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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 二次函数与几何变换的综合 ★★★★★ 题型结构：仍为压轴题型，以3小问为主框架。第一问侧重基础解析式求解（如抛物线、直线），第二问聚焦几何特性分析（如等腰三角形、特殊四边形判定），第三问拓展为存在性/动态问题（如相似三角形、动点最值）。 难度：整体维持高难度，突出代数与几何的综合运用。新增趋势包括动态几何（如点运动轨迹）、多解分类讨论（如菱形顶点位置）及复杂代数运算（如根与系数关系），对逻辑推理和计算能力要求更高。 分值占比：预计占总分10%-12%（约10分），作为区分度关键题，第三问得分率可能低于20%。 命题方向：更注重实际情境融入（如图形翻折、坐标系变换）和创新思维考查（如构造辅助线、相似比灵活应用），需关注与三角形全等/相似、特殊四边形的深度结合。
考向2 二次函数与直角三角形的综合 ★★★★★
考向3 二次函数与等腰三角形的综合 ★★★★★
考向4 二次函数与相似三角形的综合 ★★★★★
考向5 二次函数与四边形的综合 ★★★★★
考向6 二次函数与最值的综合 ★★★★★
考向7 二次函数与新定义的综合 ★★★★
考向8 二次函数与圆的综合 ★★★★
考向9 二次函数与角的综合 ★★★★
有两条边相等的三角形叫等腰三角形；
性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
求解方法：
求点坐标的方法：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解：若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解．
有一个角是直角的三角形叫直角三角形；
性质：（1）勾股定理；(2)直角三角形的两个锐角互余；（3）直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）边角关系：锐角三角函数.
求解方法：
方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解；
方法二：找相似，利用相似三角形的性质求解；通过构造一线三垂直利用相似求解；
方法三：特殊地，若有30°,45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解；
方法四：利用两直线垂直表达式中k的关系求解．
相似三角形的判定方法：
定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
平行法: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.
性质：对应角相等；对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方
求解方法：
(1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；
(2）表示边长：直接或间接设出所求的点坐标，然后表示出线段长；
(3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解．
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
核心考点：
代数与几何的融合：将新定义条件转化为代数表达式或几何图形性质。
二次函数图像分析：结合对称轴、顶点坐标、交点坐标等特征解题。
分类讨论：需根据新定义的不同情况（如位置、参数范围）进行讨论。
解题思路：
理解定义：明确新定义中的几何或代数条件，例如“点P是抛物线上的‘平衡点’”可能隐含坐标对称关系。
建模与转化：将新定义条件转化为方程或不等式，结合二次函数解析式联立求解。
数形结合：画图辅助分析，重点关注交点、对称性、极值点等关键位置。
验证边界条件：注意参数取值范围对结果的影响，避免漏解（如判别式Δ≥0的限制）。
核心考点：
顶点式与配方法：通过配方求二次函数的最大值/最小值。
闭区间最值：在给定区间内求极值（需比较端点值与顶点值）。
几何最值模型：如将军饮马问题、胡不归模型等。
解题思路：
代数最值：
将函数化为顶点式，直接读取顶点坐标（如y=a(x-h) +k中，k为最值）。
注意开口方向（a>0时最小值，a<0时最大值）。
几何最值：
对称转化：利用抛物线对称性将折线问题转化为直线问题（如AP+PB最短）。
参数法：设动点坐标，用二次函数表示目标量（如面积），再求极值。
实际应用：如求最大利润时，需建立利润关于销量的二次函数模型，再求顶点。
例1.综合与探究
如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点．
①连接AD、BD，将△ABD沿直线AD翻折、得到△AB′D，点B′恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线AD的解析式；
②如图2，连接BC，交AD于点F，求S△BDF：S△ABF的最大值及此时点D的坐标．
变式1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 （点C'不与点A重合）．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
例1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值；
（3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
变式1.如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣2，0），B（5，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上存在一点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形、请求出所有满足条件的点Q的坐标．
例1.如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标．
变式1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，求出点D的坐标；
变式2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式．
例1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴，交线段AC于点E．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，点A坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段BN的长度．
变式2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，点D为抛物线第二象限上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AD，DC，DO，若S△ADO，求D点坐标；
（3）如图2，连接BD，F为BD上一点，射线CF交抛物线于E，若△CFB∽△EFD，点F横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
例1.如图（1），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式与点P的坐标；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（图（2）、图（3）供画图探究）
变式1.如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
例2.如图，已知抛物线与y轴相交于点C（0，1）．对称轴为直线x＝2，坐标原点为O点，抛物线C1的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m时，且 GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得 GDMN是矩形，求m的值．
变式2.定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点P（x，y），其关于抛物线y＝ax2+bx+c的对称点P′同时满足以下条件：①点P′在抛物线的对称轴上；②PP′的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线L的对称轴及顶点坐标；
（2）若点P（2，1），则点P关于抛物线L的对称点P′是否存在？若存在，求出点P′的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P（0，k）关于抛物线L的对称点P′存在．
①求k的取值范围，并求出所有满足条件的点P′的坐标；
②平面内是否存在点Q，使得以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求点Q的坐标及k的值，若不存在，请说明理由；
例1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
变式1.正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式2.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为 ．
例2.已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标．
变式1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°．
（1）请求出a的值；
（2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由．
变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，PH∥y轴交BC于H，当PH最大时，MN在直线BC上运动，且MN＝2，点D（0，2），求PM+MN+DN的最小值；
例1.新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数yx2x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，则n的取值范围是（ ）
A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n D．n
变式2.新定义：A是函数y的图象上一点，过点A作一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
（1）①若一次函数y1＝2x+1的一个“和谐点”是A（1，3），则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数y2的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数y3＝x2+2x﹣3的“和谐点”是点 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点B，C均在坐标轴上，A（3，4），对角线AO，BC相交于点D，已知函数y4＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A，函数y4的“和谐点”在矩形ABOC的边OC上，若函数y4＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线OA的另一个交点为点E，且AE≤AD，求a的取值范围．
例2.在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形ABCD对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．
（1）如图，矩形ABCD，AB∥x轴，经过点A（﹣1，1））和点C（3，3）的一次函数y1＝kx+b是矩形ABCD的“友好函数”，求一次函数y1＝kx+b的解析式；
（2）已知第一象限内矩形ABCD的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行x轴和y轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
（3）若是矩形ABCD的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为（1，﹣3），点D的坐标为（﹣3，5），AB∥y轴．
①若y3＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与矩形ABCD有且只有两个交点，求a的取值范围；
②点P（xP，yP）是y3＝ax2+bx+c（a≠0）图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值．
变式1.有两个函数，对于任意的自变量x，记这两个函数对应的函数值为y1，y2，若点（x，y1）与点（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，例如，y1＝x+1和y2＝x﹣1为关于y＝x的对称函数．对于以下命题：①若a为常数，则和为关于y＝x的对称函数；②若函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝0，b＝﹣1；③若两个一次函数为关于y＝x的对称函数，则两一次函数图象关于直线y＝x对称；④如果和为关于y＝x的对称函数，且对于任意实数x，都有y1＜y2，那么实数m的取值范围.其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2.法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1 x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”．
（1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
（3）已知是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值．
例3.定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
变式1.在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当x1+y1＝x2+y2时，我们称点P与点Q互为“等和点”．
例如：点M（2，﹣3）与点N（﹣2，1）互为“等和点”．
（1）点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”，求b的值；
（2）点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2（k≠0）上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；
（3）直线yx+6在第一象限的部分记为图象G1，抛物线yx2+x+m在﹣1＜x＜4的部分记为图象G2点E在图象G1上，点F在图象G2上．
①若m，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求
m的取值范围．
变式2.对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 是线段AB关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
例1.已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．
（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；
（2）已知以坐标原点O为圆心的圆半径是，试判断点M与⊙O的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；
（3）对于任意实数m，点M都是直线l上一点，直线l与该二次函数相交于A、B两点，a是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A、B在以O为圆心的圆上．
①求⊙O的半径；
②求该二次函数的解析式．
变式1.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EFAB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
变式2.如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D．以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）求用m表示的A、B、D三点坐标；
（2）当m为何值时，点M在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积．
变式3.已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线．
（1）求m、n的值；
（2）若A点坐标为（0，1），C为抛物线C2上的一个动点，以C为圆心CA为半径的圆交x轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作OB⊥OC交抛物线C2于B．
①试探究：随C点的运动线段MN的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出MN的值；
②连结BC，随着C点的运动，B点也随之运动，当BC的中点落在y轴上时，求点C的坐标；
③连结CD、DB并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明．
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．
①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；
②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，点A在点B左侧，与y轴交于点C（0，5），抛物线的顶点为D，作直线BD．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作y轴的垂线，与直线BD交于点E，点C关于直线PE的对称点为C'，连接CE、C'E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点C′的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求m的值；
（3）当此抛物线在△ECC'内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）连接DA，当∠ECC'与∠DAB相等时，直接写出m的值．
变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且经过点D（4，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PE∥y轴，交直线CD于点E，若以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCD＝45°．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1.已知二次函数y＝ax2+6的图象经过点P（4，2），直线AB与抛物线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值；
（3）如图2，若∠APB＝90°，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
变式2.如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线y＝x+b经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D在抛物线上，满足∠CAB＝45°+∠BCD，求点D的坐标；
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 二次函数与几何变换的综合 ★★★★★ 题型结构：仍为压轴题型，以3小问为主框架。第一问侧重基础解析式求解（如抛物线、直线），第二问聚焦几何特性分析（如等腰三角形、特殊四边形判定），第三问拓展为存在性/动态问题（如相似三角形、动点最值）。 难度：整体维持高难度，突出代数与几何的综合运用。新增趋势包括动态几何（如点运动轨迹）、多解分类讨论（如菱形顶点位置）及复杂代数运算（如根与系数关系），对逻辑推理和计算能力要求更高。 分值占比：预计占总分10%-12%（约10分），作为区分度关键题，第三问得分率可能低于20%。 命题方向：更注重实际情境融入（如图形翻折、坐标系变换）和创新思维考查（如构造辅助线、相似比灵活应用），需关注与三角形全等/相似、特殊四边形的深度结合。
考向2 二次函数与直角三角形的综合 ★★★★★
考向3 二次函数与等腰三角形的综合 ★★★★★
考向4 二次函数与相似三角形的综合 ★★★★★
考向5 二次函数与四边形的综合 ★★★★★
考向6 二次函数与最值的综合 ★★★★★
考向7 二次函数与新定义的综合 ★★★★
考向8 二次函数与圆的综合 ★★★★
考向9 二次函数与角的综合 ★★★★
有两条边相等的三角形叫等腰三角形；
性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
求解方法：
求点坐标的方法：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需按照三条边两两相等分三种情况进行讨论，通常先设点坐标，再利用两点间的距离公式，分别表示出三条边的长度，然后再分三种情况列方程求解；在分析定线段是底时，也可根据动点在定线段的垂直平分线上求解：若已知角相等也可通过全等或相似三角形求解．
有一个角是直角的三角形叫直角三角形；
性质：（1）勾股定理；(2)直角三角形的两个锐角互余；（3）直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）边角关系：锐角三角函数.
求解方法：
方法一：设出点P的坐标，表示出三边的长，分三个角分别为直角讨论，在每种情况下利用勾股定理列方程求解；
方法二：找相似，利用相似三角形的性质求解；通过构造一线三垂直利用相似求解；
方法三：特殊地，若有30°,45°或60°角，考虑用锐角三角函数求解；
方法四：利用两直线垂直表达式中k的关系求解．
相似三角形的判定方法：
定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
平行法: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.
性质：对应角相等；对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方
求解方法：
(1）找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在隐含的等角；
(2）表示边长：直接或间接设出所求的点坐标，然后表示出线段长；
(3）建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算求解．
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
核心考点：
代数与几何的融合：将新定义条件转化为代数表达式或几何图形性质。
二次函数图像分析：结合对称轴、顶点坐标、交点坐标等特征解题。
分类讨论：需根据新定义的不同情况（如位置、参数范围）进行讨论。
解题思路：
理解定义：明确新定义中的几何或代数条件，例如“点P是抛物线上的‘平衡点’”可能隐含坐标对称关系。
建模与转化：将新定义条件转化为方程或不等式，结合二次函数解析式联立求解。
数形结合：画图辅助分析，重点关注交点、对称性、极值点等关键位置。
验证边界条件：注意参数取值范围对结果的影响，避免漏解（如判别式Δ≥0的限制）。
核心考点：
顶点式与配方法：通过配方求二次函数的最大值/最小值。
闭区间最值：在给定区间内求极值（需比较端点值与顶点值）。
几何最值模型：如将军饮马问题、胡不归模型等。
解题思路：
代数最值：
将函数化为顶点式，直接读取顶点坐标（如y=a(x-h) +k中，k为最值）。
注意开口方向（a>0时最小值，a<0时最大值）。
几何最值：
对称转化：利用抛物线对称性将折线问题转化为直线问题（如AP+PB最短）。
参数法：设动点坐标，用二次函数表示目标量（如面积），再求极值。
实际应用：如求最大利润时，需建立利润关于销量的二次函数模型，再求顶点。
例1.综合与探究
如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点．
①连接AD、BD，将△ABD沿直线AD翻折、得到△AB′D，点B′恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线AD的解析式；
②如图2，连接BC，交AD于点F，求S△BDF：S△ABF的最大值及此时点D的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由AB＝AB′，B′H＝BH，求出点H（，），即可求解；
②证明S△BDF：S△ABF＝DT：ANDT（x2﹣4x）（x﹣2）2，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2+bx+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
则点C（0，4）；
（2）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，设AD交抛物线的对称轴于点H，如图1，
设点B′、H的坐标分别为：（，m）、（，t），
则AB＝AB′，B′H＝BH，
即25＝（1）2+m2，（4）2+t2＝（t﹣m）2，
解得：m，t，
则点H（，），
由点A、H的坐标得，直线AD的表达式为：yx；
②过点A作y轴的平行线交BC的延长线于点N，过点D作y轴的平行线交BC于点T，
则△AFN∽△DFT，
∴DT：AN＝FD：AF＝S△BDF：S△ABF，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x+4，则点N（﹣1，5），即AN＝5，
设点D（x，＝﹣x2+3x+4），则点T（x，﹣x+4），则DT＝﹣x2+4x，
则S△BDF：S△ABF＝DT：ANDT（x2﹣4x）（x﹣2）2，
故S△BDF：S△ABF的最大值为：，
此时点D（2，6）．
变式1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 （2，﹣3）或（，） （点C'不与点A重合）．
【分析】（1）当点A′、D′在抛物线上时，求出点D′的坐标（，），再由中点坐标公式得到C′的坐标为：（，）；
（2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2），得到点D′（m+2，m2m﹣2+3），进而求解；
（3）当A′、C′在抛物线上时，同理可解．
【解答】解：令0，
解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x，
当x＝5时，则3，
即点C（5，3）；
（1）当点A′、D′在抛物线上时，如图，
由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x，
则点D′的横坐标为2，
当x时，，
则点D′（，），
设点C′为（x，y），
由中点坐标公式得：5+x且3+y，
解得：x，y，
即点C′的坐标为：（，）；
（2）当C′D′在抛物线上时，
设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2），
由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C，
则点D′（m+2，m2m﹣2+3），
将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+2）2（m+2）﹣2，
解得：m＝2，
则点C′的坐标为：（2，﹣3）；
（3）当A′、C′在抛物线上时，
设点C′的坐标为：（m，m2m﹣2），
由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C，
则点A′（m+6，m2m﹣2+3），
将点A′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m﹣2+3（m+6）2（m+6）﹣2，
解得：m＝﹣1，
则点C′的坐标为：（﹣1，0），
该点和点A重合，故舍去；
综上，点C′的坐标为：（2，﹣3）或（，），
故答案为：（2，﹣3）或（，）．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM；
（3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
【分析】（1）根据顶点坐标，求出b的值，再将点A代入函数解析式即可确定具体解析式；
（2）过点M作MN⊥x轴交于点N，利用勾股定理逆定理证明△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，则tan∠ACM＝2，在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，由此可证明∠ACM＝∠BAM；
（3）过点D作DH⊥x轴交于H点，根据OE∥DH，可知，即，从而求出D（，），再求AD，DM'，设B点到AM'的距离为h，根据3S△ABDh，2S△M′BDh，即可得到3S△ABD＝2S△M′BD．
【解答】（1）解：∵顶点为M（2，d），
∴2，
∴b＝8，
∴y＝﹣2x2+8x+c，
将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c，
∴﹣2+8+c＝0，
解得c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6；
（2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，
∴M（2，2），
过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（1，0），C（0，），
∴AC，AM，CM，
∵CM2＝AC2+AM2，
∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°，
∴tan∠ACM＝2，
在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2，
∴∠ACM＝∠BAM；
（3）解：3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下：
∵M（2，2），
∴M'（2，﹣2），
过点D作DH⊥x轴交于H点，
∵OE∥DH，
∴，
当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴，
解得xD，
设直线AM'的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2，
∴D（，），
∴AD，DM'，
设B点到AM'的距离为h，
∴3S△ABD3hh，2S△M′BD2hh，
∴3S△ABD＝2S△M′BD．
例1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值；
（3）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）根据A（﹣1，0），BC＝2OA，得到OA＝1，BC＝2，对y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），则OC＝3，根据BC∥x轴，得到B（2，﹣3），把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得 a，b的值，即可求得到抛物线解析式；
（2）由题意得，Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，故|m2﹣2m|＝7，解方程即可；
（3）抛物线解析式并配方为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线 x＝1，设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1，AC2＝12+32＝10，根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况：当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AC2，分别列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），BC＝2OA，
∴OA＝1，BC＝2，
在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），则OC＝3，
∵BC∥x轴，
∴B（2，﹣3）；
把点A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意得Q（m，m2﹣2m﹣3），则点Q到直线CB的距离为|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
∴|m2﹣2m|＝7，则m2﹣2m＝7①或m2﹣2m＝﹣7②，
解①得：或；
解②无解，
∴或；
（3）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线 x＝1，
设P（1，m），则PA2＝m2+22＝m2+4，PC2＝（m+3）2+12，AC2＝12+32＝10，
∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，
∴当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，
∴m2+4+10＝（m+3）2+1，
解得：
∴；
当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝PA2，
∴（m+3）2+12+10＝m2+4，
解得：，
∴，
综上： 或 ．
变式1.如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣2，0），B（5，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）当BC为斜边时，则125＝（）2+m2（m+10）2，即可求解；当PB或PC为斜边时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣10；
（2）存在，由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线x，
∴设点P（，m），
由点C，B，P的坐标，得BC2＝125，BP2＝（）2+m2，CP2（m+10）2，
当BC为斜边时，
则125＝（）2+m2（m+10）2，
解得：m或，则点P（，）或（，）；
当PB或PC为斜边时，
则125+（）2+m2（m+10）2或（）2+m2（m+10）2+125，
解得：m或，
即点P（，）或（，）；
综上，点P（，）或（，）或（，）或（，）．
变式2.已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上存在一点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形、请求出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）当BQ为对角线时，则（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4）2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m）2+32，即可求解；当CQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）设点Q（m，﹣m2+3m+4），
由点B、C、Q的坐标得，BC2＝32，BQ2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4）2，CQ2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m）2，
当BQ为对角线时，
则（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4）2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m）2+32，
解得：m＝0（舍去）或2，即点Q（2，6）；
当CQ为对角线时，则32+（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4）2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m）2，
解得：m＝﹣2或4（舍去），则点Q（﹣2，﹣6），
综上，Q（2，6）或（﹣2，﹣6）．
例1.如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）先求出点C、D坐标，设N（﹣1，n），其中n＞﹣4，由勾股定理求出AC2、AN2、CN2，根据等腰三角形的性质，分AN＝AC、NA＝NC和CA＝CN三种情况解答即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰直角三角形，进而可得S△PMC＝2S△DMC＝2，连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2，得出△MBE是等腰直角三角形，进而得出S△BMC＝2，则点P与点B重合时符合题意，即得P（1，0）；过点B作BP⊥AC交抛物线于点P，得出直线BP的解析式为y＝﹣x+1，联立抛物线解析式，解方程组即可求解．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；理由如下：
把x＝0代入y＝x2+2x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
又∵OA＝3，
∴AC2＝32+32＝18，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4），
∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N（﹣1，n），其中n＞﹣4，
∴AN2＝（﹣3+1）2+（n﹣0）2＝4+n2，CN2＝（﹣1﹣0）2+（n+3）2＝n2+6n+10，
①当AN＝AC时，4+n2＝18，
解得或；
②当NA＝NC时，4+n2＝n2+6n+10，
解得n＝﹣1；
③当CA＝CN时，18＝n2+6n+10，
解得或（不合题意，舍去）；
综上所述，存在点或或（﹣1，﹣1）或，使得以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+m，代入A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴M（﹣1，﹣2），
∴，MD＝﹣2﹣（﹣4）＝2，
∵，
∴MD2＝MC2+CD2，
∴△MCD是等腰直角三角形，
∴，
连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，，
又∵∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∴BM⊥AC，
∴，
∴点P与点B重合时符合题意，此时P（1，0）；
如图2，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，
设直线BP的解析式为y＝﹣x+t，将B（1，0）代入得，0＝﹣1+t，
∴t＝1，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1，将B，P的坐标代入得：
，
解得或，
∴P（﹣4，5）；
综上所述，P（1，0）或P（﹣4，5）．
变式1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，求出点D的坐标；
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c，即可得出答案；
（2）分别以点D为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可；
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（1，0）两点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
等腰△ACD，如图甲，
当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合，
∴D（0，0）；
当以点A为顶点时，AC＝AD，AO是等腰△ACD中线，
∴OC＝OD，
∴D（0，﹣3）；
当以点C为顶点时，AC＝CD3，
∴点D的纵坐标为3﹣3或33，
∴D（0，3﹣3）或（0，33）；
综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，﹣3）或（0，3﹣3）或（0，33）；
变式2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式．
【分析】（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）利用等腰三角形定义分类求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
∴﹣4a＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+3，
将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上，
∴P（m，﹣m+3），（0≤m≤3），
∴设新抛物线的解析式为y＝s（x﹣m）2﹣m+3，
∵点A（1，0）、点B（3，0），
∴PA2＝（m﹣1）2+（﹣m+3）2，PB2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，AB2＝4．
分情况讨论：
（1）当PA＝PB时，则（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得m＝2，
此时，P（2，1），
∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣2）2+1，
∵新抛物线经过原点，
∴0＝4s+1，
解得，
∴新抛物线的解析式为；
（2）当PA＝AB时，（m﹣1）2+（﹣m+3）2＝4，
解得m1＝1，m2＝3（此时P与B重合，舍去），
∴P（1，2），
∴新抛物线的解析式为y＝s（x﹣1）2+2，
∵新抛物线经过原点，
∴0＝s+2，
解得s＝﹣2，
∴新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2．
综上所述，新抛物线的解析式为或y＝﹣2（x﹣1）2+2．
例1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b为常数，a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，D为第三象限抛物线上的动点，DE∥y轴，交线段AC于点E．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，则a＝1，即可求解；
（2）当以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似时，则△CDE为等腰直角三角形，当∠EDC为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴（x＝﹣1）对称，则点D（﹣2，3），当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣3＝﹣1，即点E（﹣2，﹣1），则DE＝2＝DC，符合题意；当∠ECD为直角时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），则△ACO为等腰直角三角形，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
当以C，D，E为顶点的三角形与△AOC相似时，则△CDE为等腰直角三角形，
当∠EDC为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴（x＝﹣1）对称，则点D（﹣2，3），
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣3＝﹣1，即点E（﹣2，﹣1），则DE＝2＝DC，符合题意；
当∠ECD为直角时，
则此时点D为抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，即点E（﹣1，﹣2），
则CDCE，符合题意，
综上，点E（﹣1，﹣2）或（﹣2，﹣1）．
变式1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，点A坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段BN的长度．
【分析】（1）由C（0，3）可得OC的长，根据S△ABCAB OC＝6，解得AB的值，从而可得点B的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，解得a的值，则可得抛物线的解析式；
（2）求得抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴及直线BC的解析式，写成点M的坐标，由勾股定理求得BC，再分两种情况：当△MNB∽△ACB时，；②当△MNB∽△CAB时，．分别解得t的值，则可求得BN的长．
【解答】解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
∵S△ABCAB OC＝6，
∴AB＝4．
∵点A坐标为（﹣1，0），A在B的左侧，
∴点B坐标为（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，
得3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x1，
由B（3，0），C（0，3）可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∵抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，
∴M（1，2）；
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC3．
设N（t，0），
①当△MNB∽△ACB时，，
∴，
解得t＝0，
∴BN＝BO＝3；
②当△MNB∽△CAB时，，
∴，
解得t，
∴BN'＝3．
综上所述，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，线段BN的长度为3或．
变式2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，点D为抛物线第二象限上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AD，DC，DO，若S△ADO，求D点坐标；
（3）如图2，连接BD，F为BD上一点，射线CF交抛物线于E，若△CFB∽△EFD，点F横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
（2）设点D的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），根据3S△ADO＝2S△DOC，列方程即可解答；
（3）根据待定系数法可得BC的解析式为：y＝x﹣3，如图2，设点E的坐标为（d，d2﹣2d﹣3），设直线DE交x轴于点K，过点E作EG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，则∠EGK＝∠DHK＝90°，证明△BOC是等腰直角三角形，则∠OBC＝45°，根据△CFB∽△EFD，可得∠BCF＝∠DEF，由平行线的判定可得DE∥BC，则EG＝KG，DH＝KH＝t2﹣2t﹣3，列方程可得d＝3﹣t，由两直线的交点可得点F的横坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴点B的坐标为（3，0），
把A（﹣1，0）和B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点D的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴t＜﹣1，
∵S△ADO，
∴3S△ADO＝2S△DOC，
∴31×（t2﹣2t﹣3）＝23×（﹣t），
∴t＝±，
∴t，
∴D点坐标为（，2）；
（3）设BC的解析式为：y＝kx+c，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣3，
如图2，设点E的坐标为（d，d2﹣2d﹣3），设直线DE交x轴于点K，过点E作EG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，则∠EGK＝∠DHK＝90°，
由（2）设点D的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
易得BD的解析式为：y＝（t+1）x+（﹣3t﹣3），
∵△CFB∽△EFD，
∴∠BCF＝∠DEF，
∴DE∥BC，
∴∠OBC＝∠AKE＝45°，
∴△EGK是等腰直角三角形，
∴EG＝KG，
同理得△DHK是等腰直角三角形，
∴DH＝KH＝t2﹣2t﹣3，
∴d2﹣2d﹣3＝d﹣t+t2﹣2t﹣3，
∴d2﹣3d＝t2﹣3t，
∴d2﹣t2＝3d﹣3t，
∴（d+t）（d﹣t）＝3（d﹣t），
∴（d﹣t）（d+t﹣3）＝0，
∵d﹣t≠0，
∴d+t﹣3＝0，
∴d＝3﹣t，
∴点E的坐标为（3﹣t，t2﹣4t），
易得EC的解析式为：y＝（1﹣t）x﹣3，
∴（1﹣t）x﹣3＝（t+1）x+（﹣3t﹣3），
∴2tx＝3t，
∵t≠0，
∴x，
∴点F横坐标是定值，这个定值是．
例1.如图（1），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式与点P的坐标；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（图（2）、图（3）供画图探究）
【分析】（1）先将点B和点C代入抛物线y＝x2+bx+c求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标；
（2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段EF的长度，最后表示出△CBE的面积，从而利用二次函数的性质求得△CBE的面积最大值；
（3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、点C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点P的坐标为（2，﹣1）．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
如图（1），过点E作y轴的平行线交直线BC于点F，
设点E（x，x2﹣4x+3），则点F（x，﹣x+3），
∴EF＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBEx2x，
∵S△CBE（x）2，
∴当x时，△EBC的面积最大值为；
∴E（，）．
（3）如图（3），C（0，3），P（2，﹣1），
设M（2，y），N（x，0），
（i）以CN为对角线时，
，解得：，
∴M1（2，4），N1（4，0）；
（ii）以CP为对角线时，
，解得：，
∴M2（2，2），N2（0，0）；
（iii）以CM为对角线时，
，解得：，
∴M3（2，﹣4），N3（0，0）；
综上所述，当点M的坐标为（2，4）或（2，2）或（2，﹣4）时，存在以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
变式1.如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；
（2）求出C（0，6），设点D的坐标为（m，m2m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，由待定系数法求出直线BC的解析式为：yx+6，设点E的坐标为（m，m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积DE×OBDE×4＝2[（m2m+6）﹣（m+6）]m2+6m（m﹣2）2+6，
由二次函数的性质得出当m＝2时，△BCD的面积最大，m2m+6＝6，即可得出答案；
（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2x+6；
（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：
∵yx2x+6，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
设点D的坐标为（m，m2m+6），
过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（4，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：yx+6，
∴设点E的坐标为（m，m+6），
则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积DE×OBDE×4＝2[（m2m+6）﹣（m+6）]m2+6m（m﹣2）2+6，
∵0，
∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，m2m+6＝6，
∵1＜m＜4，
此时点D的坐标为（2，6）；
（3）存在，理由如下：
（3）分情况讨论：
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图2所示：
M、N分别有三个点，
设点N（n，n2n+6），
∵D（2，6），
∴点N的纵坐标为绝对值为6，
即|n2n+6|＝6，
解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，
故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1，1，
∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），
∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（12，0）或（12，0）；
即点M的坐标为：（2，0）或（1，0）或（1，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：
∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），
∴N与C重合，BM＝CD＝2，
∴M（4+2，0），即M（6，0）；
综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（1，0）或（1，0）．
变式2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得A（﹣1，0），B（3，0），代入即可求得抛物线的表达式；
（2）根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分EF为边和EF为对角线两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）
存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3：
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点Q的坐标为：（1，2）或（1，﹣2）或（1，4）．
例2.如图，已知抛物线与y轴相交于点C（0，1）．对称轴为直线x＝2，坐标原点为O点，抛物线C1的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）将抛物线C向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴方程可求出b＝4，由点C（0，1）代入可求出c＝1，从而可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+1；
（2）求出点E坐标，设H（a，b），F（2，t）分CF，EF为邻边，CE，FP为对角线；CE，CF为邻边，EF，CP为对角线；CE，EF为邻边，CF，EP为对角线三种情况，以邻边相等求出t，根据中点坐标公式求出a，b的值即可解决问题．
【解答】解：（1）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点C（0，1），对称轴为直线x＝2．
将C（0，1），代入抛物线解析式得：1＝c，
∴c＝1；
∴，
∴b＝4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，
∴向左平移两个单位后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2+2）2+5＝﹣x2+5，
联立两个抛物线的表达式得：﹣x2+5＝﹣x2+4x+1，
解得：x＝1，
∴E（1，4），
∵抛物线y＝﹣x2+4x+1的对称轴为直线x＝2，
∴可设F（2，t），H（a，b），
①CF，EF为邻边，CE，FP为对角线时；
CF2＝（2﹣0）2+（t﹣1）2＝t2﹣2t+5；EF2＝（2﹣1）2+（t﹣4）2＝t2﹣8t+17，
又∵CF2＝EF2，
∴t2﹣2t+5＝t﹣8t+17，
解得t＝2，
∴F（2，2），
又∵CE的中点坐标为（，），
∴（a+2）且（b+2），
∴a＝﹣1，b＝3，
∴H（﹣1，3）；
②CE，CF为邻边，EF，CP为对角线时，
EC2＝（1﹣0）2+（4﹣1）2＝10，CF2＝（2﹣0）2+（t﹣1）2＝t2﹣2t+5，
又∵CE2＝CF2，
∴t2﹣2t+5＝10，
解得t＝1±，即点F（2，1），
EF的中点坐标为（，），
同理可得：a＝3，b＝4，
∴H（3，4），
则点F（2，1），
EF的中点坐标为（，），
同理可得：a＝3，b＝4，
即点H（3，4）；
③CE，EF为邻边，CF，EP为对角线，
EC2＝（1﹣0）2+（4﹣1）2＝10，EF2＝（2﹣1）2+（t﹣4）2＝t2﹣8t+17，
又∵EC2＝EF2，
∴t2﹣8t+17＝10，
解得t＝1，t＝7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F（2，1），
∴CF的中点坐标为（1，1），
同理可得：a＝1，b＝﹣2，
∴H（1，﹣2），
综上，点H 的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）．
变式1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m时，且 GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得 GDMN是矩形，求m的值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG，则CG＝CM cos∠MCG2，在Rt△CGH中，GH＝CG sin∠HCG＝2，即可求解；
②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．
【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，
解得：a，
∴抛物线的表达式为yx2x+4；
则抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴点B（3，0）；
（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），
则CM，
∵四边形GDMN是平行四边形，
∴DG∥MN，
又点N在y轴上，
∴NM⊥OD，
∴GD⊥OD，
在Rt△OBC中，BC5，
则cos∠OCB，则sin∠OCB，
在Rt△CGM中，cos∠MCG，
则CG＝CM cos∠MCG2，
过点G作GH⊥CO，垂足为H，
在Rt△CGH中，GH＝CG sin∠HCG＝2，
则OD＝GH，
故点D（，0）；
②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：
当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；
当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则OH＝PD＝PM，
∵MG＝MC sin∠OCB（4﹣m）＝2PM，
由①知∠CMG＝∠OBC，则sin∠CMG＝sin∠OBC，
则MH＝PM sin∠OCB（4﹣m），
而OH＝MH+OM＝MH+m，
由PM＝OH得：（4﹣m）+m（4﹣m），
解得：m；
当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，
综上，符合题意的m的值为0或．
变式2.定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点P（x，y），其关于抛物线y＝ax2+bx+c的对称点P′同时满足以下条件：①点P′在抛物线的对称轴上；②PP′的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线L的对称轴及顶点坐标；
（2）若点P（2，1），则点P关于抛物线L的对称点P′是否存在？若存在，求出点P′的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P（0，k）关于抛物线L的对称点P′存在．
①求k的取值范围，并求出所有满足条件的点P′的坐标；
②平面内是否存在点Q，使得以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求点Q的坐标及k的值，若不存在，请说明理由；
【分析】（1）把点A（1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝x2+bx+c，利用待定系数法求解即可；
（2）假设存在点P关于抛物线L的对称点P′，结合题意可知P′（2，t），PP′的中点在抛物线上，进而求得t，即可得点P′的坐标；
（3）①设点P（0，k）关于抛物线L的对称点P′为（2，t），得PP′的中点为，代入抛物线解析式可得t＝﹣k，即可求解；
②由题意得B（3，0），由①可知，P（0，k），P′（2，﹣k），求得PB2＝9+k2，P′B2＝1+k2，P′P2＝4+4k2，分三种情况当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB＝PP′时，当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB＝P′B时，当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PP′＝P′B时，结合菱形的性质分别讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：
，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．
（2）存在，点P′的坐标为（2，﹣3），理由如下：
假设存在点P关于抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的对称点P′，
∵点P′在抛物线的对称轴上
∴P′（2，t），
又∵PP′的中点在抛物线上，且P（2，1），
∴在抛物线上，
对于y＝x2﹣4x+3，当x＝2，y＝﹣1，
∴，解得t＝﹣3，
∴点P′的坐标为（2，﹣3）；
（3）①设点P（0，k）关于抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1的对称点P′为（2，t），
∴PP′的中点为，
∵PP′的中点在抛物线上，
∴，
∴t＝﹣k，
则k为所有实数，点P′的坐标为（2，﹣k）；
②存在，或，，使得以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵对称轴为直线x＝2，A（1，0），
∴B（3，0），
由①可知，P（0，k），P′（2，﹣k），
∴PB2＝32+k2＝9+k2，P′B2＝（3﹣2）2+k2＝1+k2，P′P2＝22+（2k）2＝4+4k2，
当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB＝PP′时，
则，
∴或，
此时，或，；
当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB＝P′B时，
则9+k2＝1+k2，此时方程无解，不存在k使得PB＝P′B；
当以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形且PP′＝P′B时，
则4+4k2＝1+k2，此时方程无解，不存在k使得PP′＝P′B；
∴存在，或，，使得以点P、P′、B、Q为顶点的四边形是菱形．
例1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，先根据题意列出函数关系式，再求其最值．
【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y，
则AP＝x，CQ＝2x，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴CA3cm．
∴CP＝3﹣x，
∴y3×42x（3﹣x）＝（x）2．
∴当x时，y有最小值，
故选：C．
变式1.正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x） x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD于M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APFAF PM，
∴S△APF2（4﹣x） x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
变式2.如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为 ．
【分析】连接BE，设DE＝x（0≤x≤6），则CE2＝DE2+CD2＝x2+62＝x2+36，证明△BCE≌△DCG，得出S△BCE＝S△DCG，根据，由此利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：连接BE，如图所示：
由条件可知∠CDE＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE＝CG，∠ECG＝90°，
设DE＝x（0≤x≤6），则CE2＝DE2+CD2＝x2+62＝x2+36，
∵∠BCE+∠DCE＝∠DCE+∠DCG＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG，
∴S△BCE＝S△DCG，
∴S△DEG＝S四边形ECGD﹣S△ECG
＝S△ECD+S△DCG﹣S△ECG
＝S△ECD+S△BCE﹣S△ECG
，
，
∴当x＝3时，最大，且最大值为，
即△DEG面积的最大值为．
故答案为：．
例2.已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B（﹣3，0），C（1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK∥y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK+KE的最大值并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3中，再计算即可．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，得直线AB的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P（﹣2，3）．
【解答】解：（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A（0，3），B（﹣3，0），
∴直线AB的解析式为y＝x+3，OA＝OB＝3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣3t，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝45°，
∴AE＝KE，
∴KE＝3﹣t﹣3＝﹣t，
∴PK+KE＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
当t＝﹣2时，KP+KE的最大值为4，此时P（﹣2，3）．
变式1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°．
（1）请求出a的值；
（2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对抛物线因式分解可得y＝a（x﹣3）（x+1），从而A（﹣1，0），B（3，0），根据∠CBA＝45°，可求出C点坐标，再把C点坐标代入y＝a（x﹣3）（x+1），可得a的值；
（2）如下图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k），则E（m，2k﹣n），因为BM2＝DM2，所以（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2.①．对二次函数配方得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，再把D（m，n）代入可得n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4．②．把②式代入①式，整理可得2k﹣n＝1，故E（m，1），即E点在直线y＝1上运动，作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2），连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长．利用两点间距离公式即可求．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），
令y＝0，则x＝3或﹣1，
故A（﹣1，0），B（3，0）．
∵与y轴相交于点C，∠CBA＝45°，
∴OB＝OC＝3，故C（0，﹣3），
把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）中，解得a＝1．
（2）如下图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k），
∴由中点坐标公式得E（m，2k﹣n），
∵BM2＝DM2，
∴（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2.①
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴把D（m，n）代入可得n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4．②
把②式代入①式，得4+k2＝n+4+（n﹣k）2，
整理得：n2﹣2kn+n＝0，
故n（n﹣2k+1）＝0，由于n≠0，
故n﹣2k+1＝0，即2k﹣n＝1，
故E（m，1），即E点在直线y＝1上运动，
作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2），
连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长，
∴CA'，
则AE+CE最小值为．
直线A'C的解析式为y＝﹣5x﹣3，
∴E（，1），
∴D（，）．
变式2.
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，PH∥y轴交BC于H，当PH最大时，MN在直线BC上运动，且MN＝2，点D（0，2），求PM+MN+DN的最小值；
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，即可求解；
（2）将点P沿平行于MN的方向平移2个单位，得，连接P1N．当P1、N、D三点共线时，（PM+MN+ND）max，即可求解；
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴yBC＝x﹣3，
设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），则H（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PHmax，
∴，
将点P沿平行于MN的方向平移2个单位，得，连接P1N．
当P1、N、D三点共线时，（PM+MN+ND）max；
例1.新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数yx2x﹣5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形；
（2）过点B作BH⊥AE，垂足为H，先证明△ABH≌△ACD，则CD＝HB．，依据三角形的面积公式可知S△ABE＝S△CDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可；
（3）先依据△ABC与△ABD的面积相等可求得点D的纵坐标，然后利用抛物线的解析式可求得点D的横坐标，最后结合偏等积三角形的定义进行判断即可．
【解答】解：（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+DAC＝90°，∠BAH+∠HAC＝90°，AB＝AC，AD＝AE．
∴∠BAH＝∠DAC．
在△ABH和△ACD中，
∴△ABH≌△ACD．
∴CD＝HB．
∵S△ABEAE BH，S△CDAAD DC，AE＝AD，CD＝BH，
∴S△ABE＝S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC＝S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x＝0代入得：y＝﹣5，
∴CO＝5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为﹣5，时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，x2x﹣5＝5，整理得：x2﹣3x﹣20＝0，解得x1，x2．
∴点D的坐标为（，5）或（，5）．
变式1.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，则n的取值范围是（ ）
A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n D．n
【分析】y＝x2+n是对称轴为y轴的抛物线，顶点为（0，n），根据新定义可知：H与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线AH与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点M、N，根据题意得∠AHO＝30°，∠OAH＝60°，OH＝2，利用三角函数求出点A的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，因此列方程x2+nx﹣2，有解时才有结论得出，即△≥0，解不等式即可．
【解答】解：如图，∵H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，
∴∠AHO＝30°，
tan30°，
OA＝2，
∴A（，0），
∴通过H的直线的解析式为：yx﹣2，
∵y＝x2+n，
∴当x2+nx﹣2有解时，才有H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，
即△＝3﹣4（n+2）≥0，
n，
∴当n时，H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，
故选：D．
变式2.新定义：A是函数y的图象上一点，过点A作一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
（1）①若一次函数y1＝2x+1的一个“和谐点”是A（1，3），则过A的“和谐线”是直线 yx ；
②反比例函数y2的“和谐点”是点 （2，2）和（﹣2，﹣2） ，“和谐线”是直线 y＝x ；
③二次函数y3＝x2+2x﹣3的“和谐点”是点 （﹣1，﹣4） ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点B，C均在坐标轴上，A（3，4），对角线AO，BC相交于点D，已知函数y4＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A，函数y4的“和谐点”在矩形ABOC的边OC上，若函数y4＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线OA的另一个交点为点E，且AE≤AD，求a的取值范围．
【分析】（1）①根据新定义可知：y1＝2x+1与过点A的“和谐线”互相垂直，证明△ADB∽△CDA，列比例式可得CD＝6，则C（7，0），最后利用待定系数法即可解答；
②根据新定义可得“和谐线”是直线y＝x，联立方程组即可解答；
③二次函数y3＝x2+2x﹣3的“和谐点”是图象的顶点，配方后即可解答；
（2）先根据中点坐标公式可得：D（，2），将点A（3，4），代入得9a+3b+c＝4，又由题意知：b＝0，根据AE＝AD，点E在A的下方和上方分情况画图即可解答．
【解答】解：（1）①如图1，设过点A的“和谐线”的表达式为：y＝kx+n，即为直线AC，
由题意得：y1＝2x+1与过点A的“和谐线”互相垂直，
∴∠BAC＝90°，
过点A作AD⊥BC于D，
当y1＝0时，2x+1＝0，
∴x，
∴B（，0），
∵A（1，3），
∴BD＝1，AD＝3，
∵∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴，即，
∴CD＝6，
∴C（7，0），
∴，
解得：，
∴过A的“和谐线”是直线是：yx；
故答案为：yx；
②根据反比例函数y2的图象，知“和谐线”是直线y＝x，
联立，
解得：，，
∴反比例函数y2的“和谐点”是点（2，2）和（﹣2，﹣2）；
故答案为：（2，2）和（﹣2，﹣2），y＝x；
③根据题意得：二次函数y3＝x2+2x﹣3的“和谐点”是图象的顶点，
∵y3＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y3＝x2+2x﹣3的“和谐点”是点（﹣1，﹣4）；
故答案为：（﹣1，﹣4）；
（2）∵四边形ABOC是矩形，
∴AO＝BC，AD＝ODOA，CD＝BDBC，∠OBA＝90°，
∴OD＝AD＝BD，
∴D（，2），
∵函数y4＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A，且点A（3，4），
∴9a+3b+c＝4，
由（1）③可知：二次函数的“和谐点”是其顶点，
∵函数y4的“和谐点”在矩形ABOC的边OC上，
∴b＝0，
∴9a+c＝4，
∴c＝4﹣9a，
∴y4＝ax2+4﹣9a，
如图2，当AE＝AD时，点E与点D重合，
将点D的坐标为（，2）代入y4＝ax2+4﹣9a中得：2a+4﹣9a，
∴a，
如图3，当AE＝AD时，点E在DA的延长线上，
设点E的坐标为（x，y），
∵A是DE的中点，点A的坐标为（3，4），D（，2），
∴3，4，
∴x，y＝6，
∴E（，6），
将E（，6）代入y4＝ax2+4﹣9c中得：6a+4﹣9a，
∴a，
∵A（3，4），
∴易得直线OA的表达式是：yx，
当二次函数y4＝ax2+4﹣9a（a＞0）的图象与直线OA只有一个交点A时，
联立，得ax2x+4﹣9a＝0，
∵Δ＝（）2﹣4a（4﹣9a）＝0，
解得：a1＝a2，
由题意知：点A，E不重合，
∴a，
∵a的绝对值越小，二次函数的开口越大，
∴a的取值范围是a且a．
例2.在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形ABCD对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”．
（1）如图，矩形ABCD，AB∥x轴，经过点A（﹣1，1））和点C（3，3）的一次函数y1＝kx+b是矩形ABCD的“友好函数”，求一次函数y1＝kx+b的解析式；
（2）已知第一象限内矩形ABCD的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行x轴和y轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
（3）若是矩形ABCD的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为（1，﹣3），点D的坐标为（﹣3，5），AB∥y轴．
①若y3＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与矩形ABCD有且只有两个交点，求a的取值范围；
②点P（xP，yP）是y3＝ax2+bx+c（a≠0）图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值．
【分析】（1）将A和C的坐标代入求解即可；
（2）由题意可设出B和D的坐标，再代入反比例函数求解即可，需要注意的是题目只说矩形边长为2和4，并没注明哪条边长是2和4，所以需要分类讨论；
（3）根据题意画出图象，再根据顶点位置列出不等式即可得解；
（4）二次函数最值问题，在开口方向固定的情况下，要讨论对称轴和自变量取值范围的关系，由a＞0，得到，进而确定最大值和最小值即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b经过点A（﹣1，1））和点G（3，3），
∴．
解得：．
∴y1x；
（2）①如图，当AD＝2，AB＝4时，
设点D的坐标为（x，）则点B的坐标为（x+4，2）．
∴（x+4）（2）＝6．
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∴点D的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1）．
∵矩形ABCD的两条边的长分别为2和4，
∴点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（6，3），
∴矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为（2，1）；
②如图当AD＝4，AB＝2时，
设点D的坐标为（x，）则点B的坐标为（x+2，4）．
∴（x+2）（4）＝6．
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．
∴点D的坐标为（1，6），点B的坐标为（3，2）．
∵矩形ABCD的两条边的长分别为2和4，
∴点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（3，6），
∴矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为（1，2）；
综上，矩形距原点最近的顶点坐标为（2，1）或（1，2）．
（3）①∵B（1，﹣3），D（﹣3，5），且AB∥y轴，
∴A（1，5），C（﹣3，﹣3），
将A和C代入y3＝ax2+bx+c得，
，
解得，
∴y3＝ax2+2（a+1）x+3﹣3a
∴顶点坐标为（，），
当a＞0时，如图，
此时，
解得0＜a；
当a＜0时，如图，
此时，
解得a＜0，
综上，a的取值范围为0＜a或a＜0．
②由①知y3＝ax2+2（a+1）x+3﹣3a＝a（x）2，
∵a＞0，
∴，
当xP时，yP最小＝a（）2+2（a+1） 3﹣3a，
当xP时，yP最大＝a（）2+2（a+1） 3﹣3a，
∵yp的最大值和最小值的差是3，
∴a（）2+2（a+1） 3﹣3a﹣[a（）2+2（a+1） 3﹣3a]＝3，
解得a．
变式1.有两个函数，对于任意的自变量x，记这两个函数对应的函数值为y1，y2，若点（x，y1）与点（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，例如，y1＝x+1和y2＝x﹣1为关于y＝x的对称函数．对于以下命题：①若a为常数，则和为关于y＝x的对称函数；②若函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝0，b＝﹣1；③若两个一次函数为关于y＝x的对称函数，则两一次函数图象关于直线y＝x对称；④如果和为关于y＝x的对称函数，且对于任意实数x，都有y1＜y2，那么实数m的取值范围.其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可知，根据这一规律逐一判断即可求解．
【解答】解：①∵x2≠x，
∴和不关于y＝x对称，
故①不正确，不符合题题意；
②∵函数y1＝2x+1和函数y2＝kx+b（b≠0）为关于y＝x的对称函数，
∴，
∴（2+k）x+（b+1）＝2x，
∴，
解得，
故②正确，符合题意；
③∵两个一次函数关于y＝x的对称函数，
∴这两个一次函数图象不一定一定关于直线y＝x对称，
比如第②个结论；
故③不正确，不符合题意；
④∵和为关于y＝x的对称函数，
∴，
∴（a+1）x2+bx+（c+m）＝2x，
∴，
∴，
∴，，
∵对于任意实数x，都有y1＜y2，
∴﹣x2+2x﹣m＜x2+m，即x2﹣x+m＞0，Δ＜0，
∴（﹣1）2﹣4m＜0，
解得，
故④正确，符合题意；
综上所述，②④正确，
故选：B．
变式2.法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1 x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”．
（1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
（3）已知是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）联立两个函数表达式得：kx+b，设方程的解为m，2m，则m+2m，m×2m，即可求解；
（3）由新定义得到b＝2a+2，确定点P在对称轴的右侧，a＞0，则y随x增大而增大，即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣2）（2x+k）＝0，
解得x＝2或，
由题意得：2×2或2＝2×（），
解得：k＝﹣2或﹣8；
（2）联立两个函数表达式得：kx+b，设方程的解为m，2m，
则m+2m，m×2m，
整理得：b2＝27k；
（3）设的解为m，2m，
则m+2m，m×2m，
整理得：b＝2a+2，
则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，
则抛物线的对称轴为直线x1，
∵（﹣1）0，
即点P在对称轴的右侧，
∵a＞0，则y随x增大而增大，
当x时，ymax＝a（）2+（2a+2）（），
当x时，ymin＝a（）2+（2a+2）（），
∵yp的最大值和最小值的差是3，
即a（）2+（2a+2）（）a（）2+（2a+2）（）3，
整理得：（4a﹣2）+2a+2＝3，
解得：a．
例3.定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 点A（2，3）和C（﹣3，﹣2） 是函数的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【分析】（1）根据函数的“m倍点”的定义可作判断；
（2）先确定函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，则m＝3，满足y＝3x+3，两函数有唯一一个交点，Δ＝0，可解答；
（3）根据定义可知：“m倍点”的横纵坐标是y＝mx+m与y＝﹣x+2m+1的公共解，计算可得其解为x＝1且y＝2m，根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”，再以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列不等式可得结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，
∵mx+m＝2×1+1＝3，2×3＝6，
∴点A（2，3）是函数y的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣2×1+1＝﹣1≠﹣3，
∴点B（﹣2，﹣3）不是函数y的“1倍点”；
∵mx+m＝﹣3×1+1＝﹣2，﹣3×（﹣2）＝6，
∴点C（﹣3，﹣2）是函数y的“1倍点”；
综上，点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）是函数y的“1倍点”；
故答案为：点A（2，3）和C（﹣3，﹣2）；
（2）当m＝3时，y＝3x+3，
∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“3倍点”，
∴3x+3＝﹣x2+bx，
∴x2+（3﹣b）x+3＝0，
∴Δ＝（3﹣b）2﹣4×1×3＝0，
∴b＝3；
（3）∵，
∴，
∴函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”为（1，2m），
如图所示，直线x＝1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC⊥y轴于C，
∴AC，
∴102m，
∴m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1或2．
变式1.在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当x1+y1＝x2+y2时，我们称点P与点Q互为“等和点”．
例如：点M（2，﹣3）与点N（﹣2，1）互为“等和点”．
（1）点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”，求b的值；
（2）点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2（k≠0）上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；
（3）直线yx+6在第一象限的部分记为图象G1，抛物线yx2+x+m在﹣1＜x＜4的部分记为图象G2点E在图象G1上，点F在图象G2上．
①若m，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求
m的取值范围．
【分析】（1）根据“等和点”的定义建立方程即可求解；
（2）将点C（﹣1，c）与点D（3，d）都代入y＝kx+2中，根据“等和点”的定义建立方程即可求解；
（3）①由m，故y，设点F（t，），E（t+1，），根据点E与点F互为“等和点”，可得方程tt+1+（），解此方程即可求解；
②将“等和点”视作一种函数关系，设E（a，），设W1＝a，根据0＜a＜8，得到6＜W1＜8；设F（b，），设W2＝b，进一步可得当﹣1＜b＜4时，在对称轴右侧，W2随着b的增大而增大，可确定W2的取值范围为W2＜
12+m，又因为对于任意一个E点，在图象G2上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，可得不等式，解这个不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”，
∴2+3＝b﹣3，
∴b＝8．
（2）∵点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2上，
∴c＝﹣k+2，d＝3k+2，
∵点C与点D互为“等和点”，
∴﹣1+（﹣k+2）＝3+3k+2，
解得：k＝﹣1．
（3）①∵m，故y，
设点F（t，）（﹣1＜x＜4），
在yx+6中，令y＝0，得x＝8．
∵点E在图象G1上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
设点E（t+1，），即E（t+1，），
且0＜t+1＜8，
∴﹣1＜t＜7，
∵点E与点F互为“等和点”，
∴tt+1+（），
整理得t2+7t﹣18＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣9（舍去）．
当t＝2时，，
故F坐标为（2，）．
②设E（a，），设W1＝a，且0＜a＜8，
∵，
∴W1随a的增大而增大，故6＜W1＜8；
设F（b，），设W2＝b，
W2关于b的二次函数图象的对称轴为直线b4，
∵，图象开口向上，
当﹣1＜b＜4时，在对称轴右侧，W2随着b的增大而增大，
当b＝﹣1时，W2；当n＝4时，W2＝12+m，
∴W2＜12+m．
∵在图象G2上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，
也就是对于任意一个E点，在图象G2上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”，
则有，解得：．
故m的范围为．
变式2.对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．
（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点 P2和P3 是线段AB关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可；
（2）过点D作DP⊥x轴于点P，过点D′作D′Q⊥x轴于点Q，证明△DPO≌△OQD′，求出D′的坐标，再求出点D′在线段AC上和在线段AB上时，m的值，即可得出结论；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，根据抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点A′时n有最小值，当抛物线过点C′时n有最大值，即可得解．
【解答】解：（1）∵A（1，1），B（3，1），
∴AB∥x轴，
如图1，点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）绕点O顺时针旋转90°得到的对应点分别为：P1′（0，2），P2′（1，1），P3′（2，1），
其中点P2′（1，1），P3′（2，1），在线段AB上，
∴P2和P3是线段AB关于原点O的“伴随点”，
故答案为：P2和P3；
（2）当时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；理由如下：
∵A（1，1），B（3，1），C（3，2），
∴△ABC在第一象限，
∵点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
∴点D在第二象限，
过点D作DP⊥x轴于点P，过点D′作D′Q⊥x轴于点Q，
则：∠DPO＝∠D′QO＝90°，
∵OD绕点O顺时针旋转90°得到OD′，
∴OD＝OD′，∠DOD′＝90°，
∴∠DOP＝∠OD′Q＝90°﹣∠D′OQ，
在△DPO和△OQD′中，
，
∴△DPO≌△OQD′（AAS），
∴OQ＝DP，D′Q＝OP，
∵D（m，2），
∴OQ＝DP＝|m|，D′Q＝OP＝2，
∵△ABC在第一象限，
∴D′（2，﹣m），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则：
，
解得：，
∴，
当D′在AC上时，，
解得：；
当D′在AB上时，﹣m＝1，
解得：m＝﹣1；
∴当时，点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”；
（3）如图3：△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中A′（﹣1，1），B′（﹣1，3），C′（﹣2，3）．
∵抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，
∴当y＝﹣（x﹣1）2+n过A′，即1＝﹣（﹣1﹣1）2+n，
解得：n＝5，
∴n的最小值为5；
同理，当y＝﹣（x﹣1）2+n过C′，得到n的最大值为12．
例1.已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．
（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；
（2）已知以坐标原点O为圆心的圆半径是，试判断点M与⊙O的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；
（3）对于任意实数m，点M都是直线l上一点，直线l与该二次函数相交于A、B两点，a是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A、B在以O为圆心的圆上．
①求⊙O的半径；
②求该二次函数的解析式．
【分析】（1）由二次函数与x轴只有一个交点，可得Δ＝0，从而得出关于m的方程，解方程即可确定m的值；
（2）写出点M的坐标，用含m的式子表示出OM2，从而可得关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得OM2的最小值，求其算术平方根，可得OM的最小值，从而可判断点M与⊙O的位置关系；
（3）①由切线长定理求得a的值，将其代入抛物线的解析式，写出直线l的解析式，由抛物线的解析式与直线l的解析式可得关于x的方程，解方程，从而用含m的式子表示出点A和点B的坐标，由勾股定理或两点距离公式可得⊙O的半径；②将a和m的值代入抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣2am）2﹣4a（am2﹣2m+2）＝0，
∴8am﹣8a＝8a（m﹣1）＝0，
∵a≠0，
∴m﹣1＝0，
∴m＝1；
（2）∵点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2的顶点，
∴M（m，﹣2m+2），
∵原点O的坐标为（0，0），
∴OM2＝m2+（﹣2m+2）2
＝5m2﹣8m+4
＝5（m）2，
∴当m时，OM2有最小值，
∵，
∴点M在⊙O外；
（3）①作出以3、4、5为边长的三角形，F，G，H是三角形与⊙O的切点，连接OF，OG，如图所示：
由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则∠E＝90°，
由切线的性质可知，OF⊥DE，OG⊥CE，
∴∠OFE＝90°，∠OGE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∵OF＝OG＝a，
∴四边形OFEG是正方形，
∴FE＝EG＝a，
∵CH＝CG，DH＝DF，
∴2a＝3+4﹣5，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，
∵对于任意实数m，点M都是直线l上一点，且M（m，﹣2m+2），
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+2，
令﹣2x+2＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，
解得x1＝m，x2＝m﹣2，
∴A（m，﹣2m+2），B（m﹣2，﹣2m+6），
∵点A、B在以O为圆心的圆上，
∴m2+（﹣2m+2）2＝（m﹣2）2+（﹣2m+6）2，
解得m，
∴⊙O的半径为：
．
②将a＝1，m代入抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2得：
y＝x2x．
∴该二次函数的解析式为y＝x2x．
变式1.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；
（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；
（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EFAB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．
【分析】（1）将b＝﹣10a代入y＝ax2﹣3ax+b，求得点A和点B的坐标，用a表示出点C的坐标，利用正切函数的定义即可得出tan∠CBA的值；
（2）由二次函数y＝ax2﹣3ax+b的顶点为D，可得点D的横坐标，过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，判定△AOP∽△AHD，从而得比例式，根据AP：DP＝2：3，可得出点A、点B的坐标，代入解析式可得y＝ax2﹣3ax﹣4a，从而可用a表示出点C的坐标，再分三种情况计算：①若AB＝BC，②若AB＝AC，③显然不存在BC＝AC．前两种情况分别根据两点距离公式可解得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（3）由点A、点B、点C的坐标求得直线AC和直线BC的k值；由圆周角定理可得∠ECF＝90°，则可得kAC×kBC＝﹣1，从而解得a的值，求得点C的坐标，取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动，在Rt△QHN中，QN，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值．
【解答】解：（1）∵b＝﹣10a，
∴y＝ax2﹣3ax+b
＝ax2﹣3ax﹣10a
＝a（x+2）（x﹣5），
令y＝0，得a（x+2）（x﹣5）＝0，
∵a＜0，
∴x1＝﹣2，x2＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），C（0，﹣10a），
∴tan∠CBA2a；
（2）∵二次函数y＝ax2﹣3ax+b的顶点为D，
∴xD．
过D作DH⊥x轴，交x轴于点H，如图：
∵OP∥DH，
∴△AOP∽△AHD，
∵AP：DP＝2：3，OH，
∴OA：OH＝AP：DP＝2：3，
∴OA＝1，
∴A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴y＝a（x﹣4）（x+1）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
①若AB＝BC，则AB2＝BC2，
∴16+16a2＝25，
解得a或a（舍），
∴yx2x+3；
②若AB＝AC，则AB2＝AC2，
∴1+16a2＝25，
解得a或a（舍），
∴yx2x+2；
③显然不存在BC＝AC．
∴抛物线的解析式为yx2x+3或yx2x+2；
（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4a），
∴kAC＝﹣4a，kBC＝a，
∵以EF为直径的圆经过点C，
∴∠ECF＝90°，
∴kAC×kBC＝﹣1，即﹣4a×a＝﹣1，
解得a或a（舍），
∴C（0，2），
∵AB＝5，
∴EFAB＝3，
取EF的中点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，则Q在以C为圆心，为半径的圆上运动，
由垂径定理得：MN＝2HN，
在Rt△QHN中，QN，求HN的最大值等价于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出MN的最大值，
∵QH的最小值为：2，
∴HN的最大值为：，
∴MN的最大值为2．
变式2.如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点D．以AB为直径作圆，圆心为点C，定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）求用m表示的A、B、D三点坐标；
（2）当m为何值时，点M在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积．
【分析】（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；
（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；
（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．
【解答】解：（1）令y＝0，则（x+m）（x﹣3m）＝0，
解得x1＝﹣m，x2＝3m；
令x＝0，则y（0+m）（0﹣3m）m．
故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）；
（2）当m＝1时，点M在直线ED上．理由如下：
设直线ED的解析式为y＝kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k，bm．
∴直线ED的解析式为ymxm．
将y（x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y（x﹣m）2m．
∴顶点M的坐标为（m，m）．代入ymxm得：m2＝m
∵m＞0，
∴m＝1．
∴当m＝1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD，OC＝1，
∴CD＝2，D点在圆上
又∵OE＝3，DE2＝OD2+OE2＝12，
EC2＝16，CD2＝4，
∴CD2+DE2＝EC2．
∴∠EDC＝90°
∴直线ED与⊙C相切．
（3），
当0＜m＜3时，，即．
当m＞3时，，即．
综上所述知：．
变式3.已知：抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线．
（1）求m、n的值；
（2）若A点坐标为（0，1），C为抛物线C2上的一个动点，以C为圆心CA为半径的圆交x轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作OB⊥OC交抛物线C2于B．
①试探究：随C点的运动线段MN的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出MN的值；
②连结BC，随着C点的运动，B点也随之运动，当BC的中点落在y轴上时，求点C的坐标；
③连结CD、DB并继续探究：在点B随点C的运动过程中，点C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明．
【分析】（1）利用配方法将二次函数化为顶点式，进而利用二次函数图象平移规律得出即可；
（2）①利用在Rt△CEN中，由勾股定理得：EN2＝CN2﹣CE2，进而得出MN的值；
②由BC的中点落在y轴上时，a+b＝0，即可求解；
③不论a为何值，直线BC与y轴交于点（0，2），进而得出直线BC必过点D（0，2），B、C、D三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）配方得：yx2﹣3x（x﹣3）2﹣2，
∴m＝3，n＝﹣2；
（2）①设C（m，m2），作CE⊥x轴于E，
由垂径定理得：ENMN，
∵CN2＝CA2＝m2+（m2﹣1）m4+1，
CE2＝（m2）2m4，
在Rt△CEN中，由勾股定理得：
EN2＝CN2﹣CE2＝1．
∴MN＝2EN＝2，
即在C点的运动过程中MN始终保持不变．
②BF⊥y轴于F，BH⊥x轴于H，CG⊥y轴于G，
设C（a，a2），B（b，b2），
∵D、O关于A点对称，
∴D（0，2）
∵∠COB＝90°，
∴∠COE+∠BOH＝90°
又∵∠COE+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠BOH，
∴Rt△COE～Rt△OBH，
∴CE：OH＝OE：BH，则a2：b＝﹣a：（b2），
则ab＝﹣4，
当BC的中点落在y轴上时，即a+b＝0，
则a（﹣a）＝﹣4，
解得：a＝±2，
即点C（2，2）或（﹣2，2）；
③C、D、B始终保持在同一直线上，
理由是：由②知ab＝﹣4，
∴B（b，）即为（，），
设直线BC为：y＝kx+m，则：
，
∴b（4+a2）＝2（4+a2），
∴b＝2，即，不论a为何值，直线BC与y轴交于点（0，2），
即直线BC必过点D（0，2），∴B、C、D三点在同一条直线上．
另解提示：
当B点位置高于C点时，
又∵BF：CG＝b：（﹣a），
即DF：DG＝（b2﹣4）：（4﹣a2）＝4：a2，
∴BF：CG＝DF：DG，
又∵∠DFB＝∠DGC＝90°，
∴△CDG∽△BDF，
∴∠CDG＝∠FDB，
∴C、D、B共线，
当B点位置低于C点时，同理可得出C、D、B共线，
当∠COD＝45°时，OC＝OG＝OB，∠OGC＝∠OGB＝90°，C、D、B共线．
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．
①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；
②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①依据题意画出图形，利用A，C，D的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E，F坐标，再利用四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA+S△DFC解答即可；
②依据题意画出图形，利用A，C，D的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E坐标
和线段DE，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ，则结论可求．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，经过点C（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴A（2，﹣1）．
设抛物线的对称轴交x轴于点G，
∴AG＝1．
令x＝0，则y＝3，
∴D（0，3），
∴OD＝3．
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（1，0）．
如果DE∥AC，需将抛物线向左平移，设DE交x轴于点F，平移后的抛物线对称轴交x轴于点H，如图，
∵点C的坐标为（3，0），
∴OC＝3．
由题意：∠ACB＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠DFC＝∠ACB＝45°．
∴OF＝OD＝3，
∴F（﹣3，0），
由题意：EH＝1，
∴FH＝EH＝1，
∴E（﹣4，﹣1）．
∵AE∥x轴，DE∥AC，
∴四边形EFCA为平行四边形，
∵AE＝2﹣（﹣4）＝6，
∴S平行四边形EFCA＝6×1＝6．
∵S△DFCFC OD6×3＝9，
∴四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA+S△DFC＝6+9＝15；
②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，∠DQE＝∠CDQ，如图，
当点Q在x轴的下方时，
设平移后的抛物线的对称轴交x轴于F，由题意：EF＝1．
∵OD＝OC＝3，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠FCE＝∠OCD＝45°，
∴CF＝EF＝1，
∴E（4，﹣1）．
∵CD3，CE，
∴DE＝CD+CE＝4．
∵∠DQE＝∠CDQ，
∴EQ＝DE＝4，
∴QF＝EF+EQ＝41，
∴Q（4，﹣41）；
当点Q在x轴的上方时，此时为点Q′，
∵∠DQ′E＝∠CDQ′，
∴EQ′＝DE＝4，
∴Q′F＝EQ′﹣EF＝41，
∴Q′（4，41）．
综上，当∠DQE＝∠CDQ时，点Q的坐标为（4，﹣41）或（4，41）．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，点A在点B左侧，与y轴交于点C（0，5），抛物线的顶点为D，作直线BD．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作y轴的垂线，与直线BD交于点E，点C关于直线PE的对称点为C'，连接CE、C'E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点C′的纵坐标与顶点D的纵坐标相等时，求m的值；
（3）当此抛物线在△ECC'内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）连接DA，当∠ECC'与∠DAB相等时，直接写出m的值．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）求出D（2，9），C'（0，9），可得yP＝7，故﹣m2+4m+5＝7，即可解得m的值为2；
（3）当0＜m＜2时，画出图形知抛物线在△ECC′内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，当m＜﹣1时，抛物线在△ECC′内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，故m的取值范围为0＜m＜2或m＜﹣1；
（4）设抛物线对称轴直线交x轴于T，设P（m，﹣m2+4m+5），求出B（5，0），直线BD解析式为y＝﹣3x+15，可得E（m2m，﹣m2+4m+5），由∠ECC'＝∠DAB，可得∠CEP＝∠ADT，故tan∠CEP＝tan∠ADT，可得，即可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣（x﹣a）2+c得：，
解得，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴D（2，9），
∵点C′的纵坐标与顶点D的纵坐标相等，
∴C'（0，9），
∵C（0，5），
∴线段CC'的中点为（0，7），即yP＝7，
∵点P在抛物线对称轴左侧，横坐标为m，
∴﹣m2+4m+5＝7，
解得m＝2（此时P不在对称轴左侧，舍去）或m＝2，
∴m的值为2；
（3）∵P点在对称轴左侧，
∴m＜2，
当0＜m＜2时，如图：
由图知，抛物线在△ECC′内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，
当﹣1＜m＜0时，在△ECC′内部不存在抛物线图象，
当m＜﹣1时，如图：
抛物线在△ECC′内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，
综上所述，m的取值范围为0＜m＜2或m＜﹣1；
（4）设抛物线对称轴直线交x轴于T，如图：
设P（m，﹣m2+4m+5），
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝﹣1或x＝5，
∴B（5，0），
∵D（2，9），
∴直线BD解析式为y＝﹣3x+15，
令y＝﹣m2+4m+5得：﹣m2+4m+5＝﹣3x+15，
解得xm2m，
∴E（m2m，﹣m2+4m+5），
∵C，C'关于直线PE对称，A，B关于直线DT对称，
∴CE＝C'E，DA＝DB，∠CEP∠CEC'，∠ADT∠ADB，
∴∠ECC'＝∠EC'C，∠DAB＝∠DBA，
∵∠ECC'＝∠DAB，
∴∠ECC'＝∠EC'C＝∠DAB＝∠DBA，
∴∠CEC'＝∠ADB，
∴∠CEP＝∠ADT，
∴tan∠CEP＝tan∠ADT，即，
∴，
整理得9|m2﹣4m|＝m2﹣4m+10，
∴9（m2﹣4m）＝m2﹣4m+10或﹣9（m2﹣4m）＝m2﹣4m+10，
解得m或（由于m＜2，故舍去）或m＝2或m＝2（舍去），
∴m的值为或2．
变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）该抛物线的表达式为 y＝x2﹣4x+3 ；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
【分析】（1）由对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），得出B（3，0），由交点式得出函数关系
式；
（2）方法一：作AD⊥BC于D，可知D在对称轴上，求出E的坐标，得出直线CE的关系式与抛物线求交点即可；
方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，证明△ABC≌△DBC，得AB＝BD，可得D的坐标，从而求出CP解析式，得到P的坐标；
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），
∴B（3，0），
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
故答案为：y＝x2﹣4x+3；
（2）方法一：作AD⊥BC于D，交CP于E，如图：
在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴D（2，1），
∵∠PCB＝∠ACB，
∴AD＝DE，
∴E（3，2），
∴直线CE的关系式为：yx+3，
由x+3＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2，
∴P（，），
方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，如图：
∵OC＝OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠DBC＝∠ABC＝45°，
∵∠PCB＝∠ACB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB＝2，
∴D（3，2），
∴直线CP的解析式为yx+3，
由x+3﹣＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2，
∴P（，）；
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且经过点D（4，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PE∥y轴，交直线CD于点E，若以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCD＝45°．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y
