6.2.1　空间向量基本定理 练习(含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.2.1　空间向量基本定理
一、 单项选择题
1 已知{a，b，c}是空间的一个基底，“＝＝”是“p1＝x1a＋y1b＋z1c与p2＝x2a＋y2b＋z2c共线”的(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2 在三棱锥ABCD中，M是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为(　　)
A. 0 B.
C. 1 D. 2
3 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，a＝e1＋e2，b＝e1－e2，c＝e3，p＝3e1＋2e2＋e3，若p＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　)
A. ，，1 B. ，1，
C. 1，， D. ，，1
4 (2024绍兴期末)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点P在A1C上，且＝3，则等于(　　)
A. a＋b＋c
B. a＋b＋c
C. a＋b＋c
D. a＋b－c
5 (2024邢台期末)假设给定一向量组A＝{a1，a2，…，an}和向量c，若存在一组实数k1，k2，…，kn，使得c＝k1a1＋k2a2＋…＋knan，则称向量c能由向量组A线性表示，或称向量c是向量组A的线性组合．若A＝{e1＋e2，e2－e3}，c＝e1＋me3，e1，e2，e3为三个不共面的空间向量，且向量c是向量组A的线性组合，则m的值为(　　)
A. －4 B. －3 C. 1 D. 2
6 (2024大连期末)在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为△BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024嘉兴期末)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是(　　)
A. {a＋b，b＋c，c＋a}
B. {a－b，b－c，c－a}
C. {a－b，b＋c，c－a}
D. {a＋b，b－c，a＋c}
8 (2024重庆期末)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，N是△OBC的重心，点P在线段AN上，且＝2，设＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)
A. ＝b＋c
B. ＝b＋c＋a
C. ＝b＋c－a
D. ＝a＋b＋c
三、 填空题
9 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________．　
10 已知在四棱锥PABCD中，点E，F分别在棱PB，AD上，且＝4，＝4，以为基底，若＝x＋y＋z， 其中x，y，z是实数，则x＝________，y＝________，z＝________．
11 (2024石家庄期末)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是A1D1的中点，N是CA1上的点，且＝，若＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________．
四、 解答题
12 在棱长为2的正四面体ABCD中，＝.
(1) 设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示；
(2) 若＝λ，且·＝－，求实数λ的值．
13 (2024厦门月考)已知四棱柱ABCDA′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′B上，且A′M＝MB，点N在对角线A′C上，且A′N＝λA′C.设向量＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示向量，；
(2) 若M，N，D′三点共线，求实数λ的值．
6.2.1　空间向量基本定理
1. A　设＝＝＝k，则x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2，所以p1＝k(x2a＋y2b＋z2c)＝kp2，所以p1 与p2 共线，即充分性成立；若p2＝0，则＝＝不成立，即必要性不成立，故“＝＝”是“p1＝x1a＋y1b＋z1c与p2＝x2a＋y2b＋z2c共线”的充分且不必要条件．
2. A　连接AM，DM.在△ABC中，＝(＋)，在△AMD中，＝－，所以＝－＝(＋)－，所以x＝y＝，z＝－1，所以x＋y＋z＝＋－1＝0.
3. D　因为a＝e1＋e2，b＝e1－e2，c＝e3，p＝xa＋yb＋zc，所以p＝x(e1＋e2)＋y(e1－e2)＋ze3＝(x＋y)e1＋(x－y)e2＋ze3.又p＝3e1＋2e2＋e3，所以解得
4. A　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.
5. C　因为e1，e2，e3为三个不共面的空间向量，由题意，得存在λ，μ∈R，使得c＝λ(e1＋e2)＋μ(e2－e3)，即e1＋me3＝λe1＋(λ＋μ)e2－μe3，所以解得
6. C　如图，连接DG交BC于点H，则H为BC的中点，连接AH，EH，AG.设AG∩EH＝K，则K∈EH，K∈AG.因为EH 平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点．又因为AG与平面BCE交于点F，所以点F与点K重合．又E为AD的中点，G为平面BCD的重心，A，F，G三点共线，所以＝m＝m(＋)＝m(＋)＝m(＋×)＝m[＋×(－＋－)]＝m(＋＋).又因为点E，F，H三点共线，所以＝x＋y，其中x＋y＝1，＝x＋y＝(＋)＋，所以解得m＝，即＝，故＝.
7. AC　对于A，因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a＋b，b＋c，c＋a两两都不是共线向量，假设a＋b，b＋c，c＋a是共面向量，则有a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，即显然无实数解，假设不成立，因此a＋b，b＋c，c＋a不是共面向量，因此{a＋b，b＋c，c＋a}可以成为一组基底；对于B，因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a－b，b－c，c－a两两都不是共线向量，因为a－b＝－(b－c)－(c－a)，所以a－b，b－c，c－a是共面向量，因此不能成为一个基底；对于C，因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a－b，b＋c，c－a两两都不是共线向量，假设a－b，b＋c，c－a是共面向量，则有a－b＝x(b＋c)＋y(c－a)，即显然无实数解，假设不成立，因此a－b，b＋c，c－a不是共面向量，因此{a－b，b＋c，c－a}可以成为一个基底；对于D，因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a＋b，b－c，c＋a两两都不是共线向量，因为a＋b＝(b－c)＋(c＋a)，所以a＋b，b－c，c＋a是共面向量，因此不能成为一个基底．故选AC.
8. AD　对于A，因为N是△OBC的重心，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝b＋c，故A正确；对于B，＝－＝b＋c－a，故B错误；对于C，＝－＝－＝(b＋c)－a＝b＋c－a，故C错误；对于D，＝＋＝＋＝a＋(b＋c－a)＝a＋b＋c，故D正确．故选AD.
9. 0　因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3为不共面向量．又因为λe1＋μe2＋ve3＝0，所以λ＝μ＝v＝0，所以λ2＋μ2＋v2＝0.
10. －　－　　因为＝－＝－(＋)＝－－＝－－(－)＝－－＋，由空间向量基本定理知x＝－，y＝－，z＝.
11. 　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为M是A1D1的中点，N是CA1上的点，所以＝－＝－＝(－)－＝(＋－)－＝(＋－)－＝＋－＝a＋b－c.又＝xa＋yb＋zc，由空间向量基本定理，得x＝，y＝，z＝－，所以x＋y＋z＝.
12. (1) 因为＝，所以M是棱BC的中点，
所以＋＝2，
则＝2－＝2b－a，
故＝－＝c－(2b－a)＝a－2b＋c.
(2) 因为＝λ，
所以＝－＝λ－.
在棱长为2的正四面体ABCD中，·＝·＝·＝2，
所以·＝(＋)·(λ－)＝2λ－3＝－，
解得λ＝，故实数λ的值为.
13. (1) 由题意，得＝＋＝－＋－＝－＋－＝a－c－b，＝＋＝－＋＝－＋(－)＝－＋－＝－b＋a－c.
(2) 因为＝＋＝－＋＋＝－c＋a＋b，点N在对角线A′C上，且A′N＝λA′C，
所以＝λ＝－λc＋λa＋λb，
则＝＋＝－＋＝－λc＋λa＋(λ－1)b.
因为M，N，D′三点共线，所以＝t，
即－λc＋λa＋(λ－1)b＝t(－b＋a－c).
又a，b，c不共面，所以a，b，c可以作为空间中的一组基底，
所以解得
故实数λ的值为.