【期末专项培优】一次函数的应用（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 【期末专项培优】一次函数的应用（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 953.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-17 10:18:15 | ||
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文档简介
期末专项培优 一次函数的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 拱墅区期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为t小时，两车之间的距离为y千米，y与t的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2．（2024秋 句容市期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：
x/kg 1 2 3 …
y/cm 8 13.5 19
若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ）
A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm
3．（2024秋 锦江区期末）某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过12厘米至少需要经过（ ）
A．16天 B．32天 C．40天 D．56天
4．（2024秋 乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤
5．（2024秋 市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为yx+331；当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 m．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，光源A（﹣5，3）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），则入射光线AB所在直线的解析式为 ．
8．（2024秋 宝应县期末）公路旁依次有A、B、C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1、l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之\间的函数关系，下列结论：①A、B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行9km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是 .（填序号）
9．（2024秋 成华区期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为格点．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S与这个多边形内部的格点个数N和边界上的格点个数L之间有如下关系：．若△ABC的三个顶点为A（﹣14，0），B（16，4），C（6，10），则△ABC内部有 个格点．
10．（2024秋 惠山区期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 元．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg，12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a（a＞30）kg时，它们的利润和为1650元，求a的值．
12．（2024秋 海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元．
（1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系；
（2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用．
13．（2024秋 锦江区校级期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆，B车480元/辆．
（1）求这两种货车各有多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式（用含有a的代数式表示W）．
（3）在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？
14．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 km，快车的行驶速度是 km/h，慢车的行驶速度是 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
15．（2024秋 海曙区期末）如图，点A（﹣6，0），点B（0，8），PQ＝8，线段PQ的端点P从点A出发沿线段AB向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为（m，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求m的最大值；
（3）求点Q运动的总路程；
（4）当P点的横坐标为时，求PQ与y轴的交点坐标．
期末专项培优 一次函数的应用
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D B D A A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 拱墅区期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为t小时，两车之间的距离为y千米，y与t的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】①观察图象即可；
②慢车12小时行驶960千米，根据速度＝路程÷时间计算即可；
③当t＝9时，快车到达乙地，此时两车之间的距离即为慢车行驶的路程，根据路程＝速度×时间求出慢车行驶的路程，从而求出点B的坐标，再由待定系数法求出线段AB所在直线的函数表达式即可．
【解答】解：快车出发5.4﹣1＝4.4（小时）后两车相遇，
∴①正确，符合题意；
慢车的速度是960÷12＝80（千米/小时），
∴②不正确，不符合题意；
当t＝9时，两车之间的距离为80×9＝720（千米），
∴B（9，720），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标A（5.4，0）和B（9，720）分别代入y＝kt+b，
得，
解得，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，
∴③正确，符合题意．
综上，①③正确．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
2．（2024秋 句容市期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：
x/kg 1 2 3 …
y/cm 8 13.5 19
若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ）
A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据表格数据，用待定系数法求出y与x的函数关系式，再令x＝0求出y的值即可．
【解答】解：设y＝kx+b，
把（1，8），（2，13.5）代入得：，
解得，
∴y＝5.5x+2.5，
令x＝0得y＝2.5，
∴不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是2.5cm，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
3．（2024秋 锦江区期末）某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过12厘米至少需要经过（ ）
A．16天 B．32天 C．40天 D．56天
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】求出植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数解析式，再求出y＝12时，对应的x的值，根据函数的增减性即可解答．
【解答】解：根据题意设植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，5），（8，6）代入得：
，
解得，
故解析式为yx+5，
将y＝12代入yx+5，解得x＝56，
∵k，故y随x的增大而增大，
故该植物的高度超过12厘米至少需要经过56天．
故选：D．
【点评】该题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式．
4．（2024秋 乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可；
②甲出发36分钟后距离乙270米（此时乙到达终点），据此计算起点到终点的距离即可；
③根据速度＝路程÷时间计算即可；
④根据时间＝路程÷速度计算即可；
⑤甲3分钟步行的路程除以两者速度差即可．
【解答】解：甲步行的速度为225÷3＝75（米/分钟），
∴①正确，符合题意；
起点到终点的距离为75×36+270＝2970（米），
∴②不正确，不符合题意；
乙步行的速度为2970÷（36﹣3）＝90（米/分钟），
∴③正确，符合题意；
甲走完全程用了2970÷75＝39.6（分钟），
∴④不正确，不符合题意；
乙用75×3÷（90﹣75）＝15（分钟）追上甲，
∴⑤正确，符合题意．
综上，①③⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
5．（2024秋 市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【考点】一次函数的应用．
【答案】A
【分析】由题意由题意知y＝﹣x+6的点A（6，0），点B（0，6），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．
【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（6，0），点B（0，6），
∵点P（3，0）
设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．
作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：
∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，
∴P1，N，M，P2共线，
∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，
即P2A⊥OA；
PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P23．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为yx+331；当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 1721 m．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以求得当x＝22℃时，对应速度y的值，然后根据路程＝速度×时间，即可得到当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离．
【解答】解：当x＝22时，y22+331＝344.2，
则当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为：344.2×5＝1721（m），
故答案为：1721．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，光源A（﹣5，3）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），则入射光线AB所在直线的解析式为 yx ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】yx．
【分析】根据入射角＝反射角和题目中的数据，可以求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得入射光线AB所在直线的解析式．
【解答】解：作AD∥x轴，作BE∥x轴，如图，
∵AD∥x轴，BE∥x轴，
∴∠DAB＝∠ABE，∠EBC＝∠BCO，
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠DAB＝∠BCO，
∵A（﹣5，3），C（﹣1，0），
∴AD＝5，OB+BD＝3，OC＝3，
∴，
∴，
解得OB，
∴点B的坐标为（0，），
设射光线AB所在直线的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
即射光线AB所在直线的解析式为yx，
故答案为：yx．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出点B的坐标．
8．（2024秋 宝应县期末）公路旁依次有A、B、C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1、l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之\间的函数关系，下列结论：①A、B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行9km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是 ①③ .（填序号）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】①③．
【分析】①观察图象即可；
②根据速度＝路程÷时间分别求出小明和小红骑行的速度，再求二者之差即可；
③设二人出发m h后相遇，二人相遇时小明比小红多走了A、B两村之间的距离，据此列关于m的一元一次方程并求解即可；
④根据时间＝路程÷速度求出小明到达C村所用的时间，即a的值即可．
【解答】解：由图象可知，A、B两村相距12km，
∴①正确，符合题意；
小明骑行的速度为12÷0.6＝20（km/h），
小红骑行的速度为33÷2.75＝12（km/h），
20﹣12＝8（km/h），
∴小明每小时比小红多骑行8km，
∴②不正确，不符合题意；
设二人出发m h后相遇，
根据题意，得（20﹣12）m＝12，
解得m＝1.5，
∴出发1.5h后两人相遇，
∴③正确，符合题意；
∴小明到达C村所用时间为（12+33）÷20＝2.25（h），
∴a＝2.25，
∴④不正确，不符合题意．
综上，①③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
9．（2024秋 成华区期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为格点．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S与这个多边形内部的格点个数N和边界上的格点个数L之间有如下关系：．若△ABC的三个顶点为A（﹣14，0），B（16，4），C（6，10），则△ABC内部有 104 个格点．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】104．
【分析】先分别根据待定系数法求出AB，AC，BC的解析式，再求出L的值，再根据割补法求出S，再代入求出N即可．
【解答】解：如图所示，设直线BC交x轴于点D，
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AC的解析式为：yx+7，
同理得：BC的解析式为：yx，
AB的解析式为：yx，
当x为偶数时，y的值为整数，
∴AC的整数点有11个（包含A和C），
当x＝11时，y＝5，
∴BC上的整数点有3个（包含B和C），
x＝1时，y＝2，
∴AB上有3个整数点（包含A和B），
∴L＝11+3+3﹣3＝14，
当x0时，得：x，
∴S＝S△ACD﹣S△ABD（14）×（10﹣4）＝140，
∴140＝N14﹣1，
解得：N＝104，
故答案为：104．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和割补法是解题的关键．
10．（2024秋 惠山区期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 50 元．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】50．
【分析】求出固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为100元，即可得两种方式所收的费用最多相差50元．
【解答】解：由图象可知，固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为30+（50﹣25）×2.8＝100（元），
而固定月使用费为50元的方式，上网时间是50小时费用为50元，
∴两种方式所收的费用最多相差100﹣50＝50（元）；
故答案为：50．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为100元．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg，12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a（a＞30）kg时，它们的利润和为1650元，求a的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝20x；（2）点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；（3）90．
【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可；
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数关系式是y＝kx，
∵点（120，2400）在该函数图象上，
∴2400＝120k，
解得k＝20，
即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y＝20x；
（2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n，
∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300，
由可得，
即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；
（3）由图象可得，
甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元），
当x≤30时，乙苹果的销售单价为：750÷30＝25（元），当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），
由题意可得：（20﹣8）a+（25﹣12）×30+（15﹣12）（a﹣30）＝1650，
解得a＝90，
即a的值为90．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2024秋 海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元．
（1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系；
（2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣100x+1050000；
（2）5000，550000元．
【分析】（1）根据“两种石材所需总费用＝甲石材单价×甲石材数量+乙石材单价×乙石材数量”计算即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集；根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）y＝50x+150（7000﹣x）＝﹣100x+1050000．
答：购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系为y＝﹣100x+1050000．
（2）根据题意，得x≤2.5（7000﹣x），
解得x≤5000．
∵﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x≤5000，
∴当x＝5000时，y值最小，y最小＝﹣100×5000+1050000＝550000．
答：该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
13．（2024秋 锦江区校级期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆，B车480元/辆．
（1）求这两种货车各有多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式（用含有a的代数式表示W）．
（3）在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A车20辆，B车10辆．
（2）W＝40a+15840；
（3）调往甲地A车5辆、B车3辆，调往乙地A车15辆、B车7辆，16040元．
【分析】（1）分别设这两种货车的数量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）分别将调往甲地B车及调往乙地A车、B车的数量用含a的代数式表示出来，从而写出W与a的关系式即可；
（3）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；根据W与a的关系式的增减性及a的取值范围，确定当a取何值时W值最小，求出其最小值和此时调往甲地B车及调往乙地A车、B车的数量即可．
【解答】解：（1）设有A车x辆，B车y辆．
根据题意，得，
解得．
答：有A车20辆，B车10辆．
（2）由题意可知，调往甲地B车（8﹣a）辆；调往乙地A车（20﹣a）辆、B车（a+2）辆，
则W＝520a+360（8﹣a）+600（20﹣a）+480（a+2）＝40a+15840．
答：W与a的关系式为W＝40a+15840．
（3）根据题意，得12a+9（8﹣a）≥87，
解得a≥5．
∵40＞0，
∴W随a的减小而减小，
∵a≥5，
∴当a＝5时，W值最小，W最小＝40×5+15840＝16040，
8﹣5＝3（辆），
20﹣5＝15（辆），
5+2＝7（辆）．
答：调往甲地A车5辆、B车3辆，调往乙地A车15辆、B车7辆可使总运费最少，最少总运费为16040元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
14．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 600 km，快车的行驶速度是 100 km/h，慢车的行驶速度是 50 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）600，100，50；
（2）（，），表示两车于出发后h在距甲地km的地方相遇；
（3）4h或8h或h．
【分析】（1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间分别求出线段OA、CD所在直线的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组，求解即得点E的坐标并描述其实际意义即可；
（3）按照x的取值范围，当两车相距200km时分别列方程并求解即可．
【解答】解：（1）甲、乙两地相距600km，快车的行驶速度是600÷6＝100（km/h），慢车的行驶速度是600÷12＝50（km/h）．
故答案为：600，100，50．
（2）线段OA所在直线的函数关系式为y＝50x（0≤x≤12）．
6+2+6＝14（h），
∴D（14，0），
y＝600﹣100（x﹣8）＝﹣100x+1400，
∴线段CD所在直线的函数关系式为y＝﹣100x+1400（8＜x≤14）．
根据题意，得，
解得，
∴点E的坐标是（，），其实际意义表示两车于出发后h在距甲地km的地方相遇．
（3）线段OB所在直线的函数关系式为y＝100x（0≤x≤6），
∴快车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系为．
当0≤x≤6，两车相距200km时，得100x﹣50x＝200，
解得x＝4；
当6＜x≤8，两车相距200km时，得600﹣50x＝200，
解得x＝8；
当8＜x≤12，两车相距200km时，得|﹣100x+1400﹣50x|＝200，
解得x＝8（舍去）或；
当12＜x≤14，两车相距200km时，得600﹣（﹣100x+1400）＝200，
解得x＝10（舍去）．
综上，x＝4或8或．
答：慢车出发4h或8h或h后，两车相距200km
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键．
15．（2024秋 海曙区期末）如图，点A（﹣6，0），点B（0，8），PQ＝8，线段PQ的端点P从点A出发沿线段AB向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为（m，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求m的最大值；
（3）求点Q运动的总路程；
（4）当P点的横坐标为时，求PQ与y轴的交点坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y；
（2）4；
（3）6；
（4）（）．
【分析】（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入点A（﹣6，0），点B（0，8），用待定系数法即可解决；
（2）当QP⊥AB时，m的值才最大．当QP⊥AB时，证明△AOB≌△APQ（AAS），即可得到AQ最大值为10，从而得m最大值为4；
（3）点Q运动的轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），故运动的总路程为2+4＝6；
（4）先求出P点坐标P（，）．作PH⊥x轴于点H，在Rt△RHQ中，由勾股定理有HQ，故Q（，0），
用待定系数法可求得PQ解析式为y，从而知PQ与y轴的交点坐标为（）．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入点A（﹣6，0），点B（0，8），
∴，解得，
所以直线AB的表达式y．
（2）∵Q点始终不在P点左边，当P点在A点时，PQ＝8，故Q（2，0），
当P点在B点时，PQ＝8，故Q（0，0）．
若要m的值最大，即当QP⊥AB时，m的值才最大．
当QP⊥AB时，∠APQ＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△APQ中，
∵，
∴△AOB≌△APQ（AAS），
∴AQ＝AB10．
∴OQ＝AQ﹣AO＝10﹣6＝4，
故m的值最大为4．
（3）∵点Q运动的轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），
故运动的总路程为2+4＝6．
（4）把x代入y中，得y，
故P（，）．
作PH⊥x轴于点H，如下图所示，
在Rt△RHQ中，由勾股定理有：HQ，
故Q（，0），
设直线PQ的表达式为y＝kx+b，
则，解得，
所以y，
故当P点的横坐标为时，PQ与y轴的交点坐标为（）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 拱墅区期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为t小时，两车之间的距离为y千米，y与t的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2．（2024秋 句容市期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：
x/kg 1 2 3 …
y/cm 8 13.5 19
若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ）
A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm
3．（2024秋 锦江区期末）某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过12厘米至少需要经过（ ）
A．16天 B．32天 C．40天 D．56天
4．（2024秋 乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤
5．（2024秋 市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为yx+331；当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 m．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，光源A（﹣5，3）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），则入射光线AB所在直线的解析式为 ．
8．（2024秋 宝应县期末）公路旁依次有A、B、C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1、l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之\间的函数关系，下列结论：①A、B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行9km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是 .（填序号）
9．（2024秋 成华区期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为格点．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S与这个多边形内部的格点个数N和边界上的格点个数L之间有如下关系：．若△ABC的三个顶点为A（﹣14，0），B（16，4），C（6，10），则△ABC内部有 个格点．
10．（2024秋 惠山区期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 元．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg，12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a（a＞30）kg时，它们的利润和为1650元，求a的值．
12．（2024秋 海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元．
（1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系；
（2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用．
13．（2024秋 锦江区校级期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆，B车480元/辆．
（1）求这两种货车各有多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式（用含有a的代数式表示W）．
（3）在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？
14．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 km，快车的行驶速度是 km/h，慢车的行驶速度是 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
15．（2024秋 海曙区期末）如图，点A（﹣6，0），点B（0，8），PQ＝8，线段PQ的端点P从点A出发沿线段AB向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为（m，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求m的最大值；
（3）求点Q运动的总路程；
（4）当P点的横坐标为时，求PQ与y轴的交点坐标．
期末专项培优 一次函数的应用
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D B D A A
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 拱墅区期末）快车从甲地匀速开往乙地，慢车从乙地出发沿同一条公路匀速前往甲地．慢车先出发1小时，快车再出发．设慢车行驶的时间为t小时，两车之间的距离为y千米，y与t的函数关系如图所示．下列结论：①快车出发4.4小时后两车相遇；②慢车的速度是100千米/小时；③线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】①观察图象即可；
②慢车12小时行驶960千米，根据速度＝路程÷时间计算即可；
③当t＝9时，快车到达乙地，此时两车之间的距离即为慢车行驶的路程，根据路程＝速度×时间求出慢车行驶的路程，从而求出点B的坐标，再由待定系数法求出线段AB所在直线的函数表达式即可．
【解答】解：快车出发5.4﹣1＝4.4（小时）后两车相遇，
∴①正确，符合题意；
慢车的速度是960÷12＝80（千米/小时），
∴②不正确，不符合题意；
当t＝9时，两车之间的距离为80×9＝720（千米），
∴B（9，720），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标A（5.4，0）和B（9，720）分别代入y＝kt+b，
得，
解得，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝200t﹣1080，
∴③正确，符合题意．
综上，①③正确．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
2．（2024秋 句容市期末）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：
x/kg 1 2 3 …
y/cm 8 13.5 19
若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（ ）
A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据表格数据，用待定系数法求出y与x的函数关系式，再令x＝0求出y的值即可．
【解答】解：设y＝kx+b，
把（1，8），（2，13.5）代入得：，
解得，
∴y＝5.5x+2.5，
令x＝0得y＝2.5，
∴不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是2.5cm，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
3．（2024秋 锦江区期末）某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过12厘米至少需要经过（ ）
A．16天 B．32天 C．40天 D．56天
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】求出植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数解析式，再求出y＝12时，对应的x的值，根据函数的增减性即可解答．
【解答】解：根据题意设植物的高度y（厘米）与观察时间x（天）的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，5），（8，6）代入得：
，
解得，
故解析式为yx+5，
将y＝12代入yx+5，解得x＝56，
∵k，故y随x的增大而增大，
故该植物的高度超过12厘米至少需要经过56天．
故选：D．
【点评】该题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式．
4．（2024秋 乌当区期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②③ C．①③④ D．②④⑤
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可；
②甲出发36分钟后距离乙270米（此时乙到达终点），据此计算起点到终点的距离即可；
③根据速度＝路程÷时间计算即可；
④根据时间＝路程÷速度计算即可；
⑤甲3分钟步行的路程除以两者速度差即可．
【解答】解：甲步行的速度为225÷3＝75（米/分钟），
∴①正确，符合题意；
起点到终点的距离为75×36+270＝2970（米），
∴②不正确，不符合题意；
乙步行的速度为2970÷（36﹣3）＝90（米/分钟），
∴③正确，符合题意；
甲走完全程用了2970÷75＝39.6（分钟），
∴④不正确，不符合题意；
乙用75×3÷（90﹣75）＝15（分钟）追上甲，
∴⑤正确，符合题意．
综上，①③⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键．
5．（2024秋 市南区期末）如图，直线y＝﹣x+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（3，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【考点】一次函数的应用．
【答案】A
【分析】由题意由题意知y＝﹣x+6的点A（6，0），点B（0，6），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．
【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（6，0），点B（0，6），
∵点P（3，0）
设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．
作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：
∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，
∴P1，N，M，P2共线，
∵∠P2AB＝∠PAB＝45°，
即P2A⊥OA；
PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P23．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春校级期末）空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为yx+331；当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 1721 m．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以求得当x＝22℃时，对应速度y的值，然后根据路程＝速度×时间，即可得到当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离．
【解答】解：当x＝22时，y22+331＝344.2，
则当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为：344.2×5＝1721（m），
故答案为：1721．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（2024秋 宿迁期末）如图，光源A（﹣5，3）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），则入射光线AB所在直线的解析式为 yx ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】yx．
【分析】根据入射角＝反射角和题目中的数据，可以求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得入射光线AB所在直线的解析式．
【解答】解：作AD∥x轴，作BE∥x轴，如图，
∵AD∥x轴，BE∥x轴，
∴∠DAB＝∠ABE，∠EBC＝∠BCO，
∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠DAB＝∠BCO，
∵A（﹣5，3），C（﹣1，0），
∴AD＝5，OB+BD＝3，OC＝3，
∴，
∴，
解得OB，
∴点B的坐标为（0，），
设射光线AB所在直线的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
即射光线AB所在直线的解析式为yx，
故答案为：yx．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出点B的坐标．
8．（2024秋 宝应县期末）公路旁依次有A、B、C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1、l2分别表示小明和小红与B村的距离s（km）和骑行时间t（h）之\间的函数关系，下列结论：①A、B两村相距12km；②小明每小时比小红多骑行9km；③出发1.5h后两人相遇；④图中a＝1.65．其中正确的是 ①③ .（填序号）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】①③．
【分析】①观察图象即可；
②根据速度＝路程÷时间分别求出小明和小红骑行的速度，再求二者之差即可；
③设二人出发m h后相遇，二人相遇时小明比小红多走了A、B两村之间的距离，据此列关于m的一元一次方程并求解即可；
④根据时间＝路程÷速度求出小明到达C村所用的时间，即a的值即可．
【解答】解：由图象可知，A、B两村相距12km，
∴①正确，符合题意；
小明骑行的速度为12÷0.6＝20（km/h），
小红骑行的速度为33÷2.75＝12（km/h），
20﹣12＝8（km/h），
∴小明每小时比小红多骑行8km，
∴②不正确，不符合题意；
设二人出发m h后相遇，
根据题意，得（20﹣12）m＝12，
解得m＝1.5，
∴出发1.5h后两人相遇，
∴③正确，符合题意；
∴小明到达C村所用时间为（12+33）÷20＝2.25（h），
∴a＝2.25，
∴④不正确，不符合题意．
综上，①③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
9．（2024秋 成华区期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为格点．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S与这个多边形内部的格点个数N和边界上的格点个数L之间有如下关系：．若△ABC的三个顶点为A（﹣14，0），B（16，4），C（6，10），则△ABC内部有 104 个格点．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】104．
【分析】先分别根据待定系数法求出AB，AC，BC的解析式，再求出L的值，再根据割补法求出S，再代入求出N即可．
【解答】解：如图所示，设直线BC交x轴于点D，
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AC的解析式为：yx+7，
同理得：BC的解析式为：yx，
AB的解析式为：yx，
当x为偶数时，y的值为整数，
∴AC的整数点有11个（包含A和C），
当x＝11时，y＝5，
∴BC上的整数点有3个（包含B和C），
x＝1时，y＝2，
∴AB上有3个整数点（包含A和B），
∴L＝11+3+3﹣3＝14，
当x0时，得：x，
∴S＝S△ACD﹣S△ABD（14）×（10﹣4）＝140，
∴140＝N14﹣1，
解得：N＝104，
故答案为：104．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和割补法是解题的关键．
10．（2024秋 惠山区期末）某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 50 元．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】50．
【分析】求出固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为100元，即可得两种方式所收的费用最多相差50元．
【解答】解：由图象可知，固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为30+（50﹣25）×2.8＝100（元），
而固定月使用费为50元的方式，上网时间是50小时费用为50元，
∴两种方式所收的费用最多相差100﹣50＝50（元）；
故答案为：50．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为100元．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 榆中县期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg，12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求甲种苹果的销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a（a＞30）kg时，它们的利润和为1650元，求a的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝20x；（2）点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；（3）90．
【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数关系式；
（2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可；
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数关系式是y＝kx，
∵点（120，2400）在该函数图象上，
∴2400＝120k，
解得k＝20，
即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y＝20x；
（2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n，
∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300，
由可得，
即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；
（3）由图象可得，
甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元），
当x≤30时，乙苹果的销售单价为：750÷30＝25（元），当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），
由题意可得：（20﹣8）a+（25﹣12）×30+（15﹣12）（a﹣30）＝1650，
解得a＝90，
即a的值为90．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2024秋 海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元．
（1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系；
（2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣100x+1050000；
（2）5000，550000元．
【分析】（1）根据“两种石材所需总费用＝甲石材单价×甲石材数量+乙石材单价×乙石材数量”计算即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集；根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）y＝50x+150（7000﹣x）＝﹣100x+1050000．
答：购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系为y＝﹣100x+1050000．
（2）根据题意，得x≤2.5（7000﹣x），
解得x≤5000．
∵﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x≤5000，
∴当x＝5000时，y值最小，y最小＝﹣100×5000+1050000＝550000．
答：该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
13．（2024秋 锦江区校级期末）春节将至，某坚果公司要把330吨坚果运往甲、乙两地进行销售，现用A、B两种货车共30辆，恰好能一次性装完这批坚果．已知A、B两种货车的载重量分别为12吨/辆和9吨/辆，运往甲地的运费为：A车520元/辆，B车360元/辆；运往乙地的运费为：A车600元/辆，B车480元/辆．
（1）求这两种货车各有多少辆？
（2）如果安排8辆货车前往甲地，其中调往甲地的A车有a辆，其余货车前往乙地，若设总运费为W，求W与a的关系式（用含有a的代数式表示W）．
（3）在（2）的条件下，如果运往甲地的坚果不少于87吨，请你设计出使用总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）A车20辆，B车10辆．
（2）W＝40a+15840；
（3）调往甲地A车5辆、B车3辆，调往乙地A车15辆、B车7辆，16040元．
【分析】（1）分别设这两种货车的数量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）分别将调往甲地B车及调往乙地A车、B车的数量用含a的代数式表示出来，从而写出W与a的关系式即可；
（3）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；根据W与a的关系式的增减性及a的取值范围，确定当a取何值时W值最小，求出其最小值和此时调往甲地B车及调往乙地A车、B车的数量即可．
【解答】解：（1）设有A车x辆，B车y辆．
根据题意，得，
解得．
答：有A车20辆，B车10辆．
（2）由题意可知，调往甲地B车（8﹣a）辆；调往乙地A车（20﹣a）辆、B车（a+2）辆，
则W＝520a+360（8﹣a）+600（20﹣a）+480（a+2）＝40a+15840．
答：W与a的关系式为W＝40a+15840．
（3）根据题意，得12a+9（8﹣a）≥87，
解得a≥5．
∵40＞0，
∴W随a的减小而减小，
∵a≥5，
∴当a＝5时，W值最小，W最小＝40×5+15840＝16040，
8﹣5＝3（辆），
20﹣5＝15（辆），
5+2＝7（辆）．
答：调往甲地A车5辆、B车3辆，调往乙地A车15辆、B车7辆可使总运费最少，最少总运费为16040元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
14．（2024秋 江都区期末）一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以原速度返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系分别如图中折线O﹣B﹣C﹣D和线段OA所示．
（1）甲、乙两地相距 600 km，快车的行驶速度是 100 km/h，慢车的行驶速度是 50 km/h；
（2）求图中点E的坐标，并解释点E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距200km？（请直接写出答案）
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）600，100，50；
（2）（，），表示两车于出发后h在距甲地km的地方相遇；
（3）4h或8h或h．
【分析】（1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可；
（2）根据路程＝速度×时间分别求出线段OA、CD所在直线的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组，求解即得点E的坐标并描述其实际意义即可；
（3）按照x的取值范围，当两车相距200km时分别列方程并求解即可．
【解答】解：（1）甲、乙两地相距600km，快车的行驶速度是600÷6＝100（km/h），慢车的行驶速度是600÷12＝50（km/h）．
故答案为：600，100，50．
（2）线段OA所在直线的函数关系式为y＝50x（0≤x≤12）．
6+2+6＝14（h），
∴D（14，0），
y＝600﹣100（x﹣8）＝﹣100x+1400，
∴线段CD所在直线的函数关系式为y＝﹣100x+1400（8＜x≤14）．
根据题意，得，
解得，
∴点E的坐标是（，），其实际意义表示两车于出发后h在距甲地km的地方相遇．
（3）线段OB所在直线的函数关系式为y＝100x（0≤x≤6），
∴快车到甲地的距离y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系为．
当0≤x≤6，两车相距200km时，得100x﹣50x＝200，
解得x＝4；
当6＜x≤8，两车相距200km时，得600﹣50x＝200，
解得x＝8；
当8＜x≤12，两车相距200km时，得|﹣100x+1400﹣50x|＝200，
解得x＝8（舍去）或；
当12＜x≤14，两车相距200km时，得600﹣（﹣100x+1400）＝200，
解得x＝10（舍去）．
综上，x＝4或8或．
答：慢车出发4h或8h或h后，两车相距200km
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键．
15．（2024秋 海曙区期末）如图，点A（﹣6，0），点B（0，8），PQ＝8，线段PQ的端点P从点A出发沿线段AB向点B运动，同时另一端点Q随之只在x轴上运动，运动过程中Q点始终不在P点左边，当P点到达B点后P，Q两点都停止运动，设点Q的坐标为（m，0）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求m的最大值；
（3）求点Q运动的总路程；
（4）当P点的横坐标为时，求PQ与y轴的交点坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y；
（2）4；
（3）6；
（4）（）．
【分析】（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入点A（﹣6，0），点B（0，8），用待定系数法即可解决；
（2）当QP⊥AB时，m的值才最大．当QP⊥AB时，证明△AOB≌△APQ（AAS），即可得到AQ最大值为10，从而得m最大值为4；
（3）点Q运动的轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），故运动的总路程为2+4＝6；
（4）先求出P点坐标P（，）．作PH⊥x轴于点H，在Rt△RHQ中，由勾股定理有HQ，故Q（，0），
用待定系数法可求得PQ解析式为y，从而知PQ与y轴的交点坐标为（）．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，代入点A（﹣6，0），点B（0，8），
∴，解得，
所以直线AB的表达式y．
（2）∵Q点始终不在P点左边，当P点在A点时，PQ＝8，故Q（2，0），
当P点在B点时，PQ＝8，故Q（0，0）．
若要m的值最大，即当QP⊥AB时，m的值才最大．
当QP⊥AB时，∠APQ＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△APQ中，
∵，
∴△AOB≌△APQ（AAS），
∴AQ＝AB10．
∴OQ＝AQ﹣AO＝10﹣6＝4，
故m的值最大为4．
（3）∵点Q运动的轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），
故运动的总路程为2+4＝6．
（4）把x代入y中，得y，
故P（，）．
作PH⊥x轴于点H，如下图所示，
在Rt△RHQ中，由勾股定理有：HQ，
故Q（，0），
设直线PQ的表达式为y＝kx+b，
则，解得，
所以y，
故当P点的横坐标为时，PQ与y轴的交点坐标为（）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键．
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