6.1.2 空间向量的数量积 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修第二册

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名称 6.1.2 空间向量的数量积 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版(2019)选择性必修第二册
格式 docx
文件大小 191.3KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-18 16:39:44

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文档简介

6.1.2 空间向量的数量积
一、 单项选择题
1 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=120°,若线段AC1=,则∠DAA1等于(  )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2 已知向量a,b,c两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-3c)·(3a+b+c)等于(  )
A. 2 B. -2 C. 16 D. -16
3 (2024益阳期末)已知空间向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=4,cos 〈a,b〉=,则|c|等于(  )
A. 3 B. C. D. 21
4 (2024石家庄期中)如图,在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,OA=2OB=2,若CB⊥OA,则OC等于(  )
A. 1 B. 2 C. D.
5 (2024河源期末)如图,在正三棱锥P-ABC中,高PO=6,AB=3,E,F分别为PB,PC的中点,则·等于(  )
A. B. C. D.
6 已知MN是正方体内切球的一条直径,点P在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则·的取值范围为(  )
A. [0,4] B. [0,2] C. [1,4] D. [1,2]
二、 多项选择题
7 (2024安徽开学考试)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AB⊥AD,∠A1AD=∠A1AB=60°,P为A1D与AD1的交点,设=a,=b,=c,则下列结论中正确的是(  )
A. =a+b-c B. =-a+b+c
C. ||= D. ·=
8 (2024沧州期末)在棱长为2的正四面体ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G是△BCD的重心,则下列结论中正确的是(  )
A. ·=0
B. ·=2
C. 在上的投影向量为
D. =(+-)
三、 填空题
9 若空间非零向量a,b满足a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.
10 (2023衡阳期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=3,E,F分别为棱AB,A1C1的中点,则·=________.
11 已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,则·=________,||=________.
四、 解答题
12 (2024江门期中)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°.求:
(1) BD1的长;
(2) 与夹角的余弦值.
13 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,BC⊥AB,AB=BC=a,PA=b.
(1) 确定在平面ABC上的投影向量,并求·;
(2) 确定在直线AB上的投影向量,并求·.
6.1.2 空间向量的数量积
1. C 因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×(-)+2×1×1×(-)+2×1×1×cos ∠DAA1=2,所以cos ∠DAA1=,所以∠DAA1=60°.
2. D 因为向量a,b,c两两垂直,所以a·b=a·c=c·b=0,所以(a+2b-3c)·(3a+b+c)=3|a|2+2|b|2-3|c|2=-16.
3. C 由题意,得c=-(a+b),|a|=1,|b|=4,cos 〈a,b〉=,所以|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|·cos 〈a,b〉=1+16+2×1×4×=21,故|c|=.
4. A 由题意,得=-.又CB⊥OA,故⊥,所以·=0,即(-)·=0,所以·-·=0,则1×2×cos -2||·cos =0,解得||=1,即OC=1.
5. B 在等边三角形ABC中,因为AB=3,所以△ABC的高为h=3×=,所以OC=h=×=3.在Rt△POC中,可得PA=PB=PC===3.又E,F分别为PB,PC的中点,所以EF=,OE=OF=PC=.在△OEF中,可得cos∠EOF===,所以·=||·||cos ∠EOF=××=.
6. B 设正方体内切球的球心为O,则 OM=ON=1,·=(+)·(+)=||2+·(+)+·. 因为MN是正方体内切球的一条直径,所以+=0,·=-1,所以·=||2-1.又点P在正方体表面上运动,所以当P为正方体顶点时,最大,且最大值为;当P为内切球与正方体的切点时,最小,且最小值为1,所以0≤||2-1≤2,所以 ·的取值范围为[0,2].
7. BD 对于A,=++=a+b+c,故A错误;对于B,=+=-+=-a+b+c,故B正确;对于C,a·b=0,b·c=|b||c|cos 60°=,a·c=|a||c|cos 60°=,又=+=++=-++=--++=a+b-c,所以||===,故C错误;对于D,·=(a+b+c)·(a+b-c)=a2+b2-c2+a·b+a·c=,故D正确.故选BD.
8. AB 如图,取DC的中点M,连接AM,BM.因为AM⊥CD,BM⊥CD,AM∩BM=M,AM 平面ABM,BM 平面ABM,所以CD⊥平面ABM.因为AB 平面ABM,所以CD⊥AB,所以·=0,故A正确;取BD的中点H,连接HE,HF,则HE∥AB,HE=AB,FH∥CD,FH=CD,所以HE⊥FH,即∠FHE=90°,又HE=FH=1,所以∠HEF=45°,EF=,所以·=2·=2×1××cos 45°=2,故B正确;由B知,在上的投影向量为=,故C错误;=+=-+(++)=(+)-,故D错误.故选AB.
9. 60° 由题意,得(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减,得46a·b=23|b|2,所以a·b=|b|2,代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,所以 cos 〈a,b〉===,所以〈a,b〉=60°. 
10. 9 因为BB1⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以BB1⊥AB,同理可知BB1⊥A1C1,所以·=(++)·=(++)·=·+||2+·=|2=9.
11. 3  设=a,=b,=c,则由题意,得|a|=1,|b|=1,|c|=2,a·b=0,a·c=1,b·c=1,·=(b+c)·(b+a)=b2+b·c+b·a+a·c=1+1+0+1=3,||=|a+b+c|===.
12. (1) 设=a,=b,=c.
由题意,得|a|=|b|=|c|=2,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
所以a·b=b·c=c·a=2×2×cos 60°=2.
又=++=-a+c+b,
所以||2=(b+c-a)2=b2+c2+a2+2b·c-2b·a-2c·a=4+4+4+4-4-4=8,
所以||=2,即BD1的长为2.
(2) 因为=+=a+b,
所以||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4+2×2+4=12,
所以||=2,
则·=(b+c-a)·(a+b)=a·b+a·c-a2+b2+b·c-a·b=4,
所以cos 〈,〉===,
即与夹角的余弦值为.
13. (1) 因为PA⊥平面ABC,
所以即为在平面ABC上的投影向量.
又因为在平面ABC内,BC⊥AB,AB=a,
所以·=·=||2=a2.
(2) 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
又因为BC⊥AB,PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,
所以BC⊥平面PAB,
所以在直线AB上的投影向量为,
所以·=·=||2=a2.