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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第12章 定义、命题、证明
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：定义的理解与应用
易错点：
学生可能对定义的理解不够深入，仅仅停留在表面文字上，没有真正理解其数学含义。
在应用定义解决问题时，可能会忽略定义中的某些关键条件，导致错误。
解题技巧：
深入理解定义，尝试用自己的话复述定义，确保真正掌握其数学意义。
在应用定义时，要仔细审查题目中的条件，确保所有关键条件都得到满足。
易错知识点梳理02：命题的构成与分类
易错点：
学生可能混淆命题的构成部分，如条件（前提）和结论。
在区分真命题和假命题时，可能会因为对命题的理解不够深入而判断错误。
解题技巧：
明确命题的构成部分，即条件和结论，并理解它们之间的逻辑关系。
在判断命题的真假时，要依据数学知识和逻辑推理，而不是仅凭直觉或经验。
易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式
易错点：
学生可能不熟悉证明的基本步骤和格式，导致证明过程混乱或不完整。
在书写证明时，可能会遗漏某些关键步骤或逻辑跳跃，导致证明不严谨。
解题技巧：
熟悉并掌握证明的基本步骤和格式，如明确命题、列出已知条件、进行逻辑推理、得出结论等。
在书写证明时，要确保每一步都有明确的依据和逻辑推理，避免逻辑跳跃和遗漏关键步骤。
易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法
易错点：
学生可能不熟悉常用的逻辑推理方法，如反证法、直接证明法等。
在应用逻辑推理方法时，可能会因为对方法的理解不够深入而使用错误。
解题技巧：
熟悉并掌握常用的逻辑推理方法，理解它们的适用场景和步骤。
在应用逻辑推理方法时，要确保方法的使用正确且符合题目的要求。
易错知识点梳理05：证明中的常见错误
易错点：
在证明过程中，学生可能会因为粗心大意而犯一些常见的错误，如计算错误、逻辑错误等。
在引用已知条件或定理时，可能会因为记忆不准确或理解不深入而引用错误。
解题技巧：
在证明过程中要保持细心和耐心，避免因为粗心大意而犯错。
在引用已知条件或定理时，要确保记忆准确且理解深入，避免引用错误。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2025九下·十堰期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）（2024八上·兰州期末）如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2分）（2024八上·柳州期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2024七上·岱岳期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2019七下·博白期末）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．邻补角是互补的
6．（2分）（2024八上·秦安期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2分）（2024七下·万州期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2分）（2024七下·宽城期末）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2分）（2025七上·姑苏期末）如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10．（2分）（2024八下·忠县期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法：
①；
②、分别是、的角平分线；
③当时，的面积最小
其中正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2025八上·滨湖期末）如图，，点的对应点E在线段上，，则的度数是 ．
12．（2分）（2024八上·浙江期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
13．（2分）（2023七下·霍林郭勒期末）如图，五边形的内角都相等，且，则 ．
14．（2分）（2024七下·青岛期末）如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °．
15．（2分）（2024七下·长沙期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
16．（2分）（2024七下·重庆市期末）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ．
17．（2分）（2024七下·南通期末）在中，点在上， 是中点，则 ．
18．（2分）（2024七下·九江期末）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）．
19．（2分）（2024七下·金湾期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．
20．（2分）（2024七下·涪城期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 .
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·桂林期末）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点G．
因为，
所以 (内错角相等，两直线平行)．
所以 (两直线平行，同位角相等)．
因为，
所以 ( )．
所以 ( )．
22．（6分）（2024七下·资中期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
（1）（2分）当时，求的度数；
（2）（2分）当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数；
（3）（2分）当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
23．（8分）（2024七下·连州期末）如图，在中，．
（1）（4分）求作：的角平分线交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）（4分）在（1）的条件下，若，求的度数．
24．（8分）（2024七下·丰城期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）（4分）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）（4分）若，，求的度数．
25．（8分）（2024七下·广平期末）如图所示，在中，、是角平分线．
（1）（2分），，求的度数，并说明理由．
（2）（3分）题中，如将“，”改为“”，求的度数．
（3）（3分）若，直接写出的度数．
26．（8分）（2024七下·内丘期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
（1）（4分）若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
（2）（4分）如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；
②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
27．（8分）（2024七下·抚州期末）已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．
（1）（2分）如图，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上若，则的度数为 ；
（2）（3分）将含角的直角三角板如图所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由；
（3）（3分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数．
28．（8分）（2024七下·江北期末）如图直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上．
（1）（4分）如图1，当CE平分∠ACM时，求的值．
（2）（4分）若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒．
①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值．
②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边时的值．
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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第12章 定义、命题、证明
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：定义的理解与应用
易错点：
学生可能对定义的理解不够深入，仅仅停留在表面文字上，没有真正理解其数学含义。
在应用定义解决问题时，可能会忽略定义中的某些关键条件，导致错误。
解题技巧：
深入理解定义，尝试用自己的话复述定义，确保真正掌握其数学意义。
在应用定义时，要仔细审查题目中的条件，确保所有关键条件都得到满足。
易错知识点梳理02：命题的构成与分类
易错点：
学生可能混淆命题的构成部分，如条件（前提）和结论。
在区分真命题和假命题时，可能会因为对命题的理解不够深入而判断错误。
解题技巧：
明确命题的构成部分，即条件和结论，并理解它们之间的逻辑关系。
在判断命题的真假时，要依据数学知识和逻辑推理，而不是仅凭直觉或经验。
易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式
易错点：
学生可能不熟悉证明的基本步骤和格式，导致证明过程混乱或不完整。
在书写证明时，可能会遗漏某些关键步骤或逻辑跳跃，导致证明不严谨。
解题技巧：
熟悉并掌握证明的基本步骤和格式，如明确命题、列出已知条件、进行逻辑推理、得出结论等。
在书写证明时，要确保每一步都有明确的依据和逻辑推理，避免逻辑跳跃和遗漏关键步骤。
易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法
易错点：
学生可能不熟悉常用的逻辑推理方法，如反证法、直接证明法等。
在应用逻辑推理方法时，可能会因为对方法的理解不够深入而使用错误。
解题技巧：
熟悉并掌握常用的逻辑推理方法，理解它们的适用场景和步骤。
在应用逻辑推理方法时，要确保方法的使用正确且符合题目的要求。
易错知识点梳理05：证明中的常见错误
易错点：
在证明过程中，学生可能会因为粗心大意而犯一些常见的错误，如计算错误、逻辑错误等。
在引用已知条件或定理时，可能会因为记忆不准确或理解不深入而引用错误。
解题技巧：
在证明过程中要保持细心和耐心，避免因为粗心大意而犯错。
在引用已知条件或定理时，要确保记忆准确且理解深入，避免引用错误。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.50
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2025九下·十堰期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．（2分）（2024八上·兰州期末）如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【完整解答】解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
与不一定相等，故②错误．
在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故③正确；
的周长为：；
故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④，共3个，
故答案为：C．
【思路引导】先利用角平分线定义及平行线的性质和等量代换证出，，从而可得和都是等腰三角形；再利用角的运算和等量代换以及三角形的周长公式分析求解即可.
3．（2分）（2024八上·柳州期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【思路引导】过点N作，根据平行公理的推论可得NH∥CD，再根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义得出，继而得出，再根据三角形外角的性质即可求得．
4．（2分）（2024七上·岱岳期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．（2分）（2019七下·博白期末）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是锐角 B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补 D．邻补角是互补的
【答案】D
【完整解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，故A不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C不符合题意；
D，邻补角的两个角是补角，故D符合题意；
故答案为：D
【思路引导】根据两个锐角的和不一定是锐角，可对A作出判断；利用相等的角不一定是对顶角，可对B作出判断；同旁内角互补的前提条件是两直线平行，可对C作出判断；根据邻补角一定是互补的角，可对D作出判断。
6．（2分）（2024八上·秦安期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【完整解答】解：①如图，延长CF交AB于H，
∵分别为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴BF=AC；
∴原结论正确，符合题意；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，
∴DF=DC，
∵∠ADC=90°，
∴DCF=∠DFC=45°，
∴，
∴，
∴原结论正确，符合题意；
③∵BF=2EC，
由①得：BF=AC，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长；
∴原结论正确，符合题意；
④由②得：，，
∴，
∵，
∴，
∴原结论错误，不符合题意；
∴正确的有①②③．
故答案为：A．
【思路引导】①延长CF交AB于H，用角边角可证△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等即可求解；
②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等可得DF=DC，然后根据等边对等角可得DCF=∠DFC=45°，然后用三角形的内角和定理可求出的度数，再根据垂线的定义可判断求解；
③由①的结论并结合已知易得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=CF，BA=BC，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解；
④由②得：，，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角”可得．
7．（2分）（2024七下·万州期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】，，∠1+∠2+∠B+∠C=360°
．
故答案为：B．
【思路引导】首先观察图形发现是四边形的四个内角，根据四边形的内角和可得=360°，
再根基题目给出的， 可求出，最后利用三角形的内角和为180°即可求解．
8．（2分）（2024七下·宽城期末）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
9．（2分）（2025七上·姑苏期末）如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
10．（2分）（2024八下·忠县期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法：
①；
②、分别是、的角平分线；
③当时，的面积最小
其中正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2025八上·滨湖期末）如图，，点的对应点E在线段上，，则的度数是 ．
【答案】
12．（2分）（2024八上·浙江期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【答案】
【完整解答】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【思路引导】连接，过作，根据角平分线的判定得到平分，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和求得；利用折叠可得，再根据等边对等角可得，然后根据外角的性质解答即可．
13．（2分）（2023七下·霍林郭勒期末）如图，五边形的内角都相等，且，则 ．
【答案】
14．（2分）（2024七下·青岛期末）如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °．
【答案】51
15．（2分）（2024七下·长沙期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
【答案】
16．（2分）（2024七下·重庆市期末）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ．
【答案】3
【完整解答】解：过点作于点，如图：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【思路引导】过点作，证明∠DBE=∠DCF，于是可利用AAS证明，得到，，再利用HL证明，得AF=AE，于是可的，即可得出结果．
17．（2分）（2024七下·南通期末）在中，点在上， 是中点，则 ．
【答案】
18．（2分）（2024七下·九江期末）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连结，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）．
【答案】：或或．
【完整解答】解：①如图，当点F在B的右侧，且D在上方，过C作，∵，∴，∴，，又，∴，同理，又，，，∴，，∵平分，∴，∴，即，∴∵，∴，∴；②如图，当点F在B的左侧时，同理：，，又，∴∵，∴，∴∴；③如图，当点F在B的右侧，且D在下方，过D作，∵∴，∴，，∵，∴，∴，由①知，∴，∴，∴，综上，的值为或或．故答案为：或或．
【思路引导】由于点D在射线AD上，其具体位置不确定，因此DF平行CB时与直线BN的交点位置也不确定，故应该分类讨论，即点D分两种情况，一是D点在直线和之间，二是D点在直线下方；而且当D点在直线和之间时，点F又有两种情形，即点F在B点左侧或在B点右侧，然后再分别计算才可．
19．（2分）（2024七下·金湾期末）如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．
【答案】105
【完整解答】解：由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为：105°.
【思路引导】先求出∠EFC=155°，再求出∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°，最后利用角的运算求出∠CFE=130°-25°=105°即可.
20．（2分）（2024七下·涪城期末）如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 .
【答案】
【完整解答】解：设
平分
，
平分
在 中
，
即
解得
故答案为：
【思路引导】设，可求出，，从而得出，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=，根据补角的性质可得，据此建立方程求出α，由于=2α，从而得出结论.
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024七下·桂林期末）阅读下列文字，完成推理填空：
已知：如图，，，请说明：；
如图，延长交于点G．
因为，
所以 (内错角相等，两直线平行)．
所以 (两直线平行，同位角相等)．
因为，
所以 ( )．
所以 ( )．
【答案】解：如图，延长交于点G．
因为，
所以BE//CF (内错角相等，两直线平行)．
所以∠1=∠AGF(两直线平行，同位角相等)．
因为，
所以∠AGF=∠4(等量代换)．
所以 (内错角相等，两直线平行)．
【思路引导】利用平行线的判定方法和性质及推理的步骤分析求解即可.
22．（6分）（2024七下·资中期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
（1）（2分）当时，求的度数；
（2）（2分）当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数；
（3）（2分）当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
【答案】（1）
（2）不变化，
（3）或
23．（8分）（2024七下·连州期末）如图，在中，．
（1）（4分）求作：的角平分线交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）（4分）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则．
∵，
∴，
∴，即．
【思路引导】（1）利用角平分线的定义及作图方法和步骤作出图形即可；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，设，则，再结合，求出x的值即可.
24．（8分）（2024七下·丰城期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）（4分）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）（4分）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【思路引导】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，，结合的周长为19，的周长为7，可得，即可求解；
（2）根据三角形内角和是180°求出，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
25．（8分）（2024七下·广平期末）如图所示，在中，、是角平分线．
（1）（2分），，求的度数，并说明理由．
（2）（3分）题中，如将“，”改为“”，求的度数．
（3）（3分）若，直接写出的度数．
【答案】（1）解：解：、是角平分线，
，．
的度数为，理由：
，，
，．
，
．
（2）解：，
．
，即．
，
．
（3）解：，
．
，即．
，
．
【思路引导】先利用角平分线的性质说明∠OBC与∠ABC、∠OCB与∠ACB的关系．
（1）先求出∠OBC与∠OCB的度数，利用三角形的内角和定理得结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用三角形的内角和定理得结论；
（3）先利用三角形的内角和定理用含m的代数式表示出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的性质用含m的代数式表示出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用三角形的内角和定理得结论。
26．（8分）（2024七下·内丘期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
（1）（4分）若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
（2）（4分）如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；
②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
【答案】（1）2
（2）①；②
27．（8分）（2024七下·抚州期末）已知直线，嘉淇对直角三角板在这两条平行线间的摆放进行了探究．
（1）（2分）如图，嘉淇把三角板的直角顶点放在直线上若，则的度数为 ；
（2）（3分）将含角的直角三角板如图所示摆放，当平分时，一定平分吗？请做出判断，并说明理由；
（3）（3分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的直角顶点与角的顶点重合于点，直角三角板的斜边在直线上，含角的直角三角板的另一个顶点在直线上，求的度数．
【答案】（1）130°
（2）解：一定平分，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
（3）解：延长交直线于点，如图，
由题意得：，，，
，
，
，
，
．
【完整解答】解：（1）如图1，
∵a∥b，
∴∠1+∠β=180°，
∵∠1=180°-90°-α=180°-90°-40°=50°，
∴∠β=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【思路引导】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠1+∠β=180°，利用平角的定义可求出∠1的度数，然后求出∠β的的数即可.
（2）利用直角三角形的两锐角互余可求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义可求出∠MBC的度数；利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠BCN的度数；然后证明∠2=∠ACB，利用角平分线的定义可证得结论.
（3）延长CA交直线a于点F，结合已知条件可求出∠CAD的度数，利用两直线平行同旁内角互补，求出∠AFD的度数，然后利用三角形外角的性质求出∠γ的度数.
28．（8分）（2024七下·江北期末）如图直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上．
（1）（4分）如图1，当CE平分∠ACM时，求的值．
（2）（4分）若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒．
①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值．
②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边时的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分．
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，速度为每秒3度，
∴旋转的度数范围为，
则只有一种情况，如图，
设延长线与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边，的值为；
②如图，当时，延长KH交MN于R．
∵，
∴，
过点K作，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
如图，当时，延长HK交MN于R．
∵，
∴，
过点K作，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
根据运动规律：每隔36秒一次，又，故，
综上所述，满足条件的t的值为6s或42s或78s或114s
【思路引导】（1）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，然后求出与的度数，即可求解.
（2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解；
②当时，延长KH交MN于R．过点K作，则；当时，延长HK交MN于R，过点K作，则，分别求出t的值即可.
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