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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 图表信息类 ★★★★ 题型结构：图表信息类：侧重统计图表分析，如数据趋势解读、概率计算，常与实际问题结合。方案决策类：占比约15%，以开放题为主，需结合不等式、函数建模等工具进行多方案对比与优化。情景应用类：融入生活场景（如电路图分析、动态几何问题），强调模型抽象与转化能力。学科渗透类：与物理、化学等学科交叉（如电阻计算、实验数据分析），考查综合思维。 难度与分值
整体难度中高，以解答题为主（单题分值6-10分）。基础题侧重图表信息（易错点），综合题聚焦情景应用与跨学科渗透（区分度关键）。学用结合类总分占比约50%，体现“重应用、强综合”的命题导向。
考向2 方案决策类 ★★★★
考向3 情景应用类 ★★★★
考向4 学科渗透类 ★★★★
知识点分布：
统计图表分析：频数分布直方图、扇形统计图、折线图的数据提取与解读。
函数图像应用：一次函数、二次函数、反比例函数图像的实际意义分析。
数式规律探究：通过观察数列、式子的变化规律，归纳通项公式或表达式。
解题思路：
步骤1：提取图表中关键数据（如极值、变化趋势、比例关系）。
步骤2：联系数学模型（如等差数列、等比数列、分段函数）分析规律。
步骤3：结合验证法排除干扰选项，确保结论符合所有数据特征。
知识点分布：
方程与不等式：通过建立方程或不等式模型，优化资源配置问题。
函数最值问题：利用二次函数顶点式或配方法求利润最大、成本最小等最优化问题。
概率与统计：评估不同方案的风险或可行性（如概率分析法）。
解题思路：
步骤1：明确问题中的变量与约束条件（如时间、成本、数量限制）。
步骤2：构建数学模型（如线性规划、方程组），对比方案的数学表达式。
步骤3：结合实际情况验证合理性，注意边界条件（如整数解）。
知识点分布：
几何建模：如液体深度计算（勾股定理）、运动轨迹分析（圆与直线位置关系）。
实际场景转化：将文字描述转化为数学问题（如工程进度、行程问题）。
动态探究：图形旋转、折叠中的变量关系分析（如圆与四边形结合的动态问题）。
解题思路：
步骤1：提取关键信息，抽象为几何图形或代数关系（如设未知数、画示意图）。
步骤2：应用数学定理（如勾股定理、相似三角形）建立方程或不等式。
步骤3：结合验证法排除不符实际的解。
知识点分布：
物理结合：如光学反射路径（对称性）、力学中的杠杆平衡（比例关系）。
化学结合：溶液浓度计算（百分比）、反应速率（函数图像分析）。
生物结合：种群增长模型（指数函数）、遗传概率问题。
解题思路：
步骤1：识别跨学科知识交叉点（如化学溶液问题中的体积与浓度关系）。
步骤2：提炼数学核心模型（如浓度公式转化为分式方程）。
步骤3：结合学科特性检验结果的合理性（如浓度不可为负值）。
图表信息类需强化数据敏感性，关注“变与不变”规律；
方案决策类需熟练数学建模，对比不同方案的临界条件；
情景应用类需提升实际问题抽象能力，重点突破几何动态问题；
学科渗透类需拓展跨学科知识储备，注重数学工具的应用场景迁移。
例1.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类；B．文艺类；C．社会实践类；D．体育类”．现随机抽取了九年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 50 名；
（2）抽取的样本中，学生选择“B．文艺类”有 12 名；扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 72 度；
（3）若该校九年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了九（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数；
（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；
（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），
故答案为：50；
（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），
扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；
故答案为：12；72；
（3）名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率．
变式1.2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级一共 200 人，其中B类所对应的圆心角为 144° ；并将条形统计图补充完整．
（2）若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．
（3）现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．
【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到全年级人数，再利用360°乘以B类人数所占的百分比得到B类所对应的圆心角的度数，然后计算出C类人数后补全条形统计图；
（2）用500乘以D类人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所20种等可能的结果，再找出男生、女生各一人的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）20200（人），
所以九年级一共200人；
B类所对应的圆心角＝360°144°；
C类人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（人），
条形统计图补充为：
（2）500100（人），
估计全校有D类学生100人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中男生、女生各一人的结果数为12，
所以恰好选到男生、女生各一人的概率．
变式2.成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
类别 时长t（单位：小时） 人数
A t＞3 4
B 2＜t≤3 20
C 1＜t≤2
D 0＜t≤1 8
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 50人 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 144 °．
（2）该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；
（3）本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
【分析】（1）用表格中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查的学生总人数；用360°乘以B类别的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中C的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人）．
扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是360°144°．
故答案为：50人；144．
（2）1200×36%＝432（人）．
∴估计类别为C的学生人数约432人．
（3）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种，
∴恰好抽到两名女生的概率为．
例2.观察表格，估算一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x﹣1 ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个近似解x的范围是（ ）
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
【分析】分析表格数据即可求解．
【解答】解：由表格中数据可知，x逐渐增大，y也随着增大，
当x从1.6增大到1.7时，y从负数为整数，
∴使得y＝0的x在1.6到1.7之间．
故选：C．
变式1.根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
变式2.小颖在探索一元二次方程x2+x﹣7＝0的近似解时作了如下列表的计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x 0 1 2 3
x2+x﹣7 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据表格中的数据，可以发现：x＝2时，x2+x﹣7＝﹣1；x＝3时，x2+x﹣7＝5，由﹣1更接近于0即可得出结论．
【解答】解：当x＝2时，x2+x﹣7＝﹣1；x＝3时，x2+x﹣7＝5．
∵﹣1更接近于0，
∴方程的一个近似根为2．
故选：C．
例3.按下面的程序计算：
如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】当输入数字为x，输出数字为150时，4x﹣2＝150，解得x＝38；当输入数字为x，输出数字为38时，得到4x﹣2＝38，解得x＝10，当输入数字为x，输出数字为10时，4x﹣2＝10，解得x＝3，当输入数字为x，输出数字为3时，4x﹣2＝3，解得x不合题意．
【解答】解：当4x﹣2＝150时，解得；x＝38；
当4x﹣2＝38时，解得；x＝10；
当4x﹣2＝10时，解得；x＝3；
当4x﹣2＝3时，解得；x不合题意．
故符合条件的x的值有3个．
故选：C．
变式1.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为16时，输出的数为 ．
【分析】把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到无理数即可．
【解答】解：4，4是有理数，
2，2是有理数，
2的算术平方根是，是无理数，
故答案为：．
变式2.按下面的程序计算：
若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有 2 种．
【分析】由5x+1＝556，解得x＝111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的
x值满足5x+1＝111，最后输出的结果也为556，可解得x＝22；当开始输入的x值满足5x+1＝22，最后输出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．
【解答】解：∵输出的结果为556，
∴5x+1＝556，解得x＝111；
而111＜500，
当5x+1等于111时最后输出的结果为556，
即5x+1＝111，解得x＝22；
当5x+1＝22时最后输出的结果为556，
即5x+1＝22，解得x＝4.2（不合题意舍去），
所以开始输入的x值可能为22或111，即开始输入的x值可能有2种．
故答案为：2．
例4．公园门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．
经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
【分析】若设初一（1）班有x人，根据总价钱即可列方程；
第二问利用算术方法即可解答；
第三问应尽量设计的能够享受优惠．
【解答】解：（1）设初一（1）班有x人，
则有13x+11（104﹣x）＝1240或13x+9（104﹣x）＝1240，
解得：x＝48或x＝76（不合题意，舍去）．
即初一（1）班48人，初一（2）班56人；
（2）1240﹣104×9＝304，
∴可省304元钱；
（3）要想享受优惠，由（1）可知初一（1）班48人，只需多买3张，
51×11＝561，48×13＝624＞561，
∴48人买51人的票可以更省钱．
变式1.某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定．享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超 过10000元的部分 超过10000元的 部分
报销 比例标准 不予报销 70% 80%
（1）甲农民一年的实际医疗费为3000元，则按标准报销的金额为 1750 元；乙农民一年的实际医疗费为12000元，则按标准报销的金额为 8250 元；
（2）设某农民一年的实际医疗费为x元（500＜x≤10000），按标准报销的金额为多少元？
（3）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费﹣按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
【分析】（1）根据该医疗报销比例，可以直接求出医疗费分别为3000元和12000元时，分别报销金额；
（2）当实际医疗费为x元（500＜x≤10000）时，按标准报销的金额为：（x﹣500）×70%；
（3）要求该农民当年实际医疗费用，应先设实际医疗费为y元，根据自付医疗费2600元＝实际医疗费﹣按标准报销的金额，这个等量关系列出方程求解．
【解答】解：（1）甲农民一年的实际医疗费为3000元，则按标准报销的金额为：（3000﹣500）×70%＝1750元；
乙农民一年的实际医疗费为12000元，
则按标准报销的金额为：（10000﹣500）×70%+（12000﹣10000）×80%＝8250元；
（2）由题意得：某农民一年的实际医疗费为x元（500＜x≤10000），
按标准报销的金额为：（x﹣500）×70%＝0.7（x﹣500）元；
（3）设该农民当年实际医疗费为y元，由题意得：
当该农民当年实际医疗费为10000元时：该农民自付费用为：10000﹣0.7（10000﹣500）＝3350元，
所以：500＜y＜10000元，
即：y﹣0.7（y﹣500）＝2600，解得，y＝7500元．
所以，该农民当年实际医疗费为7500元．
变式2.江山实验中学为全体学生办理了“学生团体住院医疗保险”．保险公司按下表级距分段计算给付“住院医疗保险金”．
级数 被保人住院医疗费用级距 保险公司付比例
1 1000元及以下部分 55%
2 1000元以上至4000元部分 60%
3 4000元以上至7000元部分 70%
4 7000元以上至10000元部分 80%
5 10000元以上至30000元部分 90%
6 30000元以上部分 95%
在保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过 6000元的部分，保险公司按100%的标准给付．
（1）小毛同学在一次打篮球时不慎意外受伤，并住院治疗，总共化去医疗费用3500元，问小毛同学可以收到保险公司的保险金有多少元？
（2）小蔡同学也生病住院，住院治疗期间，老师同学都去探望．出院后，保险公司根据他所化去的住院治疗费用给他送来了3120元保险金，你能知道小蔡共化去多少元住院治疗费吗？
（3）刘倩同学因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，刘倩的父母还共付医疗费3 000元．请问保险公司为刘倩同学给付了保险金多少元？
【分析】（1）根据小毛的医疗费是3500，应该属于2级别，可根据保险金＝1000元部分的报销额+2500元部分的报销额来求出小毛的保险金是多少．
（2）要根据3120元保险金先判断小蔡的住院费大致是多少，然后按列表中给出的相应的报销比例，根据保险金是3120元列出方程求解．
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）1000×55%+2500×60%＝2050．（元）
故小毛的保险金是2050元．
（2）∵1000×55%+3000×60%＝2350（元），3120＞2350元，
∴小蔡的住院费应在4000﹣7000之间．
设他的住院费为x元．由题意可得：2350+（x﹣4000）×70%＝3120，
解得：x＝5100．
故小蔡的住院费为5100元．
（3）当住院费用为7000元时，自付的费用为：7000﹣（2350+3000×70%）＝2550＜3000元．
∴刘倩的住院费应该在7000﹣10000之间，
可设他的住院费是x元．由题意可得：4450+（x﹣7000）×80%＝x﹣3000，
解得：x＝9250．
支付的保险金是9250﹣3000＝6250元
故刘倩的保险金是6250元．
例1.宜宾某商店决定购进A．B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解得x和y的值即可；
（2）设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100﹣t）件，由题意得关于t的不等式，解得t的范围，再由t为正整数，可得t的值，从而方案数可得；
（3）分别写出三种方案关于a的利润函数，根据一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，
根据题意得：
解得：
答：购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元．
（2）设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100﹣t）件，
由题意得：750≤5t+500≤764
解得50≤t
∵t为正整数
∴t＝50，51，52
∴有三种方案．
第一种方案：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件．
（3）第一种方案商家可获利：w＝50a+50（5﹣a）＝250（元）；
第二种方案商家可获利：w＝51a+49（5﹣a）＝245+2a（元）；
第三种方案商家可获利：w＝52a+48（5﹣a）＝240+4a（元）．
当a＝2.5时，三种方案获利相同；
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多；
当2.5＜a≤5时，方案三获利最多．
变式1.某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人）
每车租金 （元∕天） 900 800 550
则租车一天的最低费用为 1450 元．
【分析】将68名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解．
【解答】解：依题意得：
租车费用最低的前题条件是将68名师生同时送到目的地，其方案如下：
①全部一种车型：
小巴车26座最少3辆，其费用为：3×550＝1650元，
中巴车39座最少2辆，其费用为：2×800＝1600元，
大巴车55座最少2辆，其费用为：2×900＝1800元
∵1600＜1650＜1800，
∴同种车型应选取中巴车2辆费用最少．
②搭配车型：
2辆26座小巴车和1辆39座中巴车，其费用为：550×2+800＝1900元，
1辆26座小巴车和1辆55座大巴车，其费用为：550+900＝1450元，
1辆39座中巴车和1辆55座大巴车，其费用为：800+900＝1700元，
∵1450＜1700＜1900，
∴搭配车型中1辆26座小巴车和1辆55座大巴车最少．
综合①、②两种情况，费用最少为1450元．
故答案为1450．
变式2.某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价＝1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价＝1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
【解答】解：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得．
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m+4）件，
可得：，
解之得，
∵m为正整数，
∴m＝10、11、12，2m+4＝24、26、28．
答：有三种进货方案：
（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
例2.一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断
【分析】方案一中，通过图可知四个小直角三角形全等，用矩形面积减去4个小直角三角形的面积，即可得菱形面积；方案二中，两个小直角三角形全等，设菱形边长为x，在直角三角形中利用勾股定理可求x，再利用底×高可求菱形面积．然后比较两者面积大小．
【解答】解：方案一中，
∵E、F、G、H都是矩形ABCD的中点，
∴△HAE≌△HDG≌△FCG≌△FBE，
S△HAEAE AHABAD512，
S菱形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△HAE＝12×54＝30；
方案二中，设BE＝x，则CE＝AE＝12﹣x，
∵AF＝EC，AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
在Rt△ABE中，AB＝5，BE＝x，AE＝12﹣x，由勾股定理得（12﹣x）2＝52+x2，解得x，
S△ABEBE AB5，
S菱形EFGH＝S矩形ABCD﹣2S△ABE＝12×52≈60﹣25＝35＞30，
故甲＜乙．
故选：B．
变式1.如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．
【分析】（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；
（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；
（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开大树，可以取三角形ABC三边中点和点C为顶点构成一个矩形，这个矩形面积也达到最大．
【解答】解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB10，
∵S△ABCBCAB CI，
∴6×810×CI，
∴CI＝4.8；
∴△ABC中AB边上的高h＝4.8．
（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，
∴，
∴，
∴GF＝10，
∵100，
∴0＜x，
设水池的面积为y，则
y＝x（10）x2+10x，
当x2.4时，水池的面积最大；
（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：CI＝BE：BI，
又∵FE＝2.4，CI＝4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI＝3.6，
∴BE1.8，
∵BE＝1.8＜1.85，
∴这棵大树在最大水池的边上．
为了保护这棵大树，设计方案如图：
变式2.如图所示，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m），现有篱笆长24m．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为32m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比32m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）求出S＝AB×BC代入即可；
（2）求出方程﹣4x2+24x＝32的解即可；
（3）把解析式化成顶点式，求出顶点的坐标即可得到答案．
【解答】（1）解：BC＝24﹣4x，
∴S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x，
答：S与x之间的函数关系式是S＝﹣4x2+24x．
（2）解：当S＝32时，﹣4x2+24x＝32，
解得x1＝2，x2＝4，
∵墙的最大可利用长度为10m，
∴，
∴x1＝2舍去，x＝4，
即花圃的宽AB为4m，
答：如果要围成面积为32m2的花圃，AB的长是4米．
（3）解：∵S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
∴当x＞3时，S随x的增大而减小，
∵，
∴
∴能围成面积比32m2更大的花圃，最大面积为35m2，
方案：∵，∴花圃的长为10米，宽为3.5米，
答：能围成面积比32m2更大的花圃，最大面积是35m2，方案是花圃的长为10米，宽为3.5米．
例1.综合与实践
【问题情景】
某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表：
A B
每月基本服务费（元） 20 40
免费通话时间（min） 0 150
通话每分钟收费（元） 0.2 0.3
备注 B类收费：当通话时长小于等于150min时每月费用固定40元；当通话时长超过150min时，超出部分每分钟加收0.3元．
【问题解决】
（1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象．
（2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为200min，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？
（3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案．
【分析】（1）A类收费方案下每月应缴费用y＝每月基本费用+0.2×通话时间；当0≤x≤150时，B类收费方案下每月应缴费用y＝40，当x＞150时，B类收费方案下每月应缴费用y＝40+0.3×超过150分钟的时间，进而根据取值范围和交点画出相关图形即可；
（2）取x＝200，代入（1）中得到的函数解析式，求得对应的y的值，比较即可；
（3）结合函数图象分别得到两种方式付费相同，A种付费方式合算，B种付费方式合算三种情况下相对应的通话时间即可．
【解答】解：（1）A类收费方案下每月应缴费用：y＝20+0.2x；
B类收费方案下每月应缴费用：
当0≤x≤150时，y＝40；
当x＞150时，
y＝40+0.3（x﹣150）＝0.3x﹣5；
（2）当x＝200时，A类收费方案下每月应缴费用：y＝20+0.2×200＝60；
B类收费方案下每月应缴费用：y＝0.3×200﹣5＝55，
∵60＞55，
∴B类收费方案更划算；
（3）由函数图象可得：当通话时间为100分和250分时，两种方式付费相同；
当通话时间小于100分或超过250分时，A类收费方式合算；
当通话时间超过100分小于250分时，B类收费方式合算．
变式1.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店：在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆：在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校：回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykbm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间n 0.1 0.5 0.8 1 3
高单物的距离/h＝ 2
10
12
12
20
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 8 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 3 h；
③季华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 28 km/h；
④当李华离学校的距离为40m时，他离开学校的时间为 0.002或 h．
（3）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（1）离开学校0.5h，离学校距离为0.510（km），由图象知离开学校0.8h，离学校距离为12km；离开学校3h，离学校距离为20km；
（2）①由书店离学校12km，陈列馆离学校20km可得答案；
②由图象直接可得李华在陈列馆参观学习的时间为3h；
③用路程除以时间可得李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28km/h；
④分两种情况列式计算可得答案；
（3）分三种情况，分别求出y与x的函数表达式即可．
【解答】解：（1）离开学校0.5h，离学校距离为0.510（km），
由图象知离开学校0.8h，离学校距离为12km；离开学校3h，离学校距离为20km；
故答案为：10，12，20；
（2）①∵20﹣12＝8（km），
∴书店到陈列馆的距离为8km，
故答案为：8；
②∵4.5﹣1.5＝3（h），
∴李华在陈列馆参观学习的时间为3h，
故答案为：3；
③∵（20﹣6）÷0.5＝28（km/h），
∴李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为28km/h，
故答案为：28；
④∵40m＝0.04km，0.040.002（h），
∴离开学校0.002h时，李华离学校的距离为40m，
∵5.5﹣0.04（h），
∴离开学校h时，李华离学校的距离为40m，
故答案为：0.002或；
（3）当0≤x≤0.6时，yx＝20x；
当0.6＜x≤1时，y＝12；
当1＜x≤1.5时，y＝12（x﹣1）＝16x﹣4；
∴y．
变式2.【综合与实践】
【问题情景】六堡茶属黑茶类，选用苍梧县群体种、广西大中叶种及其分离、选育的品种、品系茶树的鲜叶为原料，按特定的工艺进行加工，具有独特品质特征的黑茶，喝过六堡茶的人都会对它的“中国红”情有独钟，六堡茶业界认为，必须以“中国红”的文化韵味和民族特色为准则，使六堡茶走上复兴之路．
【实践探究】某商店经销某种品牌六堡茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
【问题解决】解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌六堡茶获得的利润W元的最大值．
【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（56，128）和（65，110）分别代入得：
，解得：．
∴y与x的关系式为y＝﹣2x+240；
（2）由题意知：W＝（x﹣50） y＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴W与x的关系式为：W＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴W＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＝85时，在50＜x＜90内，W的值最大为2450元．
例2.【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有30°角的直角三角形，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如.如图1．
【尝试类比】sin15°的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有15°角的直角三角形．如图2．填空，tan15°＝ 2 ．
【方法探究】cos36°的值怎么求呢？如图3，小明同学借助于黄金三角形（顶角是36°的等腰三角形）△ABC和△BCD，解决了问题．请你给出小明的解答过程．
【拓展应用】如图4是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下：
（1）作⊙C．
（2）作直径AB．
（3）过点C作直径AB的垂线交⊙C于点P．
（4）作线段BC的垂直平分线交BC于点D．
（5）以点D为圆心，以DP长为半径作弧交AB于点E．
（6）以点P为圆心，以PE长为半径作弧交⊙C于点F．
（7）在⊙C上依次截取等于PF的弦FG，GH，HL，连接PL，就可以作出圆内接正五边形PFGHL．
请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形PFGHL是圆内接正五边形PFGHL．
【分析】【尝试类比】如图，设参求解即可；
【方法探究】由题易得△ABC、△ABD、△BCD都是等腰三角形，然后构造直角三角形，设参求解即可；
【拓展应用】要证五边形PFGHL是圆内接正五边形PFGHL就是要证PF＝FG＝GH＝HL＝LP，∠PFG＝∠FGH＝∠GHL＝∠HLP＝∠LPF，根据作图方法以及条件易得，进而可知∠KCF＝36°，所以∠PCF＝36°×2＝72°，进而即可得证．
【解答】【尝试类比】解：如图，
∵∠A＝∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝30°，BD＝AD，
设BC＝x，则BD＝AD＝2x，
∴CDx，
∴AC＝CD+AD＝（2）x，
∴tan15°2，
故答案为：2；
【方法探究】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
设AB＝1，CD＝x，则AD＝1﹣x，
∵在△ABC和△BCD中，AB＝AC，BC＝BD，∠A＝∠DBC＝36°，
∴∠C＝∠ABC＝∠BDC＝72°，∠A＝∠DBA＝36°，
∴△ABC∽△BCD，AD＝BD＝1﹣x＝BC，AE＝0.5，BE＝0.5，
∴
∴，
解得，
经检验，均为原方程的根，
但AC＞CD，
∴x＜1，
∴，
即，
∴．
【拓展应用】证明：如图，连接FC，过点C作 CK⊥PF于点K，
∵CP＝CF，
∴，∠PCF＝2∠KCF．
设⊙C的半径为2，由作法知，，∠PCD＝90°，
∴，
∴，
连PE，则，
∴．
在Rt△FKC中，，
∴，
由上一问，∠KCF＝36°，
∴∠PCF＝36°×2＝72°，
由作法，PF＝FG＝GH＝HL，
∴，
连接CG，CH，CL，
∴∠PCF＝∠PCG＝∠GCH＝∠HCL＝72°，
∴∠PCL＝360°﹣4×72°＝72°＝∠PCF，
∴，
∴PL＝PF，
∴PF＝FG＝GH＝HL＝LP，
∴∠PFG＝∠FGH＝∠GHL＝∠HLP＝∠LPF，
∴五边形PFGHL是正五边形．
变式1.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是 △ACE ，∠BDC的度数为 40° ．
（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，其中∠BAE＝∠CAD＝90°，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O．
①证明：CE＝BD且CE⊥BD；
②若DC与BC在同一直线上，如图3，延长DA与CE交于点F，连接BF并延长，BF的延长线与边AE交于点G，且AF＝AG，若△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABG的面积为6，求线段EG的长．
【分析】（1）利用SAS证明△DAB≌△EAC，得出∠ABD＝∠ACE，结合三角形外角的性质即可得出∠BDC＝∠BAC，即可求解；
（2）①利用SAS证明△CAE≌△DAB，得出CE＝BD，∠ACE＝∠ADB，然后利用三角形外角的性质即可得出CE⊥BD；
②利用①中△CAE≌△DAB，得出∠ACE＝∠D＝45°，则可求∠CFD＝∠ACE，利用等角对等边得出AF＝AC，可得出AG＝AC，由△ABG的面积可求AB AG＝12，由△ABE和△ACD的面积之和为20，可求AB2+AC2＝40，利用完全平方公式变形求出AB+AC＝8，|AB﹣AC|＝4，求出AB、AC，进而求出AG，即可求解．
【解答】（1）解：如图1中，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠DEB＝AEC，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°，
故答案为：△ACE，40°；
（2）①证明：∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴AB＝AE，AC＝AD，
∵∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△DAB中，
，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB，
∴∠DOE＝∠DCE+∠BDC
＝∠CDB+∠ACE+∠ACD
＝∠CDB+∠ADB+∠ACD
＝∠ADC+∠ACD＝90°，
∴CE⊥BD；
②解：∵△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，
∴AB2+AC2＝40，∠ACD＝∠D＝45°，∠BAE＝∠CAD＝90°，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠CAF＝180°﹣90°＝90°，
∵△CAE≌△DAB，
∴∠ACE＝∠D＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴∠CFD＝90°﹣∠D＝45°，
∴∠CFD＝∠ACE，
∴AF＝AC，
∵AF＝AG，
∴AG＝AC，
∵△ABG的面积为6，∠BAG＝90°，
∴，即AB AG＝12，
∴AB AC＝12，
∴（AB+AC）2＝AB2+AC2+2AB AC＝40+24＝64，
∵AB+AC＞0，
∴AB+AC＝8，
∵（AB﹣AC）2＝AB2+AC2﹣2AB AC＝40﹣24＝16，
∴|AB﹣AC|＝4，
∵∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACB＞∠ABC，
∴AB＞AC，
∴AB﹣AC＝4，
∴AB＝6，AC＝2，
∴AE＝6，AG＝2，
∴EG＝AE﹣AG＝6﹣2＝4．
变式2.【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，小红对小波说：“图中线段BD、DE和EC有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF，连接EF，就能证出BD2+EC2＝DE2．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若，则BD＝ 3 ；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，AB＝AD，∠ACD＝45°，若，你知道AC的长吗？”，小红会意点了头．小红的答案是AC＝ ．
【分析】（1）①由题意得，BD+DE＝8，根据BD2+42＝（8﹣BD）2，即可求解；
②△ABD绕点A逆时针转 90°得到△ACF，连接 EF，则△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，推出CF＝BD，AF＝AD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∠FCE＝90°；再证△FAE≌△DAE，得EF＝ED，即可求解；
（2）作AG⊥CD，由题意求得，CD＝8；根据∠ACD＝45°，可推出AG＝CG；根据DG2+AG2＝AD2，得到关于AG的方程，即可求解；
【解答】（1）①解：∵，
∴，
∵CE＝4，
∴BD+DE＝8，
∵BD2+EC2＝DE2，
∴BD2+42＝（8﹣BD）2，
解得：BD＝3，
故答案为：3；
②证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°；
∵△ABD绕点A逆时针旋转 90°得到△ACF，连接EF，如图1：
则△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，
∴CF＝BD，AF＝AD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∠CAF＝∠DAB，
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°；
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°﹣∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠DAB+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴EF＝ED；
∵CF2+CE2＝EF2，
∴BD2+EC2＝DE2；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2：
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BCD＝90°，
∴；
∵∠ACD＝45°，AG⊥CD，
∴∠CAG＝45°，
∴AG＝CG，
∴DG＝CD﹣CG＝CD﹣AG＝8﹣AG；
∵DG2+AG2＝AD2，
∴，
解得：AG＝1或AG＝7，
∵，
∴或，
在△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝45°+∠BDC＞45°，
∴AC＞AD，
∴，
故答案为：．
例3.列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
“元旦”大酬宾：跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠．
她付的钱怎么比我还少？
（1）填表：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b＞10）
付款数（元）
125
260
25a
20b
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
【分析】（1）根据“跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠”，分别求解即可；
（2）设小明买了x根，则小红买了（x+2）根，由题意易知x≤10，x+2＞10，然后列出关于x的方程并求解，即可获得答案．
【解答】解：（1）购买跳绳数5根，则付款数为5×25＝125元，
因为13＞10，
所以购买跳绳数13根，则付款数为13×25×0.8＝260元，
购买跳绳数a（a≤10）根，则付款数为25a元，
购买跳绳数b（b＞10）根，则付款数为25b×0.8＝20b元，
故可填表如下，
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b＞10）
付款数（元） 125 260 25a 20b
故答案为：125；260；25a；20b；
（2）可能，理由如下：
设小明买了x根，则小红买了（x+2）根，
由题意x≤10，x+2＞10，
所以25（x+2）×0.8+5＝25x，
解得x＝9（根），
所以x+2＝11（根）．
答：小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，这种情况有可能，此时小明买了9根，则小红买了11根．
变式1.在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
票价 成人：每张35元； 学生：按成人票价5折优惠； 团体票（16人以上含16人）：按成人票6折优惠．
大人门票是每张35元．学生门票是5折优惠．我们一共12人，共需350元． 爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱．
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
【分析】（1）根据“一共12人，共需350元”列方程求解；
（2）计算当购买16张门票时的花费．再比较大小．
【解答】解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则（12﹣x）个学生，
则：35x+17.5×（12﹣x）＝350，
解得：x＝8，
∴12﹣x＝4，
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生；
（2）购买16张门票更省钱；
理由：当买16张票需要花费：16×35×0.6＝336（元），
∵336＜350，
所以购买16张门票更省钱．
变式2.如图是两张不同类型火车的车票：（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
（1）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km．
【分析】（1）根据两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）先设高铁出发m小时，两车相距100km，然后即可列出相应的方程，再求解即可．
【解答】解：（1）设A，B两地之间的距离为x km，
由题意可得：1，
解得x＝600，
答：A，B两地之间的距离为600km；
（2）设高铁出发m小时，两车相距100km，
200（m+1）﹣300m＝100，
解得m＝1，
11+1＝12，
即12：00时两车相距100km．
例1.最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 …
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式；
（2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？
【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值．
（2）将p＝5×104Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积．
【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102，
∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
（2）将p＝5×104Pa代入，p时，S＝9.6×10﹣3，
∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为9.6×10﹣3平方米．
变式1.如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
【分析】结合所给图形及物理知识判断所给选项是否正确即可．
【解答】解：由图2可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故A正确，不符合题意；
小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强，结合图3可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，B正确，不符合题意；
设F＝km，
∵经过点（30，300），
∴300＝30m，
解得：m＝10，
∴F＝10m，
当m＝50时，F＝500N，
当m＝70时，F＝700N，
∵木板面积为0.2m2，
∴小明对木板的压强P12500Pa，
小亮对木板的压强P23500Pa，
∵3500﹣2500＝1000Pa，
∴当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa．
∴C正确，不符合题意；
由题意得：小明对木板的压强P1，小亮对木板的压强P2，则四边形ANQP的面积＝700﹣500＝200，也说明小明对木板的压力为500N，小亮对木板的压力＝700N，那么小明、小亮两人对木板的压力相差200N，故D错误，符合题意．
故选：D．
变式2.如图，某人对地面的压强p（单位：N/m2）与这个人和地面接触面积S（单位：m2）满足反比例函数关系．
（1）图象上点A坐标为（10，80），求函数解析式和这个人的体重．
（2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400cm2，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
（3）如果某一沼泽地面能承受的最大压强为320N/m2，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？
【分析】（1）依题意可得P关于S的函数解析式为，然后将点（10，80）代入函数光系数求出P的值即可得函数解析式和个人的体重；
（2）先求出双脚站立时对地面的接触面积S＝S＝800×10﹣4m2，然后将其代入到函数的解析式求出P即可；
（3）将F＝320N/m2代入函数的解析式求出S即可．
【解答】解：（1）由图示图象可知：P关于S的函数解析式为：，
∵点（10，80）在函数上，
∴F＝10×80＝800，
∴P关于S的函数解析式为：，
∴这个人的体重G＝800N．
答：函数解析式为，这个人的体重800N．
（2）∵2×400cm2＝800×10﹣4m2，
∴对于，当S＝800×10﹣4m2时，Pa，
答：人双脚站立时对地面的压强为104Pa，
（3）对于，当F＝320N/m2，m2．
答：木板面积至少为2.5m2．
例2.【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压U＝12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为 x≥2或x＝0
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3，b
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5），在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，，
即当x≥0时，的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
变式1.如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1＝2Ω，R2＝8Ω．当Rx＝4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？（ ）
A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
【分析】根据，R1＝2Ω，R2＝8Ω，Rx＝4Ω，求出Ry＝4Ω，因为将Ry减小3Ω，故把Ry＝1Ω代入算出调整后的Rx＝16Ω，即可作答．
【解答】解：∵，R1＝2Ω，R2＝8Ω，Rx＝4Ω，
∴，
∴Ry＝4Ω，
∵将Ry减小3Ω，
∴调整后的Ry＝1Ω，
∵电流表示数才能为0，
∴，
则，
解得Rx＝16Ω，
∴16Ω﹣4Ω＝12Ω，
即Rx增大12Ω，
故选：A．
变式2.综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：1×9，2×8，…，8×2，9×1．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 5×5 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：11×19，12×18，…，18×12，19×11．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 15×15 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想．
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Rap＝xΩ，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
【分析】【问题背景】（1）、（2）由题意计算最大值，即可求解；
【初步探讨】设第一个数为x，则另一个数为30﹣x，它们的积为y，则有y＝x（30﹣x）＝﹣（x﹣15）2+225，即可求解；
【实践应用】（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，进而求解．
【解答】解：【问题背景】（1）5×5＝25为最大，
故答案为：5×5；
（2）15×15＝225为最大，
故答案为：15×15；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．
证明：设第一个数为x，则另一个数为30﹣x，它们的积为y，
则有y＝x（30﹣x）＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，则抛物线开口向下，
∴当x＝15时，y取最大值，为225，
此时这两数分别为15及30﹣15＝15，两数相等，
∴当这两数相等时，它们的乘积最大；
【实践应用】（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，则
，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小．
设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25．
∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5，
∴当x＝3时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为2+3＝5（Ω）和8
﹣3＝5（Ω），两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
例3.如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB的调节角（∠ABC）的调节范围为10°～72°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝30°，则反射光束DE与天花板所形成的角（∠DEF）不可能取到的度数为（ ）
A．52° B．25° C．175° D．7°
【分析】本题主要从入射角等于反射角，根据∠ABC的范围，先求出∠PDE的范围，从而再利用三角形内角和求∠DEF的范围即可．
【解答】解：如图，作DH⊥AB，
∵∠ABC的调节范围为10°～72°，
∵∠DFE＝30°，
∴当∠ABC＝60°时，PD⊥AB，
①当10°≤∠ABC＜60°时，
∠PDE＝2∠PDH＝2[90°﹣（30°+∠ABC）]＝120°﹣2∠ABC，
∴∠DEF＝180°﹣∠PDE﹣∠EFD＝30°+2∠ABC，
∴50°≤∠DEF＜150°，
②当60°＜∠ABC≤72°时，
∠PDE＝2∠ABC﹣120°，
∴∠DEF＝180°﹣150°﹣∠PDE＝150°﹣2∠ABC，
∴6°≤∠DEF＜30°，
综上，50°≤∠DEF＜150°或6°≤∠DEF＜30°，
故选：C．
变式1.如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α
【分析】连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，由此可以证明∠O＝∠ABO+∠DCO．
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
变式2.项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°）；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组α和β的值；
（4）数据分析，形成结论．
α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
β 160° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20°
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
（1）根据表中信息可知，β是α的 一次 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），β与α的函数关系式为 β＝﹣2α+180° （0°＜α＜90°）；
（2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
【分析】（1）由表格中的数据可得：随着α度数的增加，β的度数逐渐减小，那么β是α的一次函数，设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得k和b的值，即可求得β和α的函数解析式；
（2）由物理知识可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而根据三角形的内角和是180°及平角的知识判断出β和α之间的关系即可．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得：随着α度数的增加，β的度数逐渐减小，那么β是α的一次函数．
设β＝kα+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴β＝﹣2α+180．
故答案为：一次，β＝﹣2α+180°（或 β＝180°﹣2α）；
（2）
∵∠1＝∠2，
∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，
∴∠5＝180°﹣2∠2．
同理：∠6＝180°﹣2∠3．
∴∠5+∠6＝360°﹣2（∠2+∠3）
∵∠5+∠6＝180°﹣β，∠2+∠3＝180°﹣α，
∴180°﹣β＝360°﹣2（180°﹣α）．
即180°﹣β＝2α．
∴β＝180°﹣2α．
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 图表信息类 ★★★★ 题型结构：图表信息类：侧重统计图表分析，如数据趋势解读、概率计算，常与实际问题结合。方案决策类：占比约15%，以开放题为主，需结合不等式、函数建模等工具进行多方案对比与优化。情景应用类：融入生活场景（如电路图分析、动态几何问题），强调模型抽象与转化能力。学科渗透类：与物理、化学等学科交叉（如电阻计算、实验数据分析），考查综合思维。 难度与分值
整体难度中高，以解答题为主（单题分值6-10分）。基础题侧重图表信息（易错点），综合题聚焦情景应用与跨学科渗透（区分度关键）。学用结合类总分占比约50%，体现“重应用、强综合”的命题导向。
考向2 方案决策类 ★★★★
考向3 情景应用类 ★★★★
考向4 学科渗透类 ★★★★
知识点分布：
统计图表分析：频数分布直方图、扇形统计图、折线图的数据提取与解读。
函数图像应用：一次函数、二次函数、反比例函数图像的实际意义分析。
数式规律探究：通过观察数列、式子的变化规律，归纳通项公式或表达式。
解题思路：
步骤1：提取图表中关键数据（如极值、变化趋势、比例关系）。
步骤2：联系数学模型（如等差数列、等比数列、分段函数）分析规律。
步骤3：结合验证法排除干扰选项，确保结论符合所有数据特征。
知识点分布：
方程与不等式：通过建立方程或不等式模型，优化资源配置问题。
函数最值问题：利用二次函数顶点式或配方法求利润最大、成本最小等最优化问题。
概率与统计：评估不同方案的风险或可行性（如概率分析法）。
解题思路：
步骤1：明确问题中的变量与约束条件（如时间、成本、数量限制）。
步骤2：构建数学模型（如线性规划、方程组），对比方案的数学表达式。
步骤3：结合实际情况验证合理性，注意边界条件（如整数解）。
知识点分布：
几何建模：如液体深度计算（勾股定理）、运动轨迹分析（圆与直线位置关系）。
实际场景转化：将文字描述转化为数学问题（如工程进度、行程问题）。
动态探究：图形旋转、折叠中的变量关系分析（如圆与四边形结合的动态问题）。
解题思路：
步骤1：提取关键信息，抽象为几何图形或代数关系（如设未知数、画示意图）。
步骤2：应用数学定理（如勾股定理、相似三角形）建立方程或不等式。
步骤3：结合验证法排除不符实际的解。
知识点分布：
物理结合：如光学反射路径（对称性）、力学中的杠杆平衡（比例关系）。
化学结合：溶液浓度计算（百分比）、反应速率（函数图像分析）。
生物结合：种群增长模型（指数函数）、遗传概率问题。
解题思路：
步骤1：识别跨学科知识交叉点（如化学溶液问题中的体积与浓度关系）。
步骤2：提炼数学核心模型（如浓度公式转化为分式方程）。
步骤3：结合学科特性检验结果的合理性（如浓度不可为负值）。
图表信息类需强化数据敏感性，关注“变与不变”规律；
方案决策类需熟练数学建模，对比不同方案的临界条件；
情景应用类需提升实际问题抽象能力，重点突破几何动态问题；
学科渗透类需拓展跨学科知识储备，注重数学工具的应用场景迁移。
例1.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类；B．文艺类；C．社会实践类；D．体育类”．现随机抽取了九年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有 名；
（2）抽取的样本中，学生选择“B．文艺类”有 名；扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为 度；
（3）若该校九年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了九（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
变式1.2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级一共 人，其中B类所对应的圆心角为 ；并将条形统计图补充完整．
（2）若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．
（3）现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．
变式2.成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
类别 时长t（单位：小时） 人数
A t＞3 4
B 2＜t≤3 20
C 1＜t≤2
D 0＜t≤1 8
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 °．
（2）该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；
（3）本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
例2.观察表格，估算一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x﹣1 ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个近似解x的范围是（ ）
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
变式1.根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
变式2.小颖在探索一元二次方程x2+x﹣7＝0的近似解时作了如下列表的计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x 0 1 2 3
x2+x﹣7 ﹣7 ﹣5 ﹣1 5
A．0 B．1 C．2 D．3
例3.按下面的程序计算：
如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为16时，输出的数为 ．
变式2.按下面的程序计算：
若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有 种．
例4．公园门票价格规定如下表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．
经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
变式1.某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定．享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超 过10000元的部分 超过10000元的 部分
报销 比例标准 不予报销 70% 80%
（1）甲农民一年的实际医疗费为3000元，则按标准报销的金额为 元；乙农民一年的实际医疗费为12000元，则按标准报销的金额为 元；
（2）设某农民一年的实际医疗费为x元（500＜x≤10000），按标准报销的金额为多少元？
（3）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费﹣按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
变式2.江山实验中学为全体学生办理了“学生团体住院医疗保险”．保险公司按下表级距分段计算给付“住院医疗保险金”．
级数 被保人住院医疗费用级距 保险公司付比例
1 1000元及以下部分 55%
2 1000元以上至4000元部分 60%
3 4000元以上至7000元部分 70%
4 7000元以上至10000元部分 80%
5 10000元以上至30000元部分 90%
6 30000元以上部分 95%
在保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过 6000元的部分，保险公司按100%的标准给付．
（1）小毛同学在一次打篮球时不慎意外受伤，并住院治疗，总共化去医疗费用3500元，问小毛同学可以收到保险公司的保险金有多少元？
（2）小蔡同学也生病住院，住院治疗期间，老师同学都去探望．出院后，保险公司根据他所化去的住院治疗费用给他送来了3120元保险金，你能知道小蔡共化去多少元住院治疗费吗？
（3）刘倩同学因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，刘倩的父母还共付医疗费3 000元．请问保险公司为刘倩同学给付了保险金多少元？
例1.宜宾某商店决定购进A．B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
变式1.某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人）
每车租金 （元∕天） 900 800 550
则租车一天的最低费用为 元．
变式2.某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
例2.一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断
变式1.如图，在一块三角形区域ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG＝x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．
变式2.如图所示，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m），现有篱笆长24m．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为32m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比32m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并给出设计方案；如果不能，请说明理由．
例1.综合与实践
【问题情景】
某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表：
A B
每月基本服务费（元） 20 40
免费通话时间（min） 0 150
通话每分钟收费（元） 0.2 0.3
备注 B类收费：当通话时长小于等于150min时每月费用固定40元；当通话时长超过150min时，超出部分每分钟加收0.3元．
【问题解决】
（1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象．
（2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为200min，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？
（3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案．
变式1.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店：在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆：在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校：回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykbm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间n 0.1 0.5 0.8 1 3
高单物的距离/h＝ 2
12
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③季华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
④当李华离学校的距离为40m时，他离开学校的时间为 h．
（3）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
变式2.【综合与实践】
【问题情景】六堡茶属黑茶类，选用苍梧县群体种、广西大中叶种及其分离、选育的品种、品系茶树的鲜叶为原料，按特定的工艺进行加工，具有独特品质特征的黑茶，喝过六堡茶的人都会对它的“中国红”情有独钟，六堡茶业界认为，必须以“中国红”的文化韵味和民族特色为准则，使六堡茶走上复兴之路．
【实践探究】某商店经销某种品牌六堡茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
【问题解决】解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌六堡茶获得的利润W元的最大值．
例2.【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有30°角的直角三角形，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如.如图1．
【尝试类比】sin15°的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有15°角的直角三角形．如图2．填空，tan15°＝ ．
【方法探究】cos36°的值怎么求呢？如图3，小明同学借助于黄金三角形（顶角是36°的等腰三角形）△ABC和△BCD，解决了问题．请你给出小明的解答过程．
【拓展应用】如图4是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下：
（1）作⊙C．
（2）作直径AB．
（3）过点C作直径AB的垂线交⊙C于点P．
（4）作线段BC的垂直平分线交BC于点D．
（5）以点D为圆心，以DP长为半径作弧交AB于点E．
（6）以点P为圆心，以PE长为半径作弧交⊙C于点F．
（7）在⊙C上依次截取等于PF的弦FG，GH，HL，连接PL，就可以作出圆内接正五边形PFGHL．
请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形PFGHL是圆内接正五边形PFGHL．
变式1.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是 ，∠BDC的度数为 ．
（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，其中∠BAE＝∠CAD＝90°，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O．
①证明：CE＝BD且CE⊥BD；
②若DC与BC在同一直线上，如图3，延长DA与CE交于点F，连接BF并延长，BF的延长线与边AE交于点G，且AF＝AG，若△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABG的面积为6，求线段EG的长．
变式2.【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，小红对小波说：“图中线段BD、DE和EC有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF，连接EF，就能证出BD2+EC2＝DE2．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若，则BD＝ ；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，AB＝AD，∠ACD＝45°，若，你知道AC的长吗？”，小红会意点了头．小红的答案是AC＝ ．
例3.列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
“元旦”大酬宾：跳绳每根25元；购买超过10根，全部跳绳享受八折优惠．
她付的钱怎么比我还少？
（1）填表：
购买跳绳数（根） 5 13 a（a≤10） b（b＞10）
付款数（元）
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少付了5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
变式1.在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
票价 成人：每张35元； 学生：按成人票价5折优惠； 团体票（16人以上含16人）：按成人票6折优惠．
大人门票是每张35元．学生门票是5折优惠．我们一共12人，共需350元． 爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否可以省钱．
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
变式2.如图是两张不同类型火车的车票：（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
（1）已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离；
（2）在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距100km．
例1.最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 …
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式；
（2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？
变式1.如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力F（N）与人的质量m（kg）的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为50kg和70kg，且小明和小亮对木板的压强p（Pa）与木板面积S（m2）的关系如图3所示，点A为反比例函数图象p2上的一个动点，过点A分别作x轴和y轴的垂线，交x轴于点M，交y轴于点N，交另一反比例函数图象p1于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为点Q，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B．图3中图象p1表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C．当木板面积为0.2m2时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大1000Pa
D．四边形ANQP的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
变式2.如图，某人对地面的压强p（单位：N/m2）与这个人和地面接触面积S（单位：m2）满足反比例函数关系．
（1）图象上点A坐标为（10，80），求函数解析式和这个人的体重．
（2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为400cm2，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
（3）如果某一沼泽地面能承受的最大压强为320N/m2，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？
例2.【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压U＝12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为
变式1.如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1＝2Ω，R2＝8Ω．当Rx＝4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？（ ）
A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
变式2.综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：1×9，2×8，…，8×2，9×1．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：11×19，12×18，…，18×12，19×11．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想．
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Rap＝xΩ，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
例3.如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB的调节角（∠ABC）的调节范围为10°～72°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝30°，则反射光束DE与天花板所形成的角（∠DEF）不可能取到的度数为（ ）
A．52° B．25° C．175° D．7°
变式1.如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α
变式2.项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°）；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组α和β的值；
（4）数据分析，形成结论．
α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
β 160° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20°
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
（1）根据表中信息可知，β是α的 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），β与α的函数关系式为 （0°＜α＜90°）；
（2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
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