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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1：点动 ★★★★ 题型结构：以几何综合题为主，常与二次函数、特殊四边形、圆等知识交汇，设置多步骤解答题（如3-4小问），重点考察动态过程中的最值、轨迹分析或存在性问题。 难度：整体难度中等偏上，结合生活情境（如新能源、传统文化）增强创新性，需灵活运用分类讨论、数形结合等思想，压轴题可能涉及复杂模型构建。 分值占比：预计占10%-15%，在解答题中常作为区分度较高的题型出现，单题分值8-12分。 命题将强化核心素养导向，注重跨模块知识整合与实际应用能力。
考向2：线动 ★★★★
考向3：点线互动 ★★★★
本类题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段函数对应的函数解析式，明确各段的函数图象
本类题考查了最短路线问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．
本类题考查了几何图形的面积，几何动点问题的应用，找准几何图形的面积公式，并并注意运用分类讨论的思想解决问题．
本类题考查了动点构成特殊三角形，解答本题关键是讨论动点的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考．
本类题考查了数轴，方程的应用，利用数轴进行“数”与“形”的结合是本题的关键．
本类题属于二次函数与动点结合的综合题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题。
本类题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，利用一元一次方程解决动角问题、角平分线的定义、角的和差等内容，正确找出临界位置，添加恰当辅助线，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
本类题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是运用数形结合思想得出．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
本类题考查坐标与图形变换﹣平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，坐标平移的变化规律．
本类题考查函数中的动点，动线问题，解题的关键是熟练掌握函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，
本类题属于函数综合题，其中直线是一次函数结构，主要考查一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
本类题是四边形综合题，考查了几何图形，旋转等性质和知识，利用分类讨论思想，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例1.如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4.4 B．4.8 C．5 D．6
变式1.如图，正方形ABCD的边长为6，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点C出发，沿C→D→A运动，到点A时停止运动．点F的运动速度是点E的运动速度的2倍，设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是
变式1.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是 ．
变式2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝2，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的动点，且∠DEF＝120°，DE＝EF，点G为DF的中点，则AG的最小值为 ．
例3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为12？
变式1.如图，AC⊥CB，垂足为C点，AC＝CB＝8cm，点Q是AC的中点，动点P由B点出发，沿射线BC方向匀速移动．点P的运动速度为2cm/s．设动点P运动的时间为ts．为方便说明，我们分别记三角形ABC面积为S，三角形PCQ的面积为S1，三角形PAQ的面积为S2，三角形ABP的面积为S3．
（1）S3＝ cm2（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动几秒，S1S，说明理由；
（3）请你探索是否存在某一时刻，使得S1＝S2＝S3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
变式2．如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
例4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
变式1.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为 时，△PQB为直角三角形．
变式2．如图，已知矩形ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，点F为CD中点．点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，同时，点E从点C出发，沿CA方向匀速向点A运动，点P，点E的运动速度均为1cm/s；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接PE、PF．设运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，点P在∠ABD的平分线上；
（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△PEF：S矩形ABCD＝1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接DE，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△CDE是等腰三角形．若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
例5.已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．
（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ；
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当P点到达A点时，立即返回向右运动，到达B点停止．同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达B点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
变式1.如图，数轴上A、B两点表示的数为﹣6、19，动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度匀速向右运动，动点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度匀速向左运动，且两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求点A与点B两点间的距离；
（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数；
（3）若点P、Q相遇后，点Q按原路立即返回，速度变为原来的2倍，点P继续按原速原方向运动，在整个运动过程中，t为何值时PO＝BQ？
变式2．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A，B，C表示的数分别为﹣10，10，18，我们称A，C两点在折线数轴上的路程为28个单位长度．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，点P和点O在折线数轴上相距 个单位长度；当t＝7.5时，点P和点O在折线数轴上相距 个单位长度；当t＝9时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度．
（2）当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？
（3）在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此时t的值．
例6.已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
变式1.如图，直线l：y＝x+4与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线C1：ybx+c经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段OA上一动点，直线CE交抛物线于点D．
（1）填空：b＝ ，c＝ ；
（2）若CE：ED＝2：3，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线CE于点M，N，设PM+PN＝d，点P的横坐标为m（﹣3≤m≤2）．
①求d关于m的函数关系式；
②求满足d为整数的点P的个数．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，线段PO与直线AC相交于点F．求当取得最大值时P点的坐标，当线段OC在y轴上滑动时，连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
例7.线动夹角
如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP＝30°．
（1）∠FPE的度数是 ；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按每秒40°的速度返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时
针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，则时间t的值为 ．
变式1.已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，∠EFD＝60°，过点E的直线l从与直线AB重合开始，以2°/秒的速度绕点E逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90s），直线l与直线CD交于点G．
（1）如图1，当t＝20s时，请直接写出∠FEG的度数．
（2）已知∠MFN＝90°，射线FM与射线FD重合，射线FN在直线CD的上方，∠MFN以1°/秒的速度绕点F逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90s），射线FN交直线AB于点P．
①如图2，猜想∠APN与∠CGE之间的数量关系，并证明．
②在旋转过程中，直线EG交直线NF于点H，Q为直线EG上且位于点E上方的一点，射线EK为∠QEF的角平分线，若2∠EHF＝∠AEK+48°，请直接写出此时t的值．
变式2．已知如图1，点O是直线AB上的一点，∠AOD＝90°，2∠AOC＝∠COD．
（1）求∠COD的度数；
（2）若∠COD绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；
（3）若∠COD的边OC，OD从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒10°和每秒5°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时两边都停止旋转），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，OM平分∠EOC．设旋转时间为t秒．
求：①当旋转时间t＝ 时，∠COD＝10°；
②当旋转时间t＝ 时，∠COM＝∠BOF．
例8.线动旋转
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CB绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，连接AD，那么∠DAE的度数（ ）
A．随着α的增大而增大
B．随着α的增大而减小
C．不变
D．随着a的增大，先增大后减小
变式1.如图，在平面直角坐标系中A（1，0），C（2，3），将AC绕点A顺时针旋转90°，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，﹣4） D．（﹣4，1）
变式2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∠B＝45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例9.直线平移
如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1的坐标为（1，4），则B1的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（3，3） D．（1，1）
变式1.如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
变式2.已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至A1B1．若点A1（a，1），点B1（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
例10.线动与函数
如图所示，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝ax2+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
变式1.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：yx向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
变式2.如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+60的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
例11.如图，平面直角坐标系中，点B（m，0），C（6，n）在直线yx﹣6上．动点P从点A（0，﹣2）出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：yx+b也随之移动，直线l与x轴交于点N，设点P移动的时间为t秒．
（1）m＝ ，n＝ ，当t时，求直线l的解析式；
（2）若点N在直线BC的左侧，则当t为何值时S△BCN＝3；
（3）横纵坐标都为整数的点为整点，直接写出线段BN上有4个整点时
t的取值范围．
变式1.如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．
（1）点M的坐标为 ；
（2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求△QMA周长的最小值及此时点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线l⊥x轴，交直线MQ于点G，交直线AB于点H，若GH的长为3，求点F的坐标．
变式2.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作CD∥y轴交直线AB于点E，使，设点C的横坐标为m．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）当DE＝CE时，求m的值；
（3）连接AD，BD，在点C运动的过程中，当S△ADB＝S△AOB时，求m的值．
例12.如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作 ADEF．
① ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
变式1.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
变式2.如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，若BE＝1，则AF＝ ；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在求出AG最小值，并求出此时AE的值；若不存在，请说明理由．
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1：点动 ★★★★ 题型结构：以几何综合题为主，常与二次函数、特殊四边形、圆等知识交汇，设置多步骤解答题（如3-4小问），重点考察动态过程中的最值、轨迹分析或存在性问题。 难度：整体难度中等偏上，结合生活情境（如新能源、传统文化）增强创新性，需灵活运用分类讨论、数形结合等思想，压轴题可能涉及复杂模型构建。 分值占比：预计占10%-15%，在解答题中常作为区分度较高的题型出现，单题分值8-12分。 命题将强化核心素养导向，注重跨模块知识整合与实际应用能力。
考向2：线动 ★★★★
考向3：点线互动 ★★★★
本类题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段函数对应的函数解析式，明确各段的函数图象
本类题考查了最短路线问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．
本类题考查了几何图形的面积，几何动点问题的应用，找准几何图形的面积公式，并并注意运用分类讨论的思想解决问题．
本类题考查了动点构成特殊三角形，解答本题关键是讨论动点的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考．
本类题考查了数轴，方程的应用，利用数轴进行“数”与“形”的结合是本题的关键．
本类题属于二次函数与动点结合的综合题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题。
本类题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，利用一元一次方程解决动角问题、角平分线的定义、角的和差等内容，正确找出临界位置，添加恰当辅助线，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
本类题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是运用数形结合思想得出．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
本类题考查坐标与图形变换﹣平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，坐标平移的变化规律．
本类题考查函数中的动点，动线问题，解题的关键是熟练掌握函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，
本类题属于函数综合题，其中直线是一次函数结构，主要考查一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
本类题是四边形综合题，考查了几何图形，旋转等性质和知识，利用分类讨论思想，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
例1.如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．4.4 B．4.8 C．5 D．6
【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【解答】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，连接AC，
根据图2知：当点P与点B重合时，AP＝AB＝3，
当P与E重合时，AB+BP＝4.8，
∴BP＝BE＝1.8，
∴AE，
当点P到达点C时，AP＝AC＝4，
∴EC，
∴BC＝BE+EC＝1.85．
故选：C．
变式1.如图，正方形ABCD的边长为6，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点C出发，沿C→D→A运动，到点A时停止运动．点F的运动速度是点E的运动速度的2倍，设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可将当0≤x≤3时，AE＝x，求得，是一个一次函数，当3＜x≤6时，AE＝x，，是一个二次函数，根据图形结合结合求解．
【解答】解：当0≤x≤3时，AE＝x，
∴，
当3＜x≤6时，AE＝x，
AF＝6﹣2（x﹣3）＝12﹣2x，
∴x（12﹣2x）＝﹣x2+6x，
即对称轴为x＝3，开口向下，如选项C所示，
故选：B．
变式2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P为矩形边上的一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
点P到A→B的过程中，y＝0（0≤x≤2），故选项C错误；
点P到B→C的过程中，yBP AB＝x﹣2（2＜x≤6），故选项A错误；
点P到C→D的过程中，yBC PC＝4（6＜x≤8），故选项D错误；
点P到D→A的过程中，yAB AP＝12﹣x，
由以上各段函数解析式可知，选项B正确，
故选：B．
例2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 22 ．
【分析】AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题．
【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°，
∴∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP，
∴△ADP≌△EDP（SAS），
∴AP＝EP，
∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON22，
∴AP+PQ的最小值为，
故答案为：．
变式1.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是 22 ．
【分析】连接AC与EF相交于O，判断出点O是正方形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：如图，
连接AC与EF相交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，AE＝CF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OA＝OC，
∴点O是正方形的中心，
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝2，AH＝6，
由勾股定理可得MA2，MGOB＝2，
∵AG≥AM﹣MG＝22，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝22．
故答案为：22．
变式2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝2，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的动点，且∠DEF＝120°，DE＝EF，点G为DF的中点，则AG的最小值为 ．
【分析】根据垂线段最短可得AG⊥DF时，AG的值最小，由垂直平分线的性质可得AD＝AF，∠DAF＝60°，从而可证△ADF是等边三角形，可得∠AFD＝60°，再根据等腰三角形的性质可得∠EFD＝30°，从而可得此时点F与点C重合，根据等边三角形的性质可得AF＝DF＝2，GF＝1，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：当AG⊥DF时，AG的值最小，
∴∠AGF＝90°，
∵点G为DF的中点，
∴AD＝AF，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD＝60°，
∵∠DEF＝120°，DE＝EF，
∴∠EFD＝30°，
∴∠AFE＝90°，
∴点F与点C重合，
如图，∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝2，
∴，
在Rt△AGF中，，
故答案为：．
例3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 6秒 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t＝ 6.5秒 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为12？
【分析】（1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．
【解答】解：（1）△ABC中，∵AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，
∴2t＝12，
解得t＝6．
故答案为：6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴2t＝13，
解得t＝6.5．
故答案为：6.5；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积＝12，
∴6×CP＝12，
∴CP＝4，
∴2t＝4，t＝2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t＝13，t＝6.5．
故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12．
变式1.如图，AC⊥CB，垂足为C点，AC＝CB＝8cm，点Q是AC的中点，动点P由B点出发，沿射线BC方向匀速移动．点P的运动速度为2cm/s．设动点P运动的时间为ts．为方便说明，我们分别记三角形ABC面积为S，三角形PCQ的面积为S1，三角形PAQ的面积为S2，三角形ABP的面积为S3．
（1）S3＝ 8t cm2（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动几秒，S1S，说明理由；
（3）请你探索是否存在某一时刻，使得S1＝S2＝S3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由三角形的面积公式可以直接得出结论；
（2）由三角形的面积公式先表示出S1再由S1S建立方程求出其解即可；
（3）根据（1）（2）由S1＝S3建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
S38t．
故答案为：8t；
（2）由题意，得
当0≤t≤4时，S116﹣4t，
当t＞4时，S14t﹣16，
∴当16﹣4t8×8时，
t＝2，
当4t﹣168×8时，
t＝6．
答：当点P运动2秒或6秒时，S1S；
（3）由题意，得
16﹣4t＝8t，
解得：t．
答：当t时，S1＝S2＝S3．
变式2．如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【分析】（1）根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5cm；
（2）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2；
（3）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ以及二次函数最值便可表示出△PCQ的面积，进而求出四边形BPQA的面积最小值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC＝24cm，BC＝7cm，
∴AB＝25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2；
解得t＝1或t（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
S△PCQ（7﹣2t）×5t＝15，
解得t1＝2，t2＝1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2；
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
四边形BPQA的面积为：S△ABC﹣S△PCQ7×24PC×CQ
＝84（7﹣2t）×5t
＝84（﹣2t2+7t）
＝84+5（t2t）
＝5（t）2，
∴四边形BPQA的面积最小值为：（cm2），
当点P运动秒时，四边形BPQA的面积最小为cm2．
例4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2s B．4s C．2s或4s D．2s或4.5s
【分析】先根据时间和速度确定两动点P和Q的路程：AP＝BQ＝t，根据直角三角形30度的性质得AB的长，分两种情况：当∠APQ＝90°和∠AQP＝90°，根据AQ＝2AP和AP＝2AQ列方程可得结论．
【解答】解：由题意得：AP＝BQ＝t，
Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴当△APQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图1，∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴6﹣t＝2t，
t＝2；
②当∠AQP＝90°时，如图2，
当0＜t≤3时，AP＝2AQ，即t＝2（6﹣t），
t＝4（不符合题意），
当t＞3时，P与C重合，则AQ6﹣t，
t＝4.5，
综上，t的值为2s或4.5s；
故选：D．
【点评】本题考查了几何动点问题，一元一次方程的应用，等量关系比较明显，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式1.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为 2或5或5 时，△PQB为直角三角形．
【分析】要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的t值即可；
【解答】解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ＝45°，
∴∠OPG＝45°，
∵OPt，
∴OG＝PG＝t，
∴点P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，
①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，
即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝2，
∴t＝2，
②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，
整理得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5±．
∴当t＝2或t＝5或t＝5时，△PQB为直角三角形．
故答案为：2或5或5．
变式2．如图，已知矩形ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，点F为CD中点．点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，同时，点E从点C出发，沿CA方向匀速向点A运动，点P，点E的运动速度均为1cm/s；当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动．连接PE、PF．设运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：
（1）求当t为何值时，点P在∠ABD的平分线上；
（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△PEF：S矩形ABCD＝1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接DE，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△CDE是等腰三角形．若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1，过点P作PQ⊥BD于点Q，根据HL可知Rt△ABP≌Rt△QBP，故可得出BQ，DQ的长，再根据勾股定理即可得出t的值；
（2）根据△PEF的面积等于△ADC的面积减去三个三角形的面积或用梯形的面积减去两个三角形的面积，即可得出结论；
（3）先计算矩形ABCD的面积＝6×8＝48，由已知S△PEF：S矩形ABCD＝1：8可得△PEF的面积，根据（2）列方程可得结论；
（4）存在，△CDE是等腰三角形时有三种情况：DE＝CE或CD＝DE或CD＝CE，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ⊥BD于点Q，
由题意得：PD＝t，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴BD10，
∵PB平分∠ABD，PQ⊥BD，∠BAD＝90°，
∴AP＝PQ＝8﹣t，
∵PB＝PB，
∴Rt△ABP≌Rt△QBP（HL），
∴BQ＝AB＝6，
∴DQ＝10﹣6＝4，
由勾股定理得：PD2＝PQ2+DQ2，
∴t2＝（8﹣t）2+42，
解得：t＝5，
∴当t为5时，点P在∠ABD的平分线上；
（2）如图2，过点P作PG⊥AC于G，过点E作EH⊥CD于H，
由题意得：CE＝t，
∵sin∠ECH，即，
∴EHt，
同理得：PG（8﹣t），
∵S△PEF＝S△ADC﹣S△APE﹣S△PDF﹣S△CEF
＝24﹣24tt2﹣2.7t
＝﹣0.3t2+2.7t，
即y＝﹣0.3t2+2.7t；
（3）存在满足条件的t，使得S△PEF：S矩形ABCD＝1：8；
∵S矩形ABCD＝6×8＝48，
∵S△PEF：S矩形ABCD＝1：8，
∴S△PEF48＝6，
由（2）得：﹣0.3t2+2.7t＝6，
解得：t＝4或5；
（4）存在，
分三种情况：
①如图3，当E与O重合时，ED＝EC，此时t＝5；
②如图4，CE＝CD＝6，此时t＝6；
③如图5，DE＝CD＝6，过点D作DM⊥AC于M，
cos∠ACD，即，
∴DM＝3.6，
∴CE＝2CM＝7.2，
∴t＝7.2，
综上，t的值是5或6或7.2．
例5.已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．
（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 40 ；
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 30 ；
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当P点到达A点时，立即返回向右运动，到达B点停止．同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达B点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
【分析】（1）先求﹣10与90和的一半，进一步可得M点对应的数；
（2）先求出AB的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点Q移动的距离，进而可得出C点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距10个单位长度和相遇后相距10个单位长度；追上前相距10个单位长度和追上后相距10个单位长度；P点回到B点停止运动时相距10个单位长度；依此列式计算即可求解．
【解答】解：（1）∵AM＝[90﹣（﹣10）]÷2＝50，
∴点M表示的数为﹣10+50＝40．
故答案为：40；
（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90，
∴AB＝90+10＝100，
设t秒后P、Q相遇，
∴3t+2t＝100，解得t＝20；
∴此时点Q走过的路程＝2×20＝40，
∴此时C点表示的数为﹣10+40＝30．
答：C点对应的数是30．
故答案为：30；
（3）相遇前：（100﹣10）÷（2+8）＝9（秒），
相遇后：（10+100）÷（2+3）＝11（秒），
追上前：100÷8+（100÷8×2﹣10）÷（8﹣2）＝15（秒），
追上后：100÷8+（100÷8×2+10）÷（8﹣2）＝18（秒），
P点回到B点停止运动时相距10个单位长度：（100﹣10）÷2＝45（秒），
故经过9秒或11秒或15秒或18秒或45秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度．
变式1.如图，数轴上A、B两点表示的数为﹣6、19，动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度匀速向右运动，动点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度匀速向左运动，且两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求点A与点B两点间的距离；
（2）当t为何值时，P、Q两点相遇，求此时点P表示的数；
（3）若点P、Q相遇后，点Q按原路立即返回，速度变为原来的2倍，点P继续按原速原方向运动，在整个运动过程中，t为何值时PO＝BQ？
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据速度和×时间＝路程和，列出方程计算即可求解；
（3）根据PO＝BQ列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）点A与点B两点间的距离为19﹣（﹣6）＝25；
（2）依题意有：（3+2）t＝25，
解得t＝5，
故t为5时，P、Q两点相遇，此时点P表示的数为﹣6+3×5＝9；
（3）依题意有：9+3（t﹣5）＝19﹣9﹣2×2（t﹣5），
解得t．
故在整个运动过程中，t为时PO＝BQ．
变式2．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A，B，C表示的数分别为﹣10，10，18，我们称A，C两点在折线数轴上的路程为28个单位长度．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，点P和点O在折线数轴上相距 4 个单位长度；当t＝7.5时，点P和点O在折线数轴上相距 2.5 个单位长度；当t＝9时，点P和点Q在折线数轴上相距 5 个单位长度．
（2）当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？
（3）在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此时t的值．
【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数和距离；
（2）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为11.5秒，确定相遇点M对应的数是6.5；
（3）由路程、速度、时间三者关系，根据PO＝QB求出t的值．
【解答】解：（1）∵当t＝3时，AP＝2×3＝6，
∴点P和点O在折线数轴上相距10﹣6＝4个单位长度；
∵当t＝7.5时，AP＝2×5+1×（7.5﹣5）＝12.5，
∴点P和点O在折线数轴上相距12.5﹣10＝2.5个单位长度；
∵当t＝9时，AP＝2×5+1×（9﹣5）＝14，CQ＝1×9＝9，
∴点P和点Q在折线数轴上相距18﹣（﹣10）﹣14﹣9＝5个单位长度．
故答案为：4，2.5，5；
（2）依题意得：
t+t﹣5+2×5＝18﹣（﹣10），
解得：t＝11.5，
故当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是18﹣1×11.5＝6.5；
（3）依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2．
故t的值是2．
例6.已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴分别交于点A和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，交x轴于点D，P为抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当∠PCA＝∠ACD时，求点P的坐标；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据对称轴公式x可得a＝﹣1，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得c＝3，即可解答；
（2）分两种情况：①点P在AC的下方时，先利用待定系数法可得CD的解析式，联立抛物线和直线CD的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在AC的上方时，证明∠OCD＝∠AEC，可得tan∠OCD＝tan∠AEC，即可解答；
（3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），分三种情况：①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝
90°，②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°，③如图5，∠APC＝90°，即可解答．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c，对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+c，
将点B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c中得：
﹣1﹣2+c＝0，
∴c＝3，
∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）分两种情况：
①点P在AC的下方时，如图1，
∵D（1，0），C（0，3），
设DC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，
∴﹣x2+2x+3＝﹣3x+3，
解得：x1＝0（舍），x2＝5，
∴点P的坐标为（5，﹣12）；
②点P在AC的上方时，如图2，设直线CP交x轴于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
∵∠ACO＝∠ACD+∠OCD，∠CAO＝∠ACP+∠AEC，∠ACD＝∠ACP，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴tan∠OCD＝tan∠AEC，
∴，
∴，
∴OE＝9，
∵E（9，0），
易得CE的解析式为：yx+3，
∴﹣x2+2x+3x+3，
∴3x2﹣7x＝0，
x（3x﹣7）＝0，
∴x1＝0，x2，
∴点P的坐标为（，）；
综上，点P的坐标为（5，﹣12）或（，）；
（3）设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
分三种情况：
①如图3，过点P作PF⊥x轴于F，则∠AFP＝90°，
∵四边形ACQP是矩形，
∴∠CAP＝90°，
∵∠CAO＝45°，
∴∠PAF＝45°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴AF＝FP，
∴3﹣t＝t2﹣2t﹣3，
∴t1＝3，t2＝﹣2，
∴点P的横坐标为﹣2，
∵A（3，0），C（0，3），
∴点Q的横坐标为﹣5；
②如图4，过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGC＝90°，
∵四边形ACPQ是矩形，
∴∠ACP＝90°，
∵∠ACO＝45°，
∴∠PCG＝45°，
∴△PCG是等腰直角三角形，
∴PG＝CG，
∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，
∴t＝0或1，
∴点P的横坐标为1，
∴点Q的横坐标为4；
③如图5，∠APC＝90°，
∴CP2+AP2＝AC2，
∴t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2+（t﹣3）2+（﹣t2+2t+3﹣0）2＝（3）2，
∴t4﹣4t3+2t2+3t＝0，
∵t≠0，
∴t3﹣4t2+2t+3＝0，
∴（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0，
∴t1＝3（舍），t2，t3，
∴点Q的横坐标是或；
综上，点Q的横坐标是﹣5或4或或．
变式1.如图，直线l：y＝x+4与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线C1：ybx+c经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段OA上一动点，直线CE交抛物线于点D．
（1）填空：b＝ ﹣1 ，c＝ 4 ；
（2）若CE：ED＝2：3，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线CE于点M，N，设PM+PN＝d，点P的横坐标为m（﹣3≤m≤2）．
①求d关于m的函数关系式；
②求满足d为整数的点P的个数．
【分析】（1）先确定A、B的坐标，然后再将A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组求解即可；
（2）先确定点C（﹣2，0），如图1，过点D作DG∥y轴，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得点D的横坐标为﹣3，即可解答；
（3）①根据点P的横坐标为m表示PM，PN的长，分两种情况根据PM+PN＝d即可解答；
②分﹣3≤m＜0，0≤m≤2两种情况，根据①中的函数解析式统计满足d为整数的点P的个数即可．
【解答】解：（1）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣4，
∴点A（0，4），点B（﹣4，0），
把点A（0，4），点B（﹣4，0）代入yx2+bx+c得：，
解得：，
即b的值为﹣4，c的值为4；
故答案为：﹣1，4；
（2）由（1）得yx+4，
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
∴点C（2，0），
∴OC＝2，
如图1，过点D作DG∥y轴，交BC于点G，
∴，
∵CE：ED＝2：3，
∴，
∴OG＝3，
即点D的横坐标为﹣3，
当x＝﹣3时，y9+3+4＝2.5，
∴点D的坐标为（﹣3，2.5）；
（3）设CD的解析式为：y＝kx+a，
则，
解得，
∴直线CD的解析式为：yx+1；
由题意得：P（m，m+4），M（m，m+4），N（m，m+1），
①分两种情况：
如图2，﹣3≤m＜0，
∵PM+PN＝d，
∴dm2﹣m+4﹣m﹣4+（m2﹣m+4m﹣1）
m2﹣2mm2m+3
＝﹣m2m+3；
如图3，0≤m≤2，
∵PM+PN＝d，
∴d＝m+4﹣（m2﹣m+4）+（m2﹣m+4m﹣1）
m2+2mm2m+3
m+3；
综上，d关于m的函数关系式为：d；
②当﹣3≤m＜0时，如图2，d＝﹣m2m+3＝﹣（m）2，
∴当m＝0时，d＝3，
当m时，d4，
当m＝﹣3时，d＝﹣9（﹣3）+3，
∴d≤4中的整数d有2，3，4，三个，
由对称性可知：d＝2时点P有一个，d＝3时点P有一个，d＝4时点P有两个，
则满足d为整数的点P的个数有4个；
当0≤m≤2时，如图3，dm+3；
∵此时d随着m的增大而增大，
∴当m＝2时，d＝6，当m＝0时，d＝3，
∴3≤d≤6中的整数有3，4，5，6，即满足d为整数的点P的个数有4个，
综上可得：满足d为整数的点P的个数为4+4＝8（个）．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，线段PO与直线AC相交于点F．求当取得最大值时P点的坐标，当线段OC在y轴上滑动时，连接PC，OB，求PC+CO+OB的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由表达式可知抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），再根据抛物线与x轴交点A、B坐标设抛物线表达式为y＝a（x+4）（x﹣1）（a≠0），代入C点坐标即可；
（2）如图1，先根据待定系数法可计算AC的解析式为：yx+2，设点P的坐标为（t，t2t+2），则点E的坐标为（t，t+2），表示PE的长，证明△PEF∽△OCF，得当PE最大时，取得最大值，求得P的坐标，因为OC＝2是定值，根据三角形的三边关系可知：当P'，O′，B三点共线时，PC′+O′B＝P'C+O′B有最小值，即可解答；
（3）作辅助线构建等腰三角形，证明∠OPD＝∠OHC，则tan∠OHC＝tan∠OPD，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：C的坐标为（0，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
代入C点坐标得：﹣4a＝2，
解得：a，
∴抛物线的解析式为yx2x+2；
（2）如图1，设AC的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴AC的解析式为：yx+2，
设点P的坐标为（t，t2t+2），则点E的坐标为（t，t+2），
∴PEt2t+2﹣（t+2）t2﹣2t，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥OC，
∴△PEF∽△OCF，
∴，
∵OC＝2，
∴当PE最大时，取得最大值，
∵PEt2﹣2t（t+2）2+2，
∴当t＝﹣2时，PE有最大值，此时点P的坐标为（﹣2，3）；
如图2，在PD上取PP'＝2，连接P'B交y轴于点O′，连接PC′，此时P'的坐标为（﹣2，1），
∴PP'＝O′C′，PP'∥OC，
∴四边形OCPP'是平行四边形，
∴P'O＝PC，
当P'，O，B三点共线时，P'C′+C′O′+O′B有最小值，
∵P'B，
∴当取得最大值时P点的坐标为（﹣2，3），当线段OC在y轴上运动时，PC+CO+OB的最小值是2；
（3）设存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO，理由如下：
如图3，在OA上取一点H，连接CH，使AH＝CH，
∴∠CAO＝∠ACH，
∵∠OHC＝∠CAO+∠ACH，
∴∠OHC＝2∠CAO，
∵∠OPD＝2∠CAO，
∴∠OPD＝∠CHO，
设AH＝m，则CH＝m，OH＝4﹣m，
由勾股定理得：CH2＝OC2+OH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m，
∴OH＝4，
∵tan∠OPD＝tan∠CHO，
∴，
∴3OD＝4PD，
设P（t，t2t+2），则OD＝﹣t，PDt2t+2，
∴﹣3t＝4（t2t+2），
∴2t2+3t﹣8＝0，
∴t1（舍），t2，
∴点P的横坐标为．
例7.如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP＝30°．
（1）∠FPE的度数是 120° ；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按每秒40°的速度返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时
针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，则时间t的值为 4.5秒或6.75秒或10.2秒 ．
【分析】（1）延长FP与AB相交于点G，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当∠MEP＝20°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP＝20°，计算出ME的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知（1）的∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数；
②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，
Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，∠FPN＝30t°，再平行线的性质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，EM∥PN，∠GHP＝10t°，可计算射线PN的转动度数30t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝10t°，∠GPN＝40（t﹣6）°，根据（1）中结论，∠AEP＝30°，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【解答】解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠EPF＝∠PGE+∠AEP＝90°+30°＝120°．
故答案为：120°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
∴射线ME的运动时间，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝1×30°＝30°，
又∵∠FPE＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°﹣30°＝90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝50°，
∴射线EM运动的时间，
∴射线PN旋转的角度：5×30°＝150°，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠FPN＝150°﹣120°＝30°；
∴∠EPN的度数为90°或30°；
②Ⅰ当PN从PF出发，运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠FPN＝30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝10t°，
又∵∠FPN＝∠EGP+∠AHP，
∴30t°＝90°+10t°，
解得t＝4.5；
Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，运动如图5时，EM∥PN，
根据题意可知，∠AEM＝10t°，EM∥PN，∠GHP＝10t°，射线PN的转动度数为30t°，
则∠GPN＝30t°﹣180°，
又∵∠PGE＝90°，
∴∠GHP+∠GPN＝90°，
∴10t°+30t°﹣180°＝90°，
解得t＝6.75；
Ⅲ当PN从PF出发，运动如图6时，此时PN垂直AB后立刻按原速返回PF的过程中，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠GPN＝40（t﹣6）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝10t°﹣30°，∠EPN＝40（t﹣6）°﹣60°＝40t°﹣300°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴10t°﹣30°+40t°﹣300°＝180°，
解得t＝10.2．
综上所述：满足条件的t的值为4.5秒或6.75秒或10.2秒．
故答案为：4.5秒或6.75秒或10.2秒．
变式1.已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，∠EFD＝60°，过点E的直线l从与直线AB重合开始，以2°/秒的速度绕点E逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90s），直线l与直线CD交于点G．
（1）如图1，当t＝20s时，请直接写出∠FEG的度数．
（2）已知∠MFN＝90°，射线FM与射线FD重合，射线FN在直线CD的上方，∠MFN以1°/秒的速度绕点F逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90s），射线FN交直线AB于点P．
①如图2，猜想∠APN与∠CGE之间的数量关系，并证明．
②在旋转过程中，直线EG交直线NF于点H，Q为直线EG上且位于点E上方的一点，射线EK为∠QEF的角平分线，若2∠EHF＝∠AEK+48°，请直接写出此时t的值．
【分析】（1）根据题意得∠AEG＝40°，再根据平行线性质推出角的等量关系即可得出；
（2）①猜想∠APN∠CGE，根据角的等量关系证明即可，②分情况讨论t值，根据等量关系列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AEG＝2t°，
当t＝20s时，∠AEG＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝60°，
∴∠FEG＝60°﹣∠AEG＝20°；
（2）①猜想∠APN∠CGE，
证明：∵∠APN＝∠CFN＝90°﹣∠MFD＝90°﹣t°，
又∵∠CGE＝180°﹣∠EGF＝180°﹣2t°，
∴∠APN∠CGE；
②∵EK为∠QEF的角平分线，
而∠FEQ＝180°﹣∠GEF，∠GEF＝60°﹣2t°，
∴∠FEQ＝120°+2t°，
∴∠FEK＝60°+t°，
∴∠AEK＝∠AEF+∠FEK＝120°+t°，
设FM与AB交于S，
在四边形FSEH中，∠ENF＝360°﹣90°﹣∠FSE﹣∠HES，
又∵∠FSE＝∠MFD＝t°，
∴∠HES＝∠FES+∠GEF＝∠GFE+∠GEF＝120°+60°﹣2t°＝180°﹣2t°，
∴∠EHF＝360°﹣90°﹣t°﹣（180°﹣2t°）＝90°+t，
则2×（90°+t°）＝120°+t°+48°，
解得t＝﹣12，
∴此时不成立，
当Q在E左侧时，即t＞45s时，
此时∠AEK＝60°t°﹣60°，
∴∠EHF＝90°﹣[180°﹣（180°﹣2t°）﹣t°]＝90°﹣t°，
∵2∠EHF＝∠AEK+48°，
∴2（90°﹣t°）＝t°﹣60°+48°
解得t＝64，
综上，若2∠EHF＝∠AEK+48°时t的值为64．
变式2．已知如图1，点O是直线AB上的一点，∠AOD＝90°，2∠AOC＝∠COD．
（1）求∠COD的度数；
（2）若∠COD绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；
（3）若∠COD的边OC，OD从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒10°和每秒5°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时两边都停止旋转），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，OM平分∠EOC．设旋转时间为t秒．
求：①当旋转时间t＝ 10或14 时，∠COD＝10°；
②当旋转时间t＝ 7.5 时，∠COM＝∠BOF．
【分析】（1）根据图形，利用角的和差即可得解；
（2）由角平分线可得∠AOEAOC，，再利用角的和差及整体思维求解即可；
（3）①将∠AOC和∠AOD分别用含t的式子表示出来，进而分类讨论，建立方程求解即可；
②利用角平分线的定义分别表示出∠COM和∠BOF，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵2∠AOC＝∠COD，且∠AOC+∠COD＝∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝30°，∠COD＝60°；
（2）不变，
∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，
∴∠AOEAOC，，
∴
，＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣（∠AOE+∠BOF）＝180°﹣60°＝120°；
（3）①由题可知∠AOC＝（30+10t）°，∠AOD＝（90+5t）°，
当OC在OD左侧时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，即90+5t﹣（30+10t）＝10，
解得t＝10，
当OC在OD右侧时，
∠COD＝∠AOC﹣∠AOD，即（30+10t）﹣（90+5t）＝10，
解得t＝14，
综上，当t＝10或14时，∠COD＝10°，
故答案为：10或14；
②∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC，
∵OM平分∠EOC，
∴∠COM∠AOC，
∵∠AOC＝（30+10t）°，
∴∠COM∠AOC（30+10t）°，
∵∠AOD＝（90+5t）°，
∴∠BOD＝（90﹣5t）°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF∠BOD（90﹣5t）°，
∵∠COM＝∠BOF，
∴（30+10t）（90﹣5t），
解得t＝7.5，
故答案为：7.5．
例8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CB绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，连接AD，那么∠DAE的度数（ ）
A．随着α的增大而增大
B．随着α的增大而减小
C．不变
D．随着a的增大，先增大后减小
【分析】由旋转得，BC＝CD，可得∠CBD＝∠CDB，AC＝CD，则∠CAD＝∠CDA，结合四边形的内角和为360°，可得90°+∠CBD+∠CDB+∠CDA+∠CAD＝90°+2∠CDB+2∠CDA＝360°，则∠ADB＝135°，可得∠ADE＝180°﹣∠ADB＝45°，进而可得∠DAE＝45°，为定值，可知∠DAE的度数不变．
【解答】解：由旋转得，BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB．
∵AC＝BC，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA．
∵∠ACB+∠CBD+∠BDA+∠CAD＝360°，
∴90°+∠CBD+∠CDB+∠CDA+∠CAD＝90°+2∠CDB+2∠CDA＝90°+2∠ADB＝360°，
∴∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB＝45°．
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝45°，为定值，
∴∠DAE的度数不变．
故选：C．
变式1.如图，在平面直角坐标系中A（1，0），C（2，3），将AC绕点A顺时针旋转90°，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（4，﹣1） C．（1，﹣4） D．（﹣4，1）
【分析】根据旋转的性质可得答案．
【解答】解：如图，将AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AC'，
由图可得，点C的对应点C′的坐标是（4，﹣1）．
故选：B．
变式2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∠B＝45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由平行线分线段成比例可求GF＝FH，BH＝GC，通过证明四边形AHGD是矩形，可得AD＝GH＝2GF，AH＝DG，由旋转的性质可得AE＝EF，∠AEF＝90°＝∠D＝∠EGF，由AAS可证△ADE≌△EGF，可得DE＝GF＝x，AD＝EG＝2x，由勾股定理可求AF的长，即可求解．
【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，
∵AB∥CD，F是BC的中点，FH⊥AB，
∴1，FH⊥CD，
∴GF＝FH，BH＝GC，
∴GH＝2GF＝2HF，
∵∠B＝45°，FH⊥AB，
∴△FHB是等腰直角三角形，
∴BH＝FH，
∵FH⊥CD，∠D＝90°，FH⊥AB，
∴四边形AHGD是矩形，
∴AD＝GH＝2GF，AH＝DG，
∴设GF＝FH＝x＝BH，则AD＝GH＝2x，
∵把AE绕点E逆时针旋转90°，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°＝∠D＝∠EGF，
∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠AED+∠DAE，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE＝GF＝x，AD＝EG＝2x，
∴DG＝3x＝AH，
∴AB＝4x，
∵AEx，
∴AFAEx，
∴，
故选：D．
例9.如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1的坐标为（1，4），则B1的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（3，3） D．（1，1）
【分析】根据对应点的坐标确定平移方式即可求解．
【解答】解：由A（﹣3，1）、A1（1，4）可得平移方式为：向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴B1的坐标为（﹣1+4，﹣2+3），
即：（3，1），
故选：A．
变式1.如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则n﹣m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据平移的性质即可求解．
【解答】解：∵将线段AB平移至CD，且A（1，0），B（4，m），C（﹣2，1），D（a，n），
∴n﹣m＝1﹣0＝1，
故选：C．
变式2.已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至A1B1．若点A1（a，1），点B1（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】利用平移的规律求出a，b即可解决问题．
【解答】解：由题意得：a＝1+1＝2，﹣b＝﹣1+4＝3，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5，
故选：C．
例10.如图所示，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝ax2+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；
（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：
①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；
②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；
结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；
（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP＝90°，②∠OPQ＝90°；
可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为﹣1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵点B与O（0，0）关于x＝3对称，
∴点B坐标为（6，0）．
将点B坐标代入y＝ax2+2x得：
36a+12＝0；
∴a．
∴抛物线解析式为．
当x＝3时，；
∴顶点A坐标为（3，3）．
（说明：可用对称轴为，求a值，用顶点式求顶点A坐标）
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b．
∵A（3，3），B（6，0），
∴
解得，
∴y＝﹣x+6．
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y＝﹣x．
∵点P是l上一动点且横坐标为t，
∴点P坐标为（t，﹣t）．
当P在第四象限时（t＞0），
S＝S△AOB+S△OBP
6×36×|﹣t|
＝9+3t．
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴﹣3＜t≤3．
又∵t＞0，
∴0＜t≤3．
当P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，
则S＝S梯形ANMP+S△ANB﹣S△PMO
＝﹣3t+9；
∵0＜S≤18，
∴0＜﹣3t+9≤18，
∴﹣3≤t＜3；
又∵t＜0，
∴﹣3≤t＜0；
∴t的取值范围是﹣3≤t＜0或0＜t≤3．
（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．
由（2）知t的最大值为3，则P（3，﹣3）；
过O、P作直线m、n垂直于直线l；
∵直线l的解析式为y＝﹣x，
∴直线m的解析式为y＝x；
可设直线n的解析式为y＝x+h，则有：
3+h＝﹣3，h＝﹣6；
∴直线n：y＝x﹣6；
联立直线m与抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴Q1（3，3）；
同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q2（6，0），Q3（﹣3，﹣9）．
变式1.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点坐标为（，）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y图象上，求平行四边形OABC的面积；
（3）如图3，将直线l1：yx向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y（x＞0）图象交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．请直接写出P点坐标和的值．
【分析】（1）根据题意先求出点C坐标，待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点A坐标为（m，0），根结点C坐标可得线段OC长，根据条件可得点D坐标，由中点坐标公式得到点B坐标为（8﹣m，3），由两点间距离公式列出方程（8﹣m﹣m）2+32＝13，求出m值，根据平行四边形面积公式求出面积即可；
（3）设直线l2与y轴交于点E，与x轴交于点G，则E（0，6），作OF⊥l1交l2于点F，根据平移性质可得l2解析式y6，由解析式可计算出点E、G坐标，利用OE OG＝OF EG求出OF长，再联立方程组求出M1、M2坐标，由中点坐标公式求出点P坐标继而求出OP长，将OF和OP代入所求代数式计算即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y的图象上，点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．
∴C（2，3），
∵点C（2，3）在反比例函数y图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）设点A坐标为（m，0），
∵C（2，3），
∴OC，
∵OABC是平行四边形，
∴AB＝OC，
∵点D是AB边的中点，点B的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为，
∵点D在反比例函数y图象上，
∴D（4，），
由中点坐标公式可得点B坐标为（8﹣m，3）
∴AB2＝（8﹣m﹣m）2+32＝13，
解得m＝3或m＝5（舍去），
∴S OABC＝3×3＝9．
（3）∵将直线l1：yx向上平移6个单位得到直线l2，
∴l2解析式为y6，
设直线l2与y轴交于点E，则E（0，6），
如图3，作OF⊥l1交l2于点F，
∵M1N⊥l1，
∴M1N＝OF，
在函数y6中，当y＝0时，x＝8，
∴G（8，0），
∴OE＝6，OG＝8，
在Rt△EOG中，由勾股定理得EG10，
由三角形面积公式可得：OE OG＝OF EG，
∴OF，
∴M1N＝OF，
列函数联立方程组得，解得，，
∴M1（4﹣2，），M2（4+2，），
∵点P为M1M2的中点，
∴P（4，3），
∴OP5，
∴．
变式2.如图，直线y＝2x+6与反比例函数y（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+60的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴k＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y．
（2）不等式2x+60的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴0，
∴0
∴S△BMN|MN|×|yM|（）×n（n﹣3）2，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
例11.如图，平面直角坐标系中，点B（m，0），C（6，n）在直线yx﹣6上．动点P从点A（0，﹣2）出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：yx+b也随之移动，直线l与x轴交于点N，设点P移动的时间为t秒．
（1）m＝ 4 ，n＝ 3 ，当t时，求直线l的解析式；
（2）若点N在直线BC的左侧，则当t为何值时S△BCN＝3；
（3）横纵坐标都为整数的点为整点，直接写出线段BN上有4个整点时
t的取值范围．
【分析】（1）将点代入解析式进行求解即可；
（2）根据S△BCN＝3，求出N点坐标，进而求出此时直线的解析式，进而求出t的值即可；
（3）分点N在BC的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点B（m，0），C（6，n）在直线yx﹣6上，把点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
当时，点P移动的距离为，
∵动点P从点A（0，﹣2）出发，
∴P（0，﹣2+1），即：P（0，﹣1），
把P（0，﹣1）代入，得：b＝﹣1，
∴；
故答案为：4；3；
（2）由（1）知B（4，0），C（6，3），
∴，
∴BN＝2，
∵点N在B点左侧，
∴N（2，0），
把N（2，0）代入，得：
解得：b＝1，
∴点P（1，0），
∴；
（3）线段BN上有4个整点时t的取值范围为或．理由如下：
由题意，可知：P（0，﹣2+2t），
把P（0，﹣2+2t），代入得：b＝﹣2+2t，
∴，
当y＝0时，x＝4t﹣4，
∴N（4t﹣4，0），
∵线段BN上有4个整点，分两种情况：
当点N在B点左侧时，则四个整点的横坐标为：1，2，3，4，
∴0＜4t﹣4≤1，
解得：；
当点N在B点右侧时，则四个整点的横坐标为：4，5，6，7，
∴7≤4t﹣4＜8，
解得：；
综上所述，线段BN上有4个整点时t的取值范围为或．
变式1.如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．
（1）点M的坐标为 （﹣1，2） ；
（2）y轴上有一动点Q，连接QM，QA，求△QMA周长的最小值及此时点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线l⊥x轴，交直线MQ于点G，交直线AB于点H，若GH的长为3，求点F的坐标．
【分析】（1）令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣2，可得点A、B的坐标，再由中点坐标公式可得出点M的坐标；
（2）因为A和M坐标知道，所以AM长度为定值，要求△QMA周长的最小值，实则是求AQ+QM的最小值，即AM′的长；
（3）运用待定系数法求出直线MQ的解析式，设点F的坐标为（m，0），得出，H（m，2m+4），根据GH＝3列方程求出m的得解．
【解答】解：（1）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝4；
令y＝0，得2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∵点M为线段AB的中点，
∴，即M（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）作点M关于y轴的对称点M′，连接M′A交y轴于点Q，连接QM，如图，
则QM＝QM′，
∴QM+QA＝QA+QM′＝AM′，
∵M（﹣1，2），
∴M′（1，2），
∵点A、M是固定点，
∴，
∴△QMA周长的最小值为AM+AM′，
又A（﹣2，0），M′（1，2），
∴，
∴，
∴△QMA周长的最小值为；
设直线AM′的解析式为y＝kx+b，把点A，点M′的坐标代入得：
，
解得，
∴直线AM′的解析式为，
当x＝0时，，
∴；
（3）设直线MQ的解析式为y＝mx+n，把点M，点Q的坐标代入得：
，
解得，，
∴直线MQ的解析式为，
设点F的坐标为（x，0）
又过点F的直线l与MQ交于点G，
∴，
又∵直线AB和解析式与直线l交于点H，
∴H（x，2x+4），
∵GH＝3，
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点F的坐标为：或．
变式2.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过C作CD∥y轴交直线AB于点E，使，设点C的横坐标为m．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）当DE＝CE时，求m的值；
（3）连接AD，BD，在点C运动的过程中，当S△ADB＝S△AOB时，求m的值．
【分析】（1）根据题意，当y＝0时，当x＝0时，分别代入求解即可；
（2）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可；
（3）过B作BF⊥DE于F，然后结合图形表示出S△ABD＝S△ADE+S△BDE，得出方程求解即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，
令y＝0，得：，
解得：x＝﹣3；
令x＝0，得：y＝2，
∴A（﹣3，0），B（0，2）；
（2）∵C的横坐标为m，
∴OC＝﹣m，
当x＝m时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
由DE＝CE得：，
解得：；
（3）过B作BF⊥DE于F，
∴S△ABD＝S△ADE+S△BDE
，
∵，
∴DE＝OB，
∴，
解得：．
例12.如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．
（1）在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上？若能，求出此时BD的长；若不能，请说明理由；
（2）如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作 ADEF．
① ADEF的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上动点，直接写出MN+MP的最小值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知：∠BAC＝∠ACB＝∠EAD＝60°，由三角形外角的性质可知∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝60°，从而可知：∠CAD＜60°，所以∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°，故此点E不能移动到直线AB上；
（2）因为△ADE的面积AD ADsin60°，所以当AD最短时，△ADE的面积有最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，△ADE的面积有最小值，四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，所以平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍，所以三角形ADE的面积最小时，平行四边形的面积最小；
（3）当点N、M、P1在一条直线上，且NP1⊥AD时，MN+MP有最小值，最小值为AD与EF之间的距离．
【解答】解：（1）不存在．
理由：如图1所示：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠EAD＝60°．
∵∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝60°，
∴∠CAD＜60°，
又∵∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠CAD+∠BAC+∠EAD＜180°．
∴点E不能移动到直线AB上．
（2）①存在：在图（2）中，当AD⊥BC时△ADE的面积最小．
在Rt△ADB中，AD＝ABsin60°＝42．
∴△ADE的面积AD ADsin60°223，
∵四边形ADEF为平四边形，AE为对角线，
∴平行四边形ADEF的面积是△ADE面积的2倍．
∴ ADEF的面积的最小值＝2×36；
②如图3所示：作点P关于AE的对称点P1，
当点N、M、P1在一条直线上，且NP1⊥AD时，MN+MP有最小值，
过点A作AG∥NP1，
∵AN∥GP1，AG∥NP1，
∴四边形ANP1G为平行四边形．
∴NP1＝AG＝AF sin60°＝23．
即MN+MP的最小值为3
变式1.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
【分析】（1）由轴对称的性质可得AB＝BF，BE⊥AF，可求∠CBF＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可求解；
（2）通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得∠AGD＝∠ACD＝45°，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝90°﹣α，可得∠CFG＝45°＝∠DGA，可证DG∥CF；
（3）分三种情况讨论，由旋转的性质可得AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，由“ASA”可证△ABE≌△NHB，可得BN＝AEAB，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，连接BF，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB＝BF，BE⊥AF，
∴∠ABE＝∠EBF＝α，
∴∠CBF＝90°﹣2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF45°+α；
（2）DG∥CF，
理由如下：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGA＝∠ADC＝90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD＝∠ACD＝45°，
∵AB＝BF，∠ABF＝2α，
∴∠AFB90°﹣α，
∴∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝45°＝∠DGA，
∴DG∥CF；
（3）∵BE＞AB，
∴BH＞BF，
∴BH≠BF；
如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，
∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC，
∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，
∴∠HBF＝90°﹣α，
∵BH＝FH，HN⊥BF，
∴BN＝NFBFAB，∠BNH＝90°＝∠BAE，
∴∠BHN＝α，
∴∠ABE＝∠BHN，
∴△ABE≌△NHB（ASA），
∴BN＝AEAB，
∴BEAE，
∴sinα，
当BF＝FH时，
∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，
∴∠BFH＝2α＝∠ABF，
∴AB∥FH，
即点F与点C重合，则点E与点D重合，
∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），
∴BF＝FH不成立，
综上所述：sinα的值为．
变式2.如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，若BE＝1，则AF＝ 1 ；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在求出AG最小值，并求出此时AE的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△BCE，可得BE＝AF＝1；
（2）由“ASA”可证△ABF≌△BCE，可得BE＝AFABAD，可得AF＝DF，由“AAS”可证△ABF≌△DHF，可得AB＝DH＝CD，由直角三角形的性质可得结论；
（3）以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，由题意可得点G在以BC为直径的⊙O上，则当点G在AO上时，AG有最小值，由勾股定理可求AO的长，可得AG＝22，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得AF＝AG＝BE，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF＝1，
故答案为1；
（2）如图2，延长CD，BF交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴BEAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AFABAD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的⊙O上，
∵在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时：如图4，
∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO2，
∴AG＝22，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝22，
由（2）可得AF＝BE＝22，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（22）＝6﹣2．
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