/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1：规律猜想类 ★★★★ 题型结构：以填空压轴题和综合解答题为载体，强化多步骤逻辑链设计。例如：填空压轴题可能涉及表格信息逻辑推理（如快递配送最优方案、工时分配计算）；综合题可能以跨学科融合为背景（如结合物理电路图、二十四节气等），通过多小问逐步考查逻辑推导能力。 难度特点：难度保持中高水平，突出分类讨论与新定义题型，例如：需通过代数与几何综合条件推导动点轨迹或函数参数；要求结合现实情境（如新能源应用）建立数学模型，筛选有效信息。 分值占比：逻辑推理题在压轴题中分值占比可能达10%-15% 命题将更注重实际问题建模与学科内知识整合，强调从数据、图形中提取逻辑关系，并通过开放性设问（如“一题多解”）区分学生思维深度。
考向2：特殊定义类 ★★★
考向3：阅读理解类 ★★★★
数式类规律探索的关键：
1.找出等式中的“变”与“不变”的部分；
2.分析“变”的部分与序数之间存在着怎样的关系；
3.用一个统一的式子表示出变化规律.
图形类规律探索的方法：
1.分析图形特征和图形变化规律；
2.根据已知条件求出前几次的变化量；
3.找出循环的周期，用一个统一的式子表示出变化规律。
点的坐标类规律探索过程：
1.通过观察，找出点的坐标的周期；
2.目标明确，找出相应点的变化规律；
3.根据找出的规律用一个统一的式子表示出来.
准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
准确理解新定义的规定并熟练掌握已知运算法则是解本类题的关键
准确理解新定义的规定，能将新定义转化为常规知识进行推理应用是解题关键
解决这类问题，要读懂原材料，能对提供的材料与已有知识和数学常识相结合进行解题
方法模拟型是指通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
解决策略：从已给的材料入手，捕捉并灵活应用这些信息解决材料中的问题（注：这类方法和结论通常是已有结论，定理等，可以作为素材积累作为日后解题的思路）
迁移发展型是指通过阅读，理解所采用的思想方法，将提供的材料抽象概括成数学模型，然后去解决同类或更高层次的另一个相关命题.
例1.有一系列式子，按照一定的规律排列成3a2，9a5，27a10，81a17，……，则第n个式子为（ ）（n为正整数）
A．3n B．3n C．3n D．3n
变式1.一列单项式按以下规律排列：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，13x7，…，则第2024个单项式是（ ）
A．﹣4049x2024 B．4049x2024
C．﹣4047x2024 D．4047x2024
变式2.观察下列多项式：a﹣2b，a2﹣4b3，a3﹣8b5，a4﹣16b7，…，则第n个多项式为（ ）
A．an﹣2nb2n﹣1 B．an﹣2nb2n+1
C．an﹣2nb2n﹣1 D．an﹣2nb2n
例2.如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（ ）
A．40 B．41 C．31 D．19
变式1.用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多17枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A．87枚 B．77枚 C．78枚 D．88枚
变式2.下列图形都是由同样大小的“ ”按照一定的规律所组成的，按照此规律下去，第22个图形中“ ”的个数是（ ）
A．61 B．64 C．67 D．70
例3.如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C11．若P（43，m）在C11上，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．3 C．5 D．12
变式1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x（0≤x≤2）与x轴交于点O，点A，顶点为点C，将抛物线y绕点A旋转180°得到抛物线y1，交x轴于点A1，顶点记为C1；再将抛物线y1绕点A1旋转180°得到抛物线y2，交x轴于点A2顶点记为C2；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点C101的坐标为（ ）
A．（203，﹣1） B．（203，1） C．（205，﹣1） D．（205，1）
变式2．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，
弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（ ）
A． B． C． D．．
变式3．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2） D．（1，3）
例4．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）（其中k是使F（n）为奇数的正整数）．两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则第1次“F”运算为F（24）3，第2次“F”运算为F（3）＝3×3+1＝10，第3次“F”运算为F（10）5…若n＝13，则第2022次“F”运算的结果为（ ）
A．1 B．4 C．2021 D．42021
变式1．有依次排列的3个数：6，2，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，问：从数串6，2，8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．4056 B．4058 C．4060 D．4062
变式2．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是1，﹣1的差倒数为．现已知x1，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2020的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．4
例1．对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣1，0}＝0．若max{1，x}＝x，max{x，2x+1}＝2x+1，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1
变式1．定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小值，如．min{1，3}＝1，min{﹣1，﹣3}＝﹣3，按照这样的规定，若min{x，﹣x}＝x2+x﹣4，则x的值是（ ）
A．2或 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或
变式2．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 个．
例2．对实数x、y定义一种新运算△，规定：△（x，y）＝ax+bxy﹣2（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：△（5，7）＝a×5+b×5×7﹣2．若△（2，3）＝﹣5，△（﹣4，4）＝2，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）；
（2）若△（d，d）＝﹣3d，则△（d，d）＝±6；
（3）若△（p，q）＝﹣6，则p、q有且仅有3组正整数解；
（4）如果△（nx，y）＝△（ny，x），那么n＝0或x＝y．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1．对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※，则x的取值范围是 ．
变式2．设a，b都是不为0的实数，且a≠b，a+b≠0，定义一种新运算：，则下面四个等式：
①a*b＝b*a
②（a*b）2＝a2*b2
③（﹣a）*b＝a*（﹣b）
④（﹣a）*b＝﹣（a*b）
成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．如果一个自然数N＝A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数N为“满意数”，将自然数N分解成N＝A×B的过程，称为“满意分解”．如168＝12×14，所以168是“满意数”．若把一个“满意数”N进行“满意分解”，即N＝A×B，A与B的和记为P（N），A与B的差的绝对值记为Q（N），令，当D（N）能被3整除时，满足条件的N的最大值是 ．
变式1．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a2＝b+c+d，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为42＝3+8+5，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为42≠2+3+8，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最大值 ．
变式2．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且m﹣n≥2，则称这个正整数为“立方差友好数”．例如：56＝43﹣23，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ．
例4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外的一点C，给出如下定义：若CA，CB中一条垂直弦AB，另一条是⊙O的切线，则称点C为弦AB的“垂联点”．
（1）如图，点A（﹣1，0），，．
①在点，C2（﹣1，1），中，弦AB1的“垂联点”是 ；
②若点C为弦AB2的“垂联点”，直接写出OC的长；
（2）已知点M（0，3），．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S为弦PQ的“垂联点”，设PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
变式1．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点A（2，4），二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若x＞0，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于A，B（点A的横坐标小于点B的横坐标）两点，P为抛物线对称轴上一动点．若△PAB是以A为顶点的等腰三角形，求点P的坐标．
变式2．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
例1．从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0．古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（ ）
A．10 B．100 C．1 D．﹣1
变式1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（ ）
A．﹣1斗 B．+1斗 C．﹣8斗 D．+8斗
变式2．我们在学习四边形时．先学行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．转化 B．归纳
C．由一般到特殊 D．数形结合
变式3．中国人对方程的研究有着悠久的历史，宋元时期中国古代数学家创立了一种列方程的方法，这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是（ ）
A．天元术 B．四元术 C．正负术 D．割圆术
例2．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴．
∴只有当a＝b时，．
【获得结论】在、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，当且仅当a＝b时，a+b有最小值．
例如：在x＞0的条件下，，∴，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，有最小值是 ；
（2）已知x＞2，则的最小值是 ．
（3）已知t＞1，若y，求y的最大值？
（4）已知点Q（﹣8，﹣10）是双曲线y上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
变式1．在如图的直角三角形中，我们知道sinα，cosα，tanα，∴sin2α+cos2α1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα，求的值．
变式2．【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】
（1）如图①，点P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，割线PC与圆相交于B，C两点，求证：PA2＝PB PC（提示：连结AB，AC，AO，并延长AO交⊙O于点D，连结BD）．
【解决问题】
（2）如图②，PA是⊙O的切线，连结PO交⊙O于点B，⊙O的半径为r．若PA＝r+2，PB＝r﹣2，
求r的值．
例3．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2；②a2﹣b2；③中，属于对称式的是 （填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
变式1．定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y＝px+q和反比例函数，则二次函数y＝px2+qx﹣k为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y＝﹣x+3和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数存在“生成”函数y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2015，求m的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标（x1，y1）和（x2，y2）使一次函数y＝ax+2b和反比例函数
为“生成”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c＝0，设L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．（注：一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式为）
变式2．我们规定：关于x的反比例函数y称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）按此规定：一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为： ，“再生函数”为： ；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，）两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x＝1上，且∠CBE＝45°，求点E的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1：规律猜想类 ★★★★ 题型结构：以填空压轴题和综合解答题为载体，强化多步骤逻辑链设计。例如：填空压轴题可能涉及表格信息逻辑推理（如快递配送最优方案、工时分配计算）；综合题可能以跨学科融合为背景（如结合物理电路图、二十四节气等），通过多小问逐步考查逻辑推导能力。 难度特点：难度保持中高水平，突出分类讨论与新定义题型，例如：需通过代数与几何综合条件推导动点轨迹或函数参数；要求结合现实情境（如新能源应用）建立数学模型，筛选有效信息。 分值占比：逻辑推理题在压轴题中分值占比可能达10%-15% 命题将更注重实际问题建模与学科内知识整合，强调从数据、图形中提取逻辑关系，并通过开放性设问（如“一题多解”）区分学生思维深度。
考向2：特殊定义类 ★★★
考向3：阅读理解类 ★★★★
数式类规律探索的关键：
1.找出等式中的“变”与“不变”的部分；
2.分析“变”的部分与序数之间存在着怎样的关系；
3.用一个统一的式子表示出变化规律.
图形类规律探索的方法：
1.分析图形特征和图形变化规律；
2.根据已知条件求出前几次的变化量；
3.找出循环的周期，用一个统一的式子表示出变化规律。
点的坐标类规律探索过程：
1.通过观察，找出点的坐标的周期；
2.目标明确，找出相应点的变化规律；
3.根据找出的规律用一个统一的式子表示出来.
准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
准确理解新定义的规定并熟练掌握已知运算法则是解本类题的关键
准确理解新定义的规定，能将新定义转化为常规知识进行推理应用是解题关键
解决这类问题，要读懂原材料，能对提供的材料与已有知识和数学常识相结合进行解题
方法模拟型是指通过阅读理解，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题；
解决策略：从已给的材料入手，捕捉并灵活应用这些信息解决材料中的问题（注：这类方法和结论通常是已有结论，定理等，可以作为素材积累作为日后解题的思路）
迁移发展型是指通过阅读，理解所采用的思想方法，将提供的材料抽象概括成数学模型，然后去解决同类或更高层次的另一个相关命题.
例1.有一系列式子，按照一定的规律排列成3a2，9a5，27a10，81a17，……，则第n个式子为（ ）（n为正整数）
A．3n B．3n C．3n D．3n
【分析】先确定系数与序号数的关系，再确定a的指数与序号数的关系，从而得到第n个式子．
【解答】解：第1个数为3a2＝31 a12+1，
第2个数为9a2＝32a22+1，
第3个数为27a2＝33 a32+1，
第4个数为81a2＝34 a42+1，
…
所以第n个数为．
故选：A．
变式1.一列单项式按以下规律排列：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，13x7，…，则第2024个单项式是（ ）
A．﹣4049x2024 B．4049x2024
C．﹣4047x2024 D．4047x2024
【分析】分析所给的单项式可得到第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）xn，即可求第2024个单项式．
【解答】解：∵x＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）x，
﹣3x2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）x2，
5x3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）x3，
﹣7x4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）x4，
…，
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）xn，
∴第2024个单项式为：（﹣1）2024+1（2×2024﹣1）x2024＝﹣4047x2024．
故选：C．
变式2.观察下列多项式：a﹣2b，a2﹣4b3，a3﹣8b5，a4﹣16b7，…，则第n个多项式为（ ）
A．an﹣2nb2n﹣1 B．an﹣2nb2n+1
C．an﹣2nb2n﹣1 D．an﹣2nb2n
【分析】观察规律可得答案．
【解答】解：观察各式，可知第n个多项式为an﹣2nb2n﹣1；
故选：C．
例2.如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（ ）
A．40 B．41 C．31 D．19
【分析】先列出前几个图形中圆的个数，然后推论出第n个图形中圆的个数为3n+1，最后把n＝10代入求解即可．
【解答】解：第1个图形中有1×3+1＝4个圆，
第2个图形中有2×3+1＝7个圆，
第3个图形中有3×3+1＝10个圆，
…，
第n个图形中有3n+1个圆，
当n＝10时，有3×10+1＝31个圆．
故选：C．
变式1.用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多17枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A．87枚 B．77枚 C．78枚 D．88枚
【分析】依次求出每个图形中正方形卡片数和等边三角形卡片数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形中正方形卡片数为：4＝1×3+1，等边三角形卡片数为：3＝1×2+1，正方形卡片比等边三角形卡片多：1×3+1﹣（1×2+1）＝1×（3﹣2）；
第2个图形中正方形卡片数为：7＝2×3+1，等边三角形卡片数为：5＝2×2+1，正方形卡片比等边三角形卡片多：2×3+1﹣（2×2+1）＝2×（3﹣2）；
第3个图形中正方形卡片数为：10＝3×3+1，等边三角形卡片数为：7＝3×2+1，正方形卡片比等边三角形卡片多：3×3+1﹣（3×2+1）＝3×（3﹣2）；
…，
所以第n个图形中正方形卡片数为（3n+1）个，等边三角形卡片数为（2n+1）个，正方形卡片比等边三角形卡片多n枚；
当n＝17时，3n+1+2n+1＝5n+2＝5×17+2＝87（枚），
即第17个图形中，正方形卡片比等边三角形卡片多17枚，第17个图形中所用两种卡片的总数为87枚．
故选：A．
变式2.下列图形都是由同样大小的“ ”按照一定的规律所组成的，按照此规律下去，第22个图形中“ ”的个数是（ ）
A．61 B．64 C．67 D．70
【分析】由已知图形中点的分布情况知每次n+2（n﹣1），据此可得．
【解答】解：∵第①个图形中一共有1个●，
第②个图形中一共有2+1×2个●，
第③个图形中一共有3+2×2个●，
第④个图形中一共有4+3×2个●，
∴第⑤个图形中一共有5+4×2个●，
第⑥个图形中一共有6+5×2个●，
第22个图形中一共有22+21×2＝64个●，
故选：B．
例3.如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C11．若P（43，m）在C11上，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．3 C．5 D．12
【分析】由抛物线C1与x轴交点坐标得出抛物线C2的解析式，再根据周期为8即可求出m的值．
【解答】解：∵一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），
∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），
∴OA1＝4，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，
∴OA2＝8，
∴抛物线C2：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8），
且曲线的一个周期长为8，
∵P（43，m）在C11上，
∴11÷2＝5...1，且43÷8＝5 3，
∴m＝﹣3（3﹣4）＝3．
故选：B．
变式1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x（0≤x≤2）与x轴交于点O，点A，顶点为点C，将抛物线y绕点A旋转180°得到抛物线y1，交x轴于点A1，顶点记为C1；再将抛物线y1绕点A1旋转180°得到抛物线y2，交x轴于点A2顶点记为C2；……如此旋转下去，形成如图所示的图象，则顶点C101的坐标为（ ）
A．（203，﹣1） B．（203，1） C．（205，﹣1） D．（205，1）
【分析】先求出每段抛物线的顶点坐标，找出规律即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴C的坐标为（1，1），点A的坐标为（2，0），
由题意可得，C1的坐标为（3，﹣1），C2的坐标为（5，1），C3的坐标为（7，﹣1），...，
∴C101的横坐标为：1+2×101＝203，纵坐标为﹣1，
∴C101的坐标是（203，﹣1）．
故选：A．
变式2．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，
弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（ ）
A． B． C． D．．
【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2016的长．
【解答】解：根据题意得：l1，
l2，
l3π，
则L2016，
故选：B．
变式3．如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，2） D．（1，3）
【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，得AB，∠BAO＝45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D（3，1），又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，即可得到答案．
【解答】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：
∵在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，
∴AB，∠BAO＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH1，
∴OH＝OA+AH＝3，
∴D（3，1），
∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，
∴每旋转8次回到初始位置，
∵98÷8＝12......2，
∴第98次旋转结束，相当于将D（3，1）旋转90°，
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，3），
故选：B．
例4．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）（其中k是使F（n）为奇数的正整数）．两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则第1次“F”运算为F（24）3，第2次“F”运算为F（3）＝3×3+1＝10，第3次“F”运算为F（10）5…若n＝13，则第2022次“F”运算的结果为（ ）
A．1 B．4 C．2021 D．42021
【分析】根据定义进行计算，发现其曾周期性变化即可解决．
【解答】解：当n＝13时，
第一次：F（13）＝3×13+1＝40；
第二次：F（40）5；
第三次：F（5）＝3×5+1＝16；
第四次：F（16）1；
第五次：F（1）＝3×1+1＝4；
第六次：F（4）1；
第七次：F（1）＝3×1+1＝4；
...．
故从第四次开始曾周期性变化，次数为奇数时结果为4，次数为偶数时结果为1，
则第2022次“F”运算的结果为：1，
故答案选：A．
变式1．有依次排列的3个数：6，2，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，问：从数串6，2，8开始操作第2023次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．4056 B．4058 C．4060 D．4062
【分析】首先根据题意，分别求出前三次操作得到的数分别是多少，再求出它们的和各是多少；然后总结出第n次操作：求和结果是16+2n，再把n＝2023代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第一次操作：6，﹣4，2，6，8，求和结果：18
第二次操作：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20
第三次操作：6，﹣16，﹣10，6，﹣4，10，6，﹣4，2，2，4，2，6，﹣4，2，6，8，求和结果：22
……
第n次操作：求和结果：16+2n
∴第2023次结果为：16+2×2023＝4062．
故选：D．
变式2．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是1，﹣1的差倒数为．现已知x1，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2020的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．4
【分析】分别求出部分差倒数，得到循环规律为每3次结果循环一次，则可求x2020＝x1．
【解答】解：∵x1，
∴x2，
x34，
x4，
…，
∴每3次结果循环一次，
∵2020÷3＝673…1，
∴x2020＝x1，
故选：A．
例1．对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣1，0}＝0．若max{1，x}＝x，max{x，2x+1}＝2x+1，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1
【分析】根据题中的新定义确定出所求即可．
【解答】解：（1）∵max{1，x}＝x，
∴x＞1，
∵max{x，2x+1}＝2x+1，
∴2x+1＞x，
解得x＞﹣1，
综上：x＞1．
故选：D．
变式1．定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小值，如．min{1，3}＝1，min{﹣1，﹣3}＝﹣3，按照这样的规定，若min{x，﹣x}＝x2+x﹣4，则x的值是（ ）
A．2或 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或
【分析】根据新定义可得方程﹣x＝x2+x﹣4和方程x＝x2+x﹣4，解方程即可得到答案．
【解答】解：当x≥﹣x即x≥0时，
∵min{x，﹣x}＝x2+x﹣4，
∴﹣x＝x2+x﹣4，
解得或（舍去）；
当x＜﹣x即x＜0时，
∵min{x，﹣x}＝x2+x﹣4，
∴x＝x2+x﹣4，
解得x＝﹣2或x＝2（舍去）；
综上所述，x的值是﹣2或．
故选：B．
变式2．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 3 个．
【分析】首先把问题转化为解不等式组45，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【解答】解：由题意得45，
解得：7≤x，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
例2．对实数x、y定义一种新运算△，规定：△（x，y）＝ax+bxy﹣2（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：△（5，7）＝a×5+b×5×7﹣2．若△（2，3）＝﹣5，△（﹣4，4）＝2，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）；
（2）若△（d，d）＝﹣3d，则△（d，d）＝±6；
（3）若△（p，q）＝﹣6，则p、q有且仅有3组正整数解；
（4）如果△（nx，y）＝△（ny，x），那么n＝0或x＝y．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】（1）由新运算法则得到关于a，b的方程组，解之即可求出a，b的值，判断即可；
（2）已知等式利用题中新定义化简，把a与b的值代入计算求出d的值，求出△（d，d）的值，判断即可；
（3）已知等式利用题中新定义化简，把a与b的值代入，根据p、q为正整数，判断即可；
（4）已知等式利用题中新定义化简，整理得到关系式，判断即可．
【解答】解：根据题意可得：，
整理得：，
②×2﹣①得：2b＝1，
解得：b，
把b代入②得：a＝﹣3，
故选项（1）正确；
根据题意得：△（d，d）＝﹣3d，即﹣3dd2﹣2＝﹣3d，
整理得：d2＝4，
解得：d＝±2，
则△（d，d）＝±6，选项（2）正确；
根据题意得：△（p，q）＝﹣6，即﹣3ppq﹣2＝﹣6，
整理得：p，
当p＝2时，q＝2；p＝4，q＝4；p＝8，q＝5，
∴p、q有且仅有3组正整数解，选项（3）正确；
如果△（nx，y）＝△（ny，x），则﹣3nxnxy﹣2＝﹣3nynxy﹣2，
∴3nx﹣3ny＝0，即n（x﹣y）＝0，
∴n＝0或x﹣y＝0，即n＝0或x＝y，选项（4）正确，
综上所述，结论正确的个数有4个．
故选：A．
变式1．对于实数m，n定义一种新运算“※”为m※n＝m﹣3n，例如7※2＝7﹣3×2＝1，若﹣3≤x※，则x的取值范围是 ．
【分析】由题意得，x※x﹣32x﹣1，解不等式组﹣3≤﹣2x﹣1＜2即可．
【解答】解：由题意得，x※x﹣32x﹣1，
∴﹣3≤﹣2x﹣1＜2，
解得．
故答案为：．
变式2．设a，b都是不为0的实数，且a≠b，a+b≠0，定义一种新运算：，则下面四个等式：
①a*b＝b*a
②（a*b）2＝a2*b2
③（﹣a）*b＝a*（﹣b）
④（﹣a）*b＝﹣（a*b）
成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵a*b，b*a，a≠b，
∴a*b≠b*a，
∴①不成立；
∵（a*b）2，a2*b2，
∴②不成立；
∵（﹣a）*b，a*（﹣b），
∴（﹣a）*b＝a*（﹣b），
∴③成立；
∵（﹣a）*b，﹣（a*b），
∴（﹣a）*b≠﹣（a*b），
∴④不成立．
∴四个等式中只有③成立．
故选：A．
例3．如果一个自然数N＝A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数N为“满意数”，将自然数N分解成N＝A×B的过程，称为“满意分解”．如168＝12×14，所以168是“满意数”．若把一个“满意数”N进行“满意分解”，即N＝A×B，A与B的和记为P（N），A与B的差的绝对值记为Q（N），令，当D（N）能被3整除时，满足条件的N的最大值是 8648 ．
【分析】设两位数A的个位数为n，十位数为m，则两位数B的个位数为6﹣n，十位数为m，易得P（N）＝20m+6，Q（N）＝2n﹣6，所以D（N），再根据3≤n≤6，分类讨论求解即可．
【解答】解：设两位数A的个位数为n，十位数为m，则两位数B的个位数为6﹣n，十位数为m（0＜m≤9，0≤n≤6，且m，n为整数）．
∴A＝10m+n，B＝10m+6﹣n，
∴P（N）＝A+B＝10m+n+10m+6﹣n＝20m+6，
Q（N）＝|A﹣B|＝|10m+n﹣10m﹣6+n|＝|2n﹣6|，
令A≥B，则n≥6﹣n，
∴n≥3，即3≤n≤6，
∴Q（N）＝2n﹣6，
∴，
∵3≤n≤6，n为整数，且n≠3，
∴n＝4，5，6．
①当 n＝4 时，D（N）＝10m+3，
∴D（N）的个位数字一定是3，
∵0＜m≤9，
∴3＜10m+3≤93，
∵D（N）能被3整除，
∴10m+3＝33或63或93，
∴m＝3或6或9；
②当n＝5时，，
∵0＜m≤9，
∴，
∵D（N）能被3整除，
∴或6或9……或45（3的倍数），
又∵m为整数，
∴m无解；
③当n＝6时，，
∵0＜m≤9，
∴，
∵D（N）能被3整除，
∴或6或9……或30（3的倍数），
又∵m为整数，
∴m＝6．
∵要使N最大，则A×B最大，则m最大，
∴当 m＝9，n＝4 时，A＝94，B＝92．
∴Nmax＝A×B＝94×92＝8648．
故答案为：8648．
变式1．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a2＝b+c+d，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为42＝3+8+5，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为42≠2+3+8，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是 3162 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最大值 4961 ．
【分析】根据“方佳数”的定义可得a2＝b+6+2，即，再确定a的最小值及b的值即可解答；设这个四位数，则再结合“方佳数”的定义，得出 M+N+4＝1089（a+b）+11（a+a2+1）+33，再由M+N+44能被33整除可知是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值．
【解答】解：是“方佳数”，
∴a2＝b+6+2，即，
∴当b＝1时，a有最小值3，
∴这个数最小是3162；
设这个四位数则，
∴M+N+44＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c+44
＝1100a+1100b+11c+11d+44
＝（1089a+1089b）+（1la+11b+11c+1ld）+44
＝1089（a+b）+11（a+b+c+d）+44，
∵四位数M是“方佳数”，
∴a2＝b+c+d，
∴M+N+44＝1089（a+b）+11（a+a2）+33+11＝1089（a+b）+11（a+a2+1）+33，
∵M+N+44能被33整除，
∴是整数，
∴是整数且a≠b≠c≠d，0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9，
∴满足条件的a的值为4，
∴b+c+d＝a2＝16，
∵要求M的最大值，则b＝9，c＝6，d＝1，
∴满足条件的M的最大值是4961．
故答案为：3162；4961．
变式2．新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且m﹣n≥2，则称这个正整数为“立方差友好数”．例如：56＝43﹣23，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 117 ；第28个“立方差友好数”是 702 ．
【分析】根据定义，从小到大排列的“立方差友好数”分别为：26，63，56，124，117，98，215，208，189，152…通过观察规律，可以发现第5个“立方差友好数”为117，第28个“立方差友好数”为1001．
【解答】解：找到满足m3﹣n3且m﹣n≥2 的正整数m和n，然后从小到大排列这些立方差的结果：
列举m﹣n＝2的情况：m＝n+2，计算（n+2）3﹣n3＝6n2+12n+8，
n＝1，2，3…．代入计算，得到26，56，98，152…
列举m﹣n＝3的情况：m＝n+3，
计算（n+3）3﹣n3＝9n2+27n+27，
n＝1，2，3…代入计算，得到63，117，189．
列举m﹣n＝4的情况：m＝n+4，计算（n+4）3﹣n3＝12n2+48n+64，
n＝1，2，3…代入计算，得到124，208…
将所有结果从小到大排序：
∴第5个数为117，第28个数为702．
故答案为：117，702．
例4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外的一点C，给出如下定义：若CA，CB中一条垂直弦AB，另一条是⊙O的切线，则称点C为弦AB的“垂联点”．
（1）如图，点A（﹣1，0），，．
①在点，C2（﹣1，1），中，弦AB1的“垂联点”是 C1、C ；
②若点C为弦AB2的“垂联点”，直接写出OC的长；
（2）已知点M（0，3），．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S为弦PQ的“垂联点”，设PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据题目中垂联点的定义即可解答；
②根据题目中垂联点的定义分情况讨论计算即可；
（2）分两种情况：①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作直径PT，连接QT，利用勾股定理及三角形面积法即可求得t的值；②当S位于经过点O的MN的垂线上即点K时，如图3，作直径PT，连接TQ，同理求得t的值；即可求得t的取值范围．
【解答】解：（1）①由垂联点的定义可知，若CA，CB中一条垂直弦AB1，另一条是⊙O的切线，则称点C为弦AB的“垂联点”：
点A（﹣1，0），B1（，），C1（﹣1，22），C2（﹣1，﹣1），C3（2，2），
∴C1A，C2A是⊙O的切线，C3A、C3B1与⊙O相切，
∵C1A2＝（22）2＝12﹣8，C1（﹣1）2+（22）2+（﹣1）2+（0）2＝12﹣8，
∴C1A2＝C1，
∴C1B1⊥AB1，
而△AB1C2是钝角三角形，即C2B1与AB1不垂直，
∴C1是弦AB1的“垂联点”，C2不是弦AB1的“垂联点”，
∵C3O2＝（2）2+（2）2＝13﹣8，
C3B1O2＝（2）2+（2）2+（0）2+（0）2＝13﹣8，
∴C3B1O2＝C3O2，
∴C3B1⊥B1O，
∵OB1是⊙O的半径，
∴C3B1是⊙O的切线，
∵C3A2（2+1）2+（2﹣0）2+（﹣1）2+（0）2＝12﹣8，
C3（2）2+（2）2＝12﹣8，
∴C3A2C3，
∴C3A⊥AB1，
∴C3是弦AB1的“垂联点”，
故答案为：C1、C3；
②∵A（﹣1，0），B2（，），点C为弦AB2的“垂联点”，
∴设C（a，b），有以下两种情况：
当CA是⊙O的切线，CB2⊥AB2时，
则a＝﹣1，AC2，
∴（﹣1）2+（b）2+（﹣1）2+（0）2＝b2，
解得：b，
∴C（﹣1，），
∴OC；
当CB2是⊙O的切线，CA⊥AB2时，
则，
解得：，
∴C（，），
∴OC；
综上所述，OC的长为；
（2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“垂联点”，
又∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图2，
①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作直径PT，连接QT，
则PT＝2，PQ＝t，
∵PT是⊙O的直径，
∴∠PQT＝90°，
∴QT，
∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP为⊙O的切线，
∴OP⊥MP，
∴PM2，
根据新定义“垂联点”可知：MQ⊥PQ，
∴∠PQM＝∠MPT＝90°，
∴∠PQM+∠PQT＝180°，
∴M、Q、T三点共线，
在Rt△MPT中，MT2，
∵MT PQ＝PM PT，
∴2t＝22，
∴t；
②当S位于经过点O的MN的垂线上即点K时，如图3，作直径PT，连接TQ，
同理可得T、Q、K三点共线，
∵OK⊥MN，
∴OK MN＝OM ON，
∴OK2，
∵∠TPK＝∠TQP＝∠PQK＝90°，
∵∠MPQ+∠TPQ＝∠MPQ+∠PMQ＝90°，
∴PK，KT，
∵KT PQ＝PK PT，
∴t＝2，
∴t；
∴t的取值范围为t．
变式1．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点A（2，4），二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若x＞0，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于A，B（点A的横坐标小于点B的横坐标）两点，P为抛物线对称轴上一动点．若△PAB是以A为顶点的等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）反比例函数的表达式为y，则点（4，2）也为“和六点”，将点A和点（4，2）代入抛物线表达式得：，即可求解；
（2）观察函数图象，即可求解；
（3）由点A、B、P的坐标得，AP2（m﹣4）2，AB2＝16，则（m﹣4）2＝16，即可求解．
【解答】解：（1）已知反比例函数的图象经过点A（2，4），则k＝2×4＝8，
则反比例函数的表达式为y，则点（4，2）也为“和六点”，
将点A和点（4，2）代入抛物线表达式得：，
解得：，
则二次函数的表达式为：yx2x；
（2）画出函数大致图象如下：
观察函数图象知，的解集为x＞4或0＜x＜2；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，设点P（，m），
由（1）知，点B（4，2），
由点A、B、P的坐标得，AP2（m﹣4）2，AB2＝16，
则（m﹣4）2＝16，
解得：m＝4±，
则点P（，4）或（，4）．
变式2．定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 点A（2，3）和C（﹣3，﹣2） 是函数的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；
（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，则m＝3，满足y＝3x+3，两函数有唯一一个交点，Δ＝0，可解答；
（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为x＝1且y＝2m，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”，再以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，
∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，
∴点A（2，3）是函数y的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，
∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，
∴点C（﹣3，﹣2）是函数y的“1倍点”；
综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y的“1倍点”；
故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；
（2）当m＝3时，y＝3x+3，
∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，
∴3x+3＝﹣x2+bx，
∴x2+（3﹣b）x+3＝0，
∴Δ＝（3﹣b）2﹣4×1×3＝0，
∴b＝3；
（3）∵，
∴，
∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），
如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，
∴AC，
∴102m，
∴m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1或2．
例1．从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0．古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（ ）
A．10 B．100 C．1 D．﹣1
【分析】根据自然数产生的背景分析．
【解答】解：∵一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，
∴这个数是1．
故选：C．
变式1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为+1斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（ ）
A．﹣1斗 B．+1斗 C．﹣8斗 D．+8斗
【分析】根据题意益实一斗（增加1斗）记为+1斗，则损失八斗（减少八斗）记为﹣8斗，即可得到答案．
【解答】解：根据题意益实一斗（增加1斗）记为+1斗，
则损失八斗（减少八斗）记为﹣8斗，
故选：C．
变式2．我们在学习四边形时．先学行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．转化 B．归纳
C．由一般到特殊 D．数形结合
【分析】依据探究过程并结合选项可作出判断．
【解答】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊．
故选：C．
变式3．中国人对方程的研究有着悠久的历史，宋元时期中国古代数学家创立了一种列方程的方法，这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是（ ）
A．天元术 B．四元术 C．正负术 D．割圆术
【分析】由书中所说的“立天元一”，可得出这种古代列方程的方法是天元术．
【解答】解：根据题意得：“立天元一”相当于现在的“设未知数，这种古代列方程的方法是天元术．
故选：A．
例2．【阅读理解】对于任意正实数a、b，∵，∴．
∴只有当a＝b时，．
【获得结论】在、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，当且仅当a＝b时，a+b有最小值．
例如：在x＞0的条件下，，∴，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，有最小值是 4 ；
（2）已知x＞2，则的最小值是 4 ．
（3）已知t＞1，若y，求y的最大值？
（4）已知点Q（﹣8，﹣10）是双曲线y上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
【分析】（1）m＞0，则m24，即可求解；
（2）x＞2，则x﹣2＞0，则2+2≥22＝4，即可求解；
（3）t＞1，则t﹣1＞0，则﹣y（t﹣1）2，即可求解；
（4）由S四边形AQBP＝S△AQP+S△BQP，即可求解．
【解答】解：（1）∵m＞0，则m24，
故答案为：4；
（2）∵x＞2，则x﹣2＞0，
则2+2≥22＝4，
故答案为：4；
（3）∵t＞1，则t﹣1＞0，
则﹣y（t﹣1）2，
故y≤﹣1，
即y的最大值为﹣2；
（4）连接PQ，
点Q（﹣8，﹣10）是双曲线y上，
∴k＝﹣8×（﹣10）＝80，
∴双曲线的解析式为y，
设点P（x，）（x＞0），
∵QA⊥x轴，作QB⊥y轴，
∴S四边形AQBP＝S△AQP+S△BQP
10×（x+8）8×（10）
＝5x80≥280＝120，
∴四边形AQBP的面积的最小值为120．
变式1．在如图的直角三角形中，我们知道sinα，cosα，tanα，∴sin2α+cos2α1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα，求的值．
【分析】（1）利用sinα，cosα，tanα，即可得出sinα，cosα与tanα之间的关系；
（2）利用（1）中所求得出2sinα＝cosα，进而代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵sinα，cosα，tanα，
∴，则tanα；
（2）∵tanα，
∴，
∴2sinα＝cosα，
∴．
变式2．【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】
（1）如图①，点P为⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，割线PC与圆相交于B，C两点，求证：PA2＝PB PC（提示：连结AB，AC，AO，并延长AO交⊙O于点D，连结BD）．
【解决问题】
（2）如图②，PA是⊙O的切线，连结PO交⊙O于点B，⊙O的半径为r．若PA＝r+2，PB＝r﹣2，
求r的值．
【分析】（1）由PA与⊙O相切于点A，可得到∠DAP＝90°，即∠DAB+∠PAB＝90°．由BD是⊙O的直径，得到∠DAB+∠BDA＝90°，所以可推出∠PAB＝∠BDA，再由同弧对应的圆周角相等得到∠BCA＝∠BDA，所以∠PAB＝∠BCA，所以可证得△PAB∽△PCA，即可得到PA2＝PB PC．
（2）延长PO交⊙O于点C，连结AB，AC，由⊙O的半径为r，PB＝r﹣2，所以PC＝PB+BC＝r﹣2+2r＝3r﹣2，由（1）PA2＝PB PC，代入可得到关于r的方程，解方程即可求出r的值．
【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，
∴DA⊥PA，即∠DAP＝90°，
∴∠DAB+∠PAB＝90°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB+∠BDA＝90°，
∴∠PAB＝∠BDA．
∵，
∴∠BCA＝∠BDA，
∴∠PAB＝∠BCA．
∵∠P＝∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴，即PA2＝PB PC．
（2）解：如图，延长PO交⊙O于点C，连结AB，AC．
∵⊙O的半径为r，PB＝r﹣2，
∴PC＝PB+BC＝r﹣2+2r＝3r﹣2．
由（1）可知△PAB∽△PCA，
∴PA2＝PB PC，
∴（r+2）2＝（r﹣2）（3r﹣2），
整理得r2﹣6r＝0，
解得r＝6或r＝0（舍去），
∴r的值为6．
例3．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2；②a2﹣b2；③中，属于对称式的是 ①③ （填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b＝﹣2，ab，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到a2b2，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab，所以原式m2，然后根据非负数的性质可确定的最小值．
【解答】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴a+b＝m，ab＝n．
①a+b＝﹣2，ab，
6；
②a2b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝m2+8
m2，
∵m2≥0，
∴的最小值为．
变式1．定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y＝px+q和反比例函数，则二次函数y＝px2+qx﹣k为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y＝﹣x+3和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数存在“生成”函数y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2015，求m的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标（x1，y1）和（x2，y2）使一次函数y＝ax+2b和反比例函数
为“生成”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c＝0，设L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．（注：一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式为）
【分析】（1）只需将y＝﹣x+3与y组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
（2）根据题意得，解得．然后根据t＜n＜8m求出n的取值范围，进而求出m的取值范围，就可求出整数m的值；
（3）由a＞b＞c，a+b+c＝0可得a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，即可得到（2b）2﹣4ac＞0，﹣2，由题可得x1+x2，x1 x2，从而得到L2，利用二次函数的增减性并结合﹣2即可得到L的取值范围．
【解答】解：（1）联立，
解得或．
则一次函数y＝﹣x+3和反比例函数y存在“生成”函数，
它们的“生成”函数为y＝﹣x2+3x﹣2，实数对坐标为（1，2），（2，1）；
（2）根据题意得：
，
解得：．
∵t＜n＜8m，
∴，
解得6＜n＜24，
∴9＜n+3＜27，
∴13，
∴1＜m＜3．
∵m是整数，
∴m＝2；
（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，
∴（2b）2﹣4ac＞0，﹣2，
∴方程ax2+2bx+c＝0有两个不相等的实根．
由题意可知：x1、x2是方程ax2+2bx+c＝0的两个不等实根，
∴x1+x2，x1 x2，
∴L
，
∵﹣2，
∴L．
变式2．我们规定：关于x的反比例函数y称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）按此规定：一次函数y＝x﹣3的“次生函数”为： ，“再生函数”为： y＝x2﹣3x+2 ；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、（4，）两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x＝1上，且∠CBE＝45°，求点E的坐标．
【分析】（1）先根据y＝x﹣3确定a，b的值，然后根据“次生函数”和“再生函数”的定义即可；
（2）先写出y＝x+b的“再生函数”函数，再根据二次函数的性质列出关于b的式子，求出b即可确定顶点；
（3）①先说明△BCD是直角三角形，然后根据三角函数的定义即可；
②根据E所在的位置分两种情况讨论，然后利用等腰直角三角形的性质求出点E的坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣3的a＝1，b＝﹣3，
∴y＝x﹣3的“次生函数”为，
∴y＝x﹣3的“再生函数”为y＝x2﹣3x+2，
故答案为，y＝x2﹣3x+2；
（2）∵y＝x+b的“再生函数”为：y＝x2+bx﹣（1+b），
又∵y＝x2+bx﹣（1+b）的顶点在x轴上，
∴b2+4（1+b）＝0，
∴解得：b1＝b2＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标为：（1，0）；
（3）①∵y＝ax+b与其“次生函数”的交点为：（1，﹣2）、（4，），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
∴的“再生函数”为：，
令y＝0，则，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，2），
如图，过点C作CH∥x轴交直线x＝1于点H，
∵D（1，3），C（0，2），
∴CH＝DH＝1，
∴∠CDH＝45°，
又∵AD＝AB＝3，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CDB＝90°，
∵CD，BD，
∴；
②如图，若点E在x轴的下方，
∵∠CBE＝∠ABD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
又∵∠EAB＝∠CDB＝90°，
∴△CBD∽△EBA，
∴，
∴，
∴AE＝1
∴E（1，﹣1）；
如图，若点E在x轴的上方，
过点C作CM⊥CB，交BE于点M，
过点M作MN⊥y轴于点N，
∵∠CBE＝45°，∠BCM＝90°，
∴BC＝CM，
∵∠BCO+∠MCN＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠MCN＝∠OBC，
∵∠MNC＝∠BOC＝90°，
在△BOC≌△MNC中，
，
∴△BOC≌△MNC（AAS），
∴MN＝OC＝2，NC＝OB＝4，
∴M（2，6），
设直线BM的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，∴直线BM的表达式为：y＝﹣3x+12，
把x＝1代入得：y＝9，
∴E（1，9），
综上：点E的坐标为E（1，﹣1）或E（1，9）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
