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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第9章 图形的变换
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：平移变换
易错点：
平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。
图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。
解题技巧：
使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。
在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。
易错知识点梳理02：旋转变换
易错点：
旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。
图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。
解题技巧：
明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。
可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。
对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。
易错知识点梳理03：轴对称变换
易错点：
对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。
轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。
解题技巧：
观察图形的特点，找出可能的对称轴。
使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。
在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。
易错知识点梳理04：中心对称变换
易错点：
中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。
中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。
解题技巧：
观察图形的特点，找出可能的中心对称点。
使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。
在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。
易错知识点梳理05：综合应用
易错点：
多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。
图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。
解题技巧：
仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。
使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。
在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2024七下·揭阳期末）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2分）（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
3．（2分）（2024八上·西城期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A．45° B．90° C．75° D．135°
4．（2分）（2024七下·兰州期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的点，点P是上任意一点，连接、，若，则当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2024七下·冷水滩期末）把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B'位置，A落在A'位置，且A'B'//BC，已知∠A=60°，则∠B'CA=（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
6．（2分）（2024七下·港南期末）如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
7．（2分）（2024七下·深圳期末）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论正确的有（ ）
①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则．
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
8．（2分）（2023八上·六盘水期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．（2分）（2023七下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为，若要知道的值，只需测量（ ）
A． B． C．BC D．AB
10．（2分）（2023七下·通州期末）如图，在五边形ABCDE中，，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2023七下·大竹期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
12．（2分）（2024七下·揭阳期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度．
13．（2分）（2024七下·南开期末）如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
14．（2分）（2024七下·黔西期末）如图，中，，，点D，F分别为、的中点，且，点M为线段上一动点，当的面积为12时，周长的最小值为 .
15．（2分）（2024七下·黔东南期末）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接若，则阴影部分的周长为 ．
16．（2分）（2024七下·铁东期末）惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
17．（2分）（2024七下·麦积期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ．
18．（2分）（2024八上·余江期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为 ．
19．（2分）（2024七下·成都期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ．
20．（2分）（2024七下·西峡期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含的直角三角尺的一个顶点放在处，斜边与直线重合，另两条直角边、都在直线的下方．将图中的三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，旋转到第 秒时，与互补．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024八上·阜宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．
22．（6分）（2024七下·长春期末）如图，在中，分别是上两点，与关于轴对称，交于点，已知．
（1）（3分）求的度数．
（2）（3分）若，求的度数．
23．（8分）（2024七下·济源期末）如图1，，，．
（1）（2分）__________度；
（2）（3分）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果．
（3）（3分）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数．
24．（8分）（2024七下·香洲期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米．
（1）（2分）求正方形铁板的边长；
（2）（3分）若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积；
（3）（3分）若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长．
25．（8分）（2024七下·鄞州期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）（4分）求的度数．
（2）（4分）如图②，若将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
26．（8分）（2023七下·宽城期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．
（1）（2分）如图①，当在与之间，且时，则 度， 度．
（2）（3分）如图②，当在与之间时，求与差的度数．
（3）（3分）在旋转的过程中，若，求旋转角的度数．
27．（8分）（2025七上·衡阳期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）（2分）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）（3分）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）（3分）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
28．（8分）（2024七下·西岗期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
（1）（2分）如图（1），已知平分，，则 ；
（2）（3分）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
（3）（3分）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
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2024-2025学年苏科版数学七年级下学期期末复习易错题专项精讲练
第9章 图形的变换
(易错知识点拨+优选易错培优题强化练）
易错知识点梳理01：平移变换
易错点：
平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。
图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。
解题技巧：
使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。
在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。
易错知识点梳理02：旋转变换
易错点：
旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。
图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。
解题技巧：
明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。
可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。
对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。
易错知识点梳理03：轴对称变换
易错点：
对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。
轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。
解题技巧：
观察图形的特点，找出可能的对称轴。
使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。
在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。
易错知识点梳理04：中心对称变换
易错点：
中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。
中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。
解题技巧：
观察图形的特点，找出可能的中心对称点。
使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。
在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。
易错知识点梳理05：综合应用
易错点：
多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。
图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。
解题技巧：
仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。
使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。
在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。
检测时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）（2024七下·揭阳期末）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2．（2分）（2021七下·开江期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【答案】D
【完整解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°.
故答案为：D.
【思路引导】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解.
3．（2分）（2024八上·西城期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A．45° B．90° C．75° D．135°
【答案】B
【完整解答】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，
∴根据两点之间线段最短可得，的值最小，
∴四边形的周长最小值为：，
∵在中，，，即是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∵，
∴，
根据对顶角的性质可得，，，
根据对称的性质可得，，，，，
∴，，
在，中，
∵，，
∴
，
∴当四边形的周长最小时，的大小是，
故选：．
【思路引导】本题考查轴对称—最短路径的运用，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，利用等腰三角形的性质可得：，利用三角形的内角和定理可得：，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，利用角的运算可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
4．（2分）（2024七下·兰州期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的点，点P是上任意一点，连接、，若，则当周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5．（2分）（2024七下·冷水滩期末）把三角形ABC绕点C顺时针方向旋转20°后B落在B'位置，A落在A'位置，且A'B'//BC，已知∠A=60°，则∠B'CA=（ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
【答案】A
【完整解答】解：绕着点按顺时针方向旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
故答案为：A
【思路引导】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，根据旋转的性质及平行线的性质求解即可．
6．（2分）（2024七下·港南期末）如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
【答案】C
【完整解答】解：根据题意，涂黑每一个空格都会出现一种可能情况，共出现6种可能情况，
其中，涂左上角和右下角的方框所得到的黑色图案组成的图形是中心对称而不是轴对称，故一共有4种情形，
故选C．
【思路引导】根据题意，涂黑一个格共6种可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目．
7．（2分）（2024七下·深圳期末）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论正确的有（ ）
①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则．
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【完整解答】解：∵，，
∴， ，
由旋转性质可知，
∴，，，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
即，
∴，
在和中，
，
∴（），
，，
∴平分，故②正确；
在中，，
∵，，
∴，
当，时，，
解得，
∴
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设到边距离为，则
，
∴，
∴，故④正确；
综上①②④正确，共个正确，
故答案为：B．
【思路引导】先利用旋转的性质证出和全等，再利用全等三角形的性质可得，利用角的运算和等量代换求出，判断出①是否正确；再利用，可得，， 判断出②是否正确；再利用勾股定理判断③是否正确；再利用三角形的面积公式判断④是否正确，从而得解.
8．（2分）（2023八上·六盘水期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
9．（2分）（2023七下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为，若要知道的值，只需测量（ ）
A． B． C．BC D．AB
【答案】D
【完整解答】解：图1中阴影部分的周长为：4AB+2（BC-b）=4AB-2BC-2b，
图2中阴影部分的周长为：2BC+2（AB-b）=2BC+2AB-2b，
∴l=4AB-2BC-2b-（2BC+2AB-2b）=4AB-2BC-2b-2BC-2AB+2b=2AB，
∴若要知道l的值，只需要测量AB的长.
故答案为：D.
【思路引导】利用平移的思想、矩形、正方形的性质及图形周长的计算方法分别表示出图1与图2的周长，进而再根据整式加减法算出l的值即可得出答案.
10．（2分）（2023七下·通州期末）如图，在五边形ABCDE中，，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26
【答案】B
【完整解答】解：将△ABC绕着点A，顺时针旋转∠BAE度，则AB和AE重合，∵∠ABC和∠AED=90°，所以旋转后，C'E和DE在同一直线上.
∵
∴
即∠C'AD=∠CAD
又∵C'A=CA，AD=AD
∴△C'AD≌△CAD（SAS）
∴S△C'AD=S△CAD
∵
∴S五边形ABCDE的面积为20，故答案选B.
【思路引导】因为，AB=AE，符合“半角模型”基本特征，因此将△ABC绕着点A旋转，旋转角度为∠BAE，使得AB和AE重合到一起.又因为∠E和∠B均为90°，相加为180°，则旋转后 BC和DE必在同一条直线上。设C旋转后对应点为C'，根据半角模型性质，△AC
二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（2分）（2023七下·大竹期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
【答案】
12．（2分）（2024七下·揭阳期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时， 度．
【答案】45
13．（2分）（2024七下·南开期末）如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
【答案】11
14．（2分）（2024七下·黔西期末）如图，中，，，点D，F分别为、的中点，且，点M为线段上一动点，当的面积为12时，周长的最小值为 .
【答案】8
【完整解答】解：连接
∵F为的中点，，
∴所在直线是的垂直平分线，
∴，
∵，点D为的中点，
∴，
∵周长，
∴周长的最小值为；
∵，点D为的中点，
∴，
∵的面积为12，，
∴，
∴，
周长的最小值为，
故答案为：8．
【思路引导】连接MC和CD，根据线段垂直平分线的性质将MA用直线EF另一侧的线段MC代替，利用两点之间线段最短表示出两线段和的最小值，再利用面积法求出这条线段的长即可．
15．（2分）（2024七下·黔东南期末）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接若，则阴影部分的周长为 ．
【答案】14
【完整解答】∵ 将三角形沿折叠，使点落在点处，
∴DF=BF，
∵ 线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
∴AC=DF，AD=FC，
∴AC+FC+DF+AD=2（DF+FC）=2（BF+FC）=2BC=14，
故答案为：14.
【思路引导】根据折叠的性质和平移的性质求解即可。
16．（2分）（2024七下·铁东期末）惠东县某酒店为举办一场新人的婚礼，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米40元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】
17．（2分）（2024七下·麦积期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ．
【答案】16
18．（2分）（2024八上·余江期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为 ．
【答案】30或120
19．（2分）（2024七下·成都期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为 ．
【答案】
20．（2分）（2024七下·西峡期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一个含的直角三角尺的一个顶点放在处，斜边与直线重合，另两条直角边、都在直线的下方．将图中的三角尺绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，旋转到第 秒时，与互补．
【答案】5或13
三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2024八上·阜宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．
【答案】解：（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE，
在△BCD和△FCE中，
∵CD＝CE，∠BCD＝∠FCE， CB=CF，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，
∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，
∵EF∥CD，
∴∠E=180°-∠DCE=90°，
∴∠BDC=90°．
22．（6分）（2024七下·长春期末）如图，在中，分别是上两点，与关于轴对称，交于点，已知．
（1）（3分）求的度数．
（2）（3分）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
23．（8分）（2024七下·济源期末）如图1，，，．
（1）（2分）__________度；
（2）（3分）与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果．
（3）（3分）将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数．
【答案】（1）180
（2），不一定平行于
（3）
24．（8分）（2024七下·香洲期末）如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米．
（1）（2分）求正方形铁板的边长；
（2）（3分）若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积；
（3）（3分）若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长．
【答案】（1）12厘米
（2）64平方厘米
（3）58.8厘米
25．（8分）（2024七下·鄞州期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）（4分）求的度数．
（2）（4分）如图②，若将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒
②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
延长，交于点O，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：；
当，
同理得
当
同理得
同理得
综上可得：t的值为．
【思路引导】（1）利用邻补角的定义求出，然后根据角平分线的定义得到，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠QEC的值，再根据角的和差解题；
（2）①根据角的和差求出，然后根据平行线的性质得到，求出时间t即可；
②分为，，三种情况，作图，利用平行线的性质和三角形内角和解答即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒
②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
延长，交于点O，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：；
当，
同理得
当
同理得
同理得
综上可得：t的值为．
26．（8分）（2023七下·宽城期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．
（1）（2分）如图①，当在与之间，且时，则 度， 度．
（2）（3分）如图②，当在与之间时，求与差的度数．
（3）（3分）在旋转的过程中，若，求旋转角的度数．
【答案】（1）70；40
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：旋转角为，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上，旋转角的度数为或．
【完整解答】解：（1）∵，
∴∠COA=90°，
∵，，
∴∠AOD=70°，∠COE=40°，
故答案为：70；40
【思路引导】（1）根据垂直结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据垂直结合题意即可得到，，，进而即可求解；
（3）先根据旋转的性质得到旋转角为，进而分类讨论：当在与之间时，当在与之间时，在结合题意即可求解。
27．（8分）（2025七上·衡阳期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）（2分）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）（3分）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）（3分）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【答案】（1）15，如图：
（2）解：设：，，
①如图，当时，
，，
故，即；
②当时，
，即，
③当时，，，
，
即，
，即；
答：当时，；当时，；当时，；
（3）解：①当时，由（1）可知，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴；
③当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当时，，
∴，
∴；
⑤当时，则，
∴，
∴；
综上可得，或或或或．
【完整解答】解：（1）当时，，如图：
，
，
，
故答案为：；
【思路引导】
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后由角的和差计算即可求解；
（2）设，，在旋转过程中，由题意可分三种情况：①当时，②当时，③当9时，根据平行线的性质并结合角的和差即可求解；
（3）由题意可分五种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别作出图形，根据平行线的性质并结合题意列关于t的方程，解方程即可求解．
28．（8分）（2024七下·西岗期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．
（1）（2分）如图（1），已知平分，，则 ；
（2）（3分）如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；
（3）（3分）在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．
【答案】（1）75
（2）解：如图2，过点作，
，
∴CD∥NH，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
【完整解答】解：（1）如图1，过点作，
，∴MG∥CD，
∵∠BEM=40°，
，，，，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
【思路引导】（1）过点作，根据平行线的传递性得MG∥CD，由平行四边形的性质得，，，同时求出∠AEM的度数，然后根据角平分线的定义得、的度数，从而得，即可求出的度数；
（2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解；
（3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可．
（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）落在射线上的时间为：，
如图，当第一次时，
，
由旋转知，，
，
解得：；
如图，当时，
由（2）知，，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当时，，
，
，
，
由旋转知，，
，
解得：；
当第二次时，旋转角，
又，
，
解得：；
综上所述，或或或．
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