题技巧：
熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。
在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。
易错知识点梳理05：符号和指数的处理
易错点：
符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。
指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。
解题技巧：
熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。
熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2022七下·清苑期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①（2a+b）（m+n）； ②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）； ④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【完整解答】①（2a+b）（m+n），本选项正确；②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；④2am+2an+bm+bn，本选项正确，则正确的有①②③④．
故选D．
【思路引导】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．
2．（2分）（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【完整解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【思路引导】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
3．（2分）（2024七下·修水期末）已知 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【完整解答】解：∵，
∴.
故答案为：D.
【思路引导】根据完全平方公式恒等变形可得，进而整体代入计算可得答案.
4．（2分）（2025八上·赣州期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故答案为：B．
【思路引导】利用平方差公式的计算方法逐项判定即可。
5．（2分）（2024七下·宿城期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】A
【完整解答】解：正方形的边长为，，，
，
两个阴影部分都是正方形且面积和为60，
重叠部分的面积为
故答案为：A．
【思路引导】根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可求出答案.
6．（2分）（2024七下·北碚期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：A、，计算错误，故选项A不符合题意；
B、，计算错误，故选项B不符合题意；
C、，计算正确，故选项C符合题意；
D、，原计算错误，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【思路引导】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据平方差公式可判断B；根据幂的乘方与积的乘方法则可判断C；根据完全平方公式可判断D．
7．（2分）（2024七下·九江）如图，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片再沿着图中的虚线剪开，把剪成的两部分和拼成如图的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】由图1知(1)和(2)的面积为a2-b2，图2中(1)和(2)的面积为(a+b)(a-b)，故
答案：B.
【思路引导】分别计算图1和图2中的(1)和(2)的面积，即可得平方差公式.
8．（2分）（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【思路引导】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
9．（2分）（2024七下·重庆市期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；
②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；
③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
10．（2分）（2024七下·安徽期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【完整解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【思路引导】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
12．（2分）（2025八上·耒阳期末）若 是完全平方式，则k的值为 。
【答案】
【完整解答】∵ 是一个完全平方式，
∴k＝±1×2×4＝±8，
故填： ．
【思路引导】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值．
13．（2分）（2024八上·廉江期末）对于任意实数规定的意义是．则当时， ．
【答案】1
【完整解答】解：∵，
∴
=（x+1）（x-1）-3x（x-2）
=x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1，
∵x2-3x+1=0，
∴x2-3x=-1，
原式=-2×（-1）-1=1，
故答案为：1．
【思路引导】由得，根据规定可列算式（x+1）（x-1）-3x（x-2），化简后把x2-3x的值代入计算即可求解．
14．（2分）（2023七下·鹤壁期末）若x+y﹣1＝0，则＝ ．
【答案】
【完整解答】解：原式=
，
∵x+y-1=0，
∴x+y=1，
∴原式=．
故答案是：．
【思路引导】将变形为，然后整体代换计算即可．
15．（2分）（2024七下·田阳月考）中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》一书中， 记载了一个用数字排成的三角形，这种数字三角形就是著名的 "杨辉三角"。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一， 它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。如图所示第 0 行 1 的杨辉三角中， 从第 2 行开始， 每一行除 1 以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和。已知： ， 所以 开展式中最中间的式子是 ； 已知 ， 所以 开展式中最中间的式子是 和 ， 若把 展开后， 最中间的式子 。
【答案】
【完整解答】解：根据题意可写出：，
∴开展式中最中间的式子是．
故答案为：．
【思路引导】可以发现已知的、的展开式中各项得出字母是按着a的降幂排列，并且各项系数与杨辉三角的规律相同，由杨辉三角的规律即可写出 的展开式，从而确定最中间的式子.
16．（2分）（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
【答案】3
【完整解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【思路引导】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
17．（2分）（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
【答案】
18．（2分）（2024七下·九江）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 ．
【答案】20a3b3
19．（2分）（2024七下·西安期末）（1）若多项式能被和整除，则_________．
（2）如图，在中，，为内一点，使得，，则的度数为_________．
【答案】（1）；（2）
20．（2分）（2023七下·芷江期末）计算： ．
【答案】
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·深圳期末）计算：
（1）（3分）
（2）（3分）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【思路引导】（1）根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可
22．（6分）（2024七下·辽阳期末）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数）
（1）（3分）求，的值；
（2）（3分）先化简，再求值：．（，利用（）结果）
【答案】（1）解：
，
∵展开的结果中，不含和项，
∴，，
解得：，.
（2）解：
，
将，代入得，
原式．
【思路引导】（1）先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再结合“ 不含和项 ”可得，，再求出m、n的值即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再将m、n的值代入计算即可.
（1）解：
，
∵展开的结果中，不含和项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
将，代入得，
原式．
23．（8分）（2025八上·衡山期末）小聪和小明同做一道题：已知，求，的值．
小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值．
（1）（4分）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？
（2）（4分）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值．
【答案】（1）解：小聪的思路：，∴，
∴，；
小明的思路：
把代入可得：，
∴，
把代入可得：，
∴
把代入可得：，
∴；
发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的；
（2）解：选用小明的思路∵，
∴把代入可得：，
∴，
把代入可得：，
∴，
∴把代入可得：，
∴．
【思路引导】本题考查了代数式的运算，灵活利用题目在所给的信息是解题的关键．
（1）一是利用多项式的乘法公式再结合等式的概念，二是利用等式的概念取特殊值的方法，所以都是正确的；
（2）利用小明的思路，分别给取特殊值即可．
24．（8分）（2024七下·锦江期末）如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）（2分）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）（3分）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）（3分）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
【答案】（1）
（2）4；74
（3）6
25．（8分）（2024七下·乐业期末）【综合与实践】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识与直观的几何图形相结合，从而可以帮助我们快速解题．初中数学的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【问题情境】如图1，在学习整式乘法时，我们可以根据图形的面积关系直观地推导出两数和的完全平方公式：．
【类比探究】
（1）由图2的面积可得等式：______；
【综合应用】
（2）利用（1）得到的结论，若实数x、y、z满足，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，现有边长分别为a、b的两种正方形纸片和边长为a、b的长方形纸片若干张，请完成：
①若用m张边长为a的正方形，n张边长为b的正方形，f张边长为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是______．
【答案】（1）；（2）；（3）①16；②
26．（8分）（2024七下·诸暨期末）如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）（4分）观察图形，代数式可因式分解为 ；
（2）（4分）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
【答案】（1）（2x+y)(x+y)
（2）解：观察图形，得：，；
，
∴3xy-2x2-y2=2x2-xy，
整理，得：4x2-4xy+y2=0
即(2x-y)2=0，
∴2x-y=0，
，
．
【完整解答】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为x的正方形，1块是边长为y的正方形，3块是长为y，宽为x的长方形，
∴长方形纸片的面积为：2x2+3xy+y2，
∵长方形纸片的长为：，宽为，
∴长方形纸片的面积为：（2x+y)(x+y)，
∴2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，
∴代数式2x2+3xy+y2因式分解为（2x+y)(x+y)；
故答案为：（2x+y)(x+y).
【思路引导】（1）用两种方式计算长方形纸片的面积，即可得到2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，即可求解；
（2）①根据图形的特征，直接计算即可；②根据，可得4x2-4xy+y2=0，从而得到y=2x，再代入所求的代数式，即可求解．
27．（8分）（2024七下·九江）如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）（2分）图阴影面积是 ；
（2）（3分）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）（3分）运用得到的公式，计算： ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【完整解答】解：(1)图1阴影部分的面积等于两正方形的面积之差即；
图2中阴影部分的面积为
(2)
故答案为：.
【思路引导】(1)分别利用图1和图2表示阴影部分的面积即可得乘法公式；
(2)利用平方差公式展开可消化首尾即可得结果.
28．（8分）（2023七下·凤阳期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）（2分）图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
（2）（2分）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：
（3）（2分）已知，求的值．
（4）（2分）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴①
∵，
∴②
∵①+②，得：
∴，
∴，
（4）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y
∴，
解得，
；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【完整解答】（1）根据图2中的数据可得阴影部分正方形的边长为：；
故答案为：；
（2）图1的面积为：4ab，图2中空白的面积为：（a+b）2-（a-b）2，
∵图1中的面积和图2中空白的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，
∴，
故答案为：；
【思路引导】（1）根据图中的数据直接利用线段的和差求解即可；
（2）根据不同的表达式表示同一个图形的面积的可得答案；
（3）利用完全平方公式可得，，再相加可得，最后求出即可；
（4）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据题意列出方程组求出x、y的值，再利用三角形的面积公式计算即可.
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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第8章 整式乘法
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：单项式乘单项式
易错点：
数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。
字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。
符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。
解题技巧：
明确单项式的结构，即系数和字母部分。
分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。
易错知识点梳理02：单项式乘多项式
易错点：
分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。
符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。
解题技巧：
使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。
注意保持每一项的符号正确。
易错知识点梳理03：多项式乘多项式
易错点：
乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。
乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。
合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。
解题技巧：
熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。
按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。
在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。
易错知识点梳理04：乘法公式的应用
易错点：
公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。
公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。
解题技巧：
熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。
在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。
易错知识点梳理05：符号和指数的处理
易错点：
符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。
指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。
解题技巧：
熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。
熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2022七下·清苑期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①（2a+b）（m+n）； ②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）； ④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
2．（2分）（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．（2分）（2024七下·修水期末）已知 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2分）（2025八上·赣州期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）（2024七下·宿城期末）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
6．（2分）（2024七下·北碚期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）（2024七下·九江）如图，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片再沿着图中的虚线剪开，把剪成的两部分和拼成如图的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是( )
A． B．
C． D．
8．（2分）（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2分）（2024七下·重庆市期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（ ）
①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；
②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；
③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2分）（2024七下·安徽期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
12．（2分）（2025八上·耒阳期末）若 是完全平方式，则k的值为 。
13．（2分）（2024八上·廉江期末）对于任意实数规定的意义是．则当时， ．
14．（2分）（2023七下·鹤壁期末）若x+y﹣1＝0，则＝ ．
15．（2分）（2024七下·田阳月考）中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》一书中， 记载了一个用数字排成的三角形，这种数字三角形就是著名的 "杨辉三角"。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一， 它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。如图所示第 0 行 1 的杨辉三角中， 从第 2 行开始， 每一行除 1 以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和。已知： ， 所以 开展式中最中间的式子是 ； 已知 ， 所以 开展式中最中间的式子是 和 ， 若把 展开后， 最中间的式子 。
16．（2分）（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
17．（2分）（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
18．（2分）（2024七下·九江）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 ．
19．（2分）（2024七下·西安期末）（1）若多项式能被和整除，则_________．
（2）如图，在中，，为内一点，使得，，则的度数为_________．
20．（2分）（2023七下·芷江期末）计算： ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·深圳期末）计算：
（1）（3分）
（3分）
22．（6分）（2024七下·辽阳期末）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数）
（1）（3分）求，的值；
（2）（3分）先化简，再求值：．（，利用（）结果）
23．（8分）（2025八上·衡山期末）小聪和小明同做一道题：已知，求，的值．
小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值．
（1）（4分）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？
（2）（4分）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值．
24．（8分）（2024七下·锦江期末）如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）（2分）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）（3分）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）（3分）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
25．（8分）（2024七下·乐业期末）【综合与实践】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识与直观的几何图形相结合，从而可以帮助我们快速解题．初中数学的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【问题情境】如图1，在学习整式乘法时，我们可以根据图形的面积关系直观地推导出两数和的完全平方公式：．
【类比探究】
（1）由图2的面积可得等式：______；
【综合应用】
（2）利用（1）得到的结论，若实数x、y、z满足，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，现有边长分别为a、b的两种正方形纸片和边长为a、b的长方形纸片若干张，请完成：
①若用m张边长为a的正方形，n张边长为b的正方形，f张边长为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是______．
26．（8分）（2024七下·诸暨期末）如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）（4分）观察图形，代数式可因式分解为 ；
（2）（4分）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
27．（8分）（2024七下·九江）如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）（2分）图阴影面积是 ；
（2）（3分）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）（3分）运用得到的公式，计算： ．
28．（8分）（2023七下·凤阳期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）（2分）图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
（2）（2分）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：
（3）（2分）已知，求的值．
（4）（2分）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
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