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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第11章 一元一次不等式
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：不等式的概念与性质
易错点：
学生可能对不等式与等式之间的区别理解不够深入，容易混淆两者的概念和性质。
在理解不等式的基本性质（如加法、减法、乘法、除法性质）时，可能会忽略不等式方向的变化规则，特别是在乘法或除法涉及负数时。
解题技巧：
明确不等式与等式在表示关系上的区别，不等式表示的是两个量之间的大小关系，而不是相等关系。
熟练掌握不等式的基本性质，并特别注意在乘法或除法涉及负数时，不等号的方向会发生变化。
易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法
易错点：
在移项时，可能会忘记改变不等号的方向，特别是当移项涉及负数时。
在合并同类项时，可能会计算错误，导致解出的不等式解集不正确。
在求解不等式时，可能会忽略不等式解集的表示方法，如使用数轴或区间表示法。
解题技巧：
在移项时，要特别注意不等号的方向变化，特别是当移项涉及负数时，不等号的方向要反转。
在合并同类项时，要仔细计算，确保每一项都被正确合并。
在求解不等式后，要使用数轴或区间表示法正确地表示不等式的解集。
易错知识点梳理03： 不等式的应用
易错点：
在将不等式应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解出的不等式不符合实际情况。
在设置不等式时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。
在求解实际问题时，可能会混淆不等式的解与实际问题的解，即不等式的解集可能包含不符合实际情况的解。
解题技巧：
仔细审题，理解问题的实际背景，确保设置的不等式符合实际情况。
在设置不等式时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。
在求解实际问题后，要仔细分析不等式的解集，排除不符合实际情况的解，得到实际问题的解。
易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆
易错点：
在进行不等式的运算时，可能会混淆不等式的性质与运算规则，导致运算错误。
在进行不等式的比较时，可能会忽略不等式之间的逻辑关系，导致比较结果错误。
解题技巧：
熟练掌握不等式的性质与运算规则，并特别注意在进行运算时保持不等式的方向正确。
在进行不等式的比较时，要仔细分析不等式之间的逻辑关系，确保比较结果正确。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.46
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2025八上·余杭期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2025七下·安丘期末）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2分）（2024七下·睢宁期末）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2022七下·西宁期末）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2024七下·资中期末）若是不等式的一个解，则可取的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2分）（2024七下·潮南期末）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B．24 C． D．27
7．（2分）（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2分）（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）（2024七下·秦安期末）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
10．（2分）（2024七下·广州期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③在两个连续整数和之间，那么；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若关于的不等式组无解，则；⑥若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则；其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024七下·富锦期末）定义新运算：对于任意实数a、b都有ab=a(a-b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：25=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5．那么不等式4x<13的解集为 ．
12．（2分）（2022七下·资阳期末）若不等式组 的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为 ．
13．（2分）（2024七下·秀山期末）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程为非负整数解，则满足条件的所有整数的和是为 ．
14．（2分）（2024七下·丰都县期末）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
15．（2分）（2024七下·合川期末）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ．
16．（2分）（2024七下·南通期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为 ．
17．（2分）（2024七下·南昌期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
18．（2分）（2024七下·潮阳期末）对，定义一种新的运算，规定，若关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是 ．
19．（2分）（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
20．（2分）（2024七下·仪征期末）若定义一种新的取整符号[ ]，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④方程的解有无数多个．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·高阳期末）（1）解方程组：
解不等式：
（3）解不等式组：，并写出所有整数解．
22．（6分）（2024七下·宁江期末）解不等式组：．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：……第1步
……第2步
……第3步
……第4步
任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
23．（8分）（2023七下·杭州期末）为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）（2分）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）（3分）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）（3分）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
24．（8分）（2024七下·南昌期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
（1）（2分）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）（3分）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）（3分）售出一部甲种型号手机，利润率为15%，乙型号手机的售价为1400元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
25．（8分）（2024七下·肇庆期末）学校组织学生参加“防溺水”安全知识竞赛，并为这次竞赛获奖的学生准备了羽毛球拍和乒乓球拍两种奖品（每副羽毛球拍的价格相同，每副乒乓球拍的价格相同），已知购买副羽毛球拍和副乒乓球拍共需元；每副羽毛球拍的价格是每副乒乓球拍价格的倍少元．
（1）（4分）每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格各是多少元？
（2）（4分）根据学校实际情况，需一次性购买羽毛球拍和乒乓球拍共副，但要求购买羽毛球拍和乒乓球拍的总费用不超过元，学校最多可以购买多少副羽毛球拍？
26．（8分）（2025八上·锦江期末）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）（4分）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）（4分）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
27．（8分）（2024七下·于都期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）（2分）在方程；；中，关于的不等式组的“关联方程”是 ；填序号
（2）（3分）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围；
（3）（3分）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有个整数解，试求的取值范围．
28．（8分）（2024七下·甘井子期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）（2分）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）（3分）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）（3分）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第11章 一元一次不等式
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：不等式的概念与性质
易错点：
学生可能对不等式与等式之间的区别理解不够深入，容易混淆两者的概念和性质。
在理解不等式的基本性质（如加法、减法、乘法、除法性质）时，可能会忽略不等式方向的变化规则，特别是在乘法或除法涉及负数时。
解题技巧：
明确不等式与等式在表示关系上的区别，不等式表示的是两个量之间的大小关系，而不是相等关系。
熟练掌握不等式的基本性质，并特别注意在乘法或除法涉及负数时，不等号的方向会发生变化。
易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法
易错点：
在移项时，可能会忘记改变不等号的方向，特别是当移项涉及负数时。
在合并同类项时，可能会计算错误，导致解出的不等式解集不正确。
在求解不等式时，可能会忽略不等式解集的表示方法，如使用数轴或区间表示法。
解题技巧：
在移项时，要特别注意不等号的方向变化，特别是当移项涉及负数时，不等号的方向要反转。
在合并同类项时，要仔细计算，确保每一项都被正确合并。
在求解不等式后，要使用数轴或区间表示法正确地表示不等式的解集。
易错知识点梳理03： 不等式的应用
易错点：
在将不等式应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解出的不等式不符合实际情况。
在设置不等式时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。
在求解实际问题时，可能会混淆不等式的解与实际问题的解，即不等式的解集可能包含不符合实际情况的解。
解题技巧：
仔细审题，理解问题的实际背景，确保设置的不等式符合实际情况。
在设置不等式时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。
在求解实际问题后，要仔细分析不等式的解集，排除不符合实际情况的解，得到实际问题的解。
易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆
易错点：
在进行不等式的运算时，可能会混淆不等式的性质与运算规则，导致运算错误。
在进行不等式的比较时，可能会忽略不等式之间的逻辑关系，导致比较结果错误。
解题技巧：
熟练掌握不等式的性质与运算规则，并特别注意在进行运算时保持不等式的方向正确。
在进行不等式的比较时，要仔细分析不等式之间的逻辑关系，确保比较结果正确。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.46
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2025八上·余杭期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、∵a＞b，∴a-b＞b-b，即a-b＞0，所以此选项不成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，所以此选项成立，符合题意；
C、∵a＞b，当c≠0时，c2＞0，∴ac2＞bc2，所以此选项不一定成立，不符合题意；
D、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a-1＞2b-1，所以此选项不成立，不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
2．（2分）（2025七下·安丘期末）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
3．（2分）（2024七下·睢宁期末）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．（2分）（2022七下·西宁期末）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设第六天起平均每天要读x页，由题意可得，
，
即：．
故答案为：A．
【思路引导】设第六天起平均每天要读x页，根据100页+后5天读的页数≥400，列出不等式即可.
5．（2分）（2024七下·资中期末）若是不等式的一个解，则可取的最小正整数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
6．（2分）（2024七下·潮南期末）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B．24 C． D．27
【答案】C
【完整解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
∵为整数，不等式组有且仅有5个整数解，
，
解得：，
解方程得：，
，
，
解得：，
，
∵为整数，
，
，
故答案为：C．
【思路引导】将a作为字母参数求出不等式组的解集，根据整数a满足不等式组有且仅有5个整数解，求出a的范围；将a作为字母参数求出方程的解，根据该方程的解满足求出a的范围，综上求出满足所有条件的a的公共部分，再求出a的整数解，最后求出这些整数的和即可．
7．（2分）（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【完整解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【思路引导】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
8．（2分）（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【思路引导】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
9．（2分）（2024七下·秦安期末）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B
10．（2分）（2024七下·广州期末）下列说法：①立方根等于它本身的数是1或或0；②如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行；③在两个连续整数和之间，那么；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若关于的不等式组无解，则；⑥若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则；其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【完整解答】解：，，，
立方根等于它本身的数是1或或0，故①正确，符合题意；
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行，故②错误，不符合题意；
，
，即，
，，
，故③正确，符合题意；
初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，故④错误，不符合题意；
关于的不等式组无解，
，
解得：，故⑤错误，不符合题意；
关于的不等式组有解，
，，
解得：，
每个解都不在的范围内，
当时，解得：，此时无解；
当时，解得：，故⑥错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故答案为：B．
【思路引导】利用立方根的定义及计算方法、平行线的公理及判定方法、估算无理数大小的方法及计算方法、解不等式组的方法及步骤逐项分析判断即可.
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2024七下·富锦期末）定义新运算：对于任意实数a、b都有ab=a(a-b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：25=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5．那么不等式4x<13的解集为 ．
【答案】x1
12．（2分）（2022七下·资阳期末）若不等式组 的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集为 ．
【答案】x＞
【完整解答】解：
∵解不等式①得：x≥ ，
解不等式②得：x≤﹣a，
∴不等式组的解集为： ≤x≤﹣a，
∵不等式组 的解集为3≤x≤4，
∴ =3，﹣a=4，
b=6，a=﹣4，
∴﹣4x+6＜0，
x＞ ，
故答案为：x＞
【思路引导】解不等式时注意移项要变号，同时除以负数要变号.
13．（2分）（2024七下·秀山期末）若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程为非负整数解，则满足条件的所有整数的和是为 ．
【答案】4
14．（2分）（2024七下·丰都县期末）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
【答案】
【完整解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解为：，且，
解得．
解方程得：，
因为此方程的解为正数，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围是：，
则所有符合题意的整数为：，，，
所以它们的积为：．
故答案为：．
【思路引导】根据所给不等式组只有两个整数解，得到，继而可得的取值范围，再根据所给方程的解为正数，得到，同样求得的取值范围，综合可确定符合题意的所有整数的的值，再相乘即可．
15．（2分）（2024七下·合川期末）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ．
【答案】13
【完整解答】解：∵方程的解为：，
且方程的解为负数，
∴，
解得：，
不等式组的解集为：，
∵不等式组至多有三个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
∴5＜m＜8
∴整数m的值为和，
其和为：.
故答案为：．
【思路引导】先根据不等式组有三个整数解可得m的取值范围，再根据方程的解为负数可得关于m的不等式解不等式求出m的范围，结合这两个m的范围即可求得m的值，求和即可求解．
16．（2分）（2024七下·南通期末）在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为 ．
【答案】17．（2分）（2024七下·南昌期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
【答案】0或或．
【完整解答】解：由题意得：，
即，
解此不等式组，解集为，
为非负整数，即x非负数
，
对不等式变换得：，
为非负整数，
或或，
分别求解得或或，
故答案为：0或或．
【思路引导】由的定义可得到一个关于的一元一次不等式组，解此不等式组、并对解集进行变换得，在根据x为非负整数，即可列出相关等式，即或或，分别进行求解即可．
18．（2分）（2024七下·潮阳期末）对，定义一种新的运算，规定，若关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵x＞3，
由不等式组得，
解x-1＞1，得x＞2，
解x+2≤m，得x≤m-2，
∴不等式组的解集为3＜x＜m-2，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴5≤m-2＜6，
解得7≤m＜8，
故答案为：7≤m＜8．
【思路引导】根据定义的新运算，构造关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．
19．（2分）（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【答案】5
【完整解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【思路引导】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
20．（2分）（2024七下·仪征期末）若定义一种新的取整符号[ ]，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④方程的解有无数多个．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·高阳期末）（1）解方程组：
（2）解不等式：
（3）解不等式组：，并写出所有整数解．
【答案】（1）；（2）；（3）不等式组的解集为，整数解为：
22．（6分）（2024七下·宁江期末）解不等式组：．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：……第1步
……第2步
……第3步
……第4步
任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等式两边同除，不等号的方向没变，；
任务二：
23．（8分）（2023七下·杭州期末）为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完．
（1）（2分）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）（3分）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示）
（3）（3分）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数．
【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元．
（2）解：
需购买单价为6元的N95口罩m个，需购买医用口罩和N95口罩共1000个，∴购买医用口罩个，
依题意得：，
化简得：．
（3）解：由（2）可知∵m、n均为正整数，且，
∴m为40的倍数，
∴m为80或120或160，
答： N95口罩的个数为80或120或160.
【思路引导】（1）先分别设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据“用3500元购买医用口罩和消毒液．若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则还缺100元钱：若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组并求解即可；
（2）由于消毒液共n瓶，N95口罩共m个，则普通医用口罩共个，则由等量关系“总费用＝N95口罩费用+普通医用口罩费用+消毒液费用 ”即可得出关于m，n的二元一次方程，此时把m看作常数，解关于n的一元一次方程即可．
（3）由于“m，n均为正整数，且”，求关于n的一元一次方程的正整数解即可得出m的值．
24．（8分）（2024七下·南昌期末）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元．
（1）（2分）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
（2）（3分）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）（3分）售出一部甲种型号手机，利润率为15%，乙型号手机的售价为1400元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值．
【答案】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为2000元，乙型号手机的每部进价为1000元.
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：4≤a≤6，
∵a为整数，
∴a=4或5或6，
则进货方案有如下三种：
方案一：购进甲型号手机4部，购进乙型号手机16部；
方案二：购进甲型号手机5部，购进乙型号手机15部；
方案三：购进甲型号手机6部，购进乙型号手机14部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
当时，W的值与a的取值无关，
故（2）中的所有方案获利相同．
【思路引导】（1）设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据“ 购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金5000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金8000元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据“ 预计用不多于2.6万元且不少于2.4万元的资金购进这两部手机共20台 ”列出不等式组，再求解即可；
（3）设总获利W元，购进甲型号手机a台，列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为2000元，乙型号手机的每部进价为1000元；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得：，
解得：4≤a≤6，
∵a为整数，
∴a=4或5或6，
则进货方案有如下三种：
方案一：购进甲型号手机4部，购进乙型号手机16部；
方案二：购进甲型号手机5部，购进乙型号手机15部；
方案三：购进甲型号手机6部，购进乙型号手机14部．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
，
当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
25．（8分）（2024七下·肇庆期末）学校组织学生参加“防溺水”安全知识竞赛，并为这次竞赛获奖的学生准备了羽毛球拍和乒乓球拍两种奖品（每副羽毛球拍的价格相同，每副乒乓球拍的价格相同），已知购买副羽毛球拍和副乒乓球拍共需元；每副羽毛球拍的价格是每副乒乓球拍价格的倍少元．
（1）（4分）每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的价格各是多少元？
（2）（4分）根据学校实际情况，需一次性购买羽毛球拍和乒乓球拍共副，但要求购买羽毛球拍和乒乓球拍的总费用不超过元，学校最多可以购买多少副羽毛球拍？
【答案】（1）每副羽毛球拍为元，每副乒乓球拍为元；
（2）学校最多可以购买副羽毛球拍．
26．（8分）（2025八上·锦江期末）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克；
信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）（4分）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）（4分）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
【答案】（1）方案1：生产“笨笨”件，“” 件，
方案2：生产“笨笨”件，“” 件，
方案3：生产“笨笨”件，“” 件，
方案4：生产“笨笨”件，“” 件；
（2）选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算；
27．（8分）（2024七下·于都期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）（2分）在方程；；中，关于的不等式组的“关联方程”是 ；填序号
（2）（3分）若关于的方程是不等式组的“关联方程”求的取值范围；
（3）（3分）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：解不等式得：，
解不等式得：，
的解集为，
关于的方程的解为，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
在范围内，
，
解得；
（3）解：解不等式得：，
解不等式得：，
的解集为，
此时不等式组有个整数解，
，
解得，
关于的方程的解为，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
在范围内
，
解得，
【完整解答】解：解方程①，可得方程的解为：x=3；解方程②，可得方程的解为：x=2；解方程③，可得方程的解为：x=1；
解不等式组，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤5，所以不等式组的解集为：1＜x≤5，
∴ 关于的不等式组的“关联方程”是 ：①②；
故答案为：①②；
【思路引导】（1）首先分别解三个方程求出它们的解，再解不等式组求出它的解集，再根据 “关联方程”的定义进行识别即可得出答案；
（2）首先解不等式组求得它的解集，再解方程可得出方程的解x=，再根据“关联方程”的定义即可得出，解不等式即可得出k的取值范围；
（3）首先解不等式组得出解集为，再根据不等式组的整数解的个数，得出，解得，再解方程求得方程的解为，再根据“关联方程”的定义，即可得出，解得.
28．（8分）（2024七下·甘井子期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
（1）（2分）若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
（2）（3分）若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
（3）（3分）这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】（1）最多可以购买5台A型电脑
（2）有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台
（3）该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值
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