6.2.2　空间向量的坐标表示 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
一、 单项选择题
1 空间直角坐标系中的两点P(1，2，3)，Q(－1，0，1)，则线段PQ的中点M的坐标为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. (0，2，4)
B. (0，1，2)
C. (2，2，2)
D. (－2，－2，－2)
2 已知A(1，1，0)，B(2，0，－1)，C(－1，3，－2)，则－等于(　　)
A. (4，－4，0)
B. (－4，4，0)
C. (2，－2，0)
D. (－2，2，0)
3 (2023苏州期末)在空间直角坐标系O xyz中，点(1，3，2)关于xOy平面的对称点坐标为(　　)
A. (－1，3，2)
B. (1，－3，2)
C. (1，3，－2)
D. (－1，－3，－2)
4 (2024南通月考)已知向量＝(1，a，－2)，＝(－2，4，b)，若与共线，则a－b的值为(　　)
A. －6 B. －2
C. 2 D. 6
5 (2024周口月考)已知a＝(1，0，2)，b＝(3，－2，1)，c＝(－1，m，3)，若a，b，c三个向量共面，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 2
C. 3 D. 5
6 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　)
A. (4，0，3) B. (1，2，3)
C. (3，1，3) D. (2，1，3)
二、 多项选择题
7 已知a＝(x，4，y)，b＝(1，x，1)，若a∥b，则x，y的值分别为(　　)
A. x＝2，y＝2
B. x＝－2，y＝2
C. x＝－2，y＝－2
D. x＝2，y＝－2
8 已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2).若点D能和A，B，C三点构成一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标是(　　)
A. (1，－1，2)
B. (－1，1，2)
C. (2，1，－1)
D. (1，1，－2)
三、 填空题
9 (2024湖北月考)已知点A，B关于点P(1，2，3)的对称点分别为A′，B′，若A(－1，3，－3)，＝(3，1，5)，则点B的坐标为________．
10 (2023枣庄期末)若空间向量a＝(1，1，1)，b＝(1，0，1)，c＝(1，2，m)共面，则实数m＝________．
11 (2023苏州期末)在空间直角坐标系O xyz中，已知点A(1，1，0)，B(－1，0，2)，点C满足＝2，则点C的坐标为________．
四、 解答题
12 在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．若在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
13 设点C(2a＋1，a＋1，3)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)所确定的平面上，求实数a的值．
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
一、 单项选择题
1 已知点B，C分别为点A(3，4，5)在坐标平面xOy和yOz内的射影，则BC的长为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. B. 5
C. D. 5
2 (2024长沙月考)若向量a＝(2，2，3)，b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，则a·(b＋c)等于(　　)
A. 5 B. 8 C. 10 D. 12
3 (2023河源龙川期末)若单位向量＝(m，n，0)与向量＝(1，1，1)的夹角等于，则mn的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
4 (2024青岛期末)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，λ，2)，且7a＋5b与2a－b互相垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B. 或
C. 0或 D. 0或
5 (2024吉安期末)在三棱锥MABC中，MA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AB＝2，MA＝，点F在线段MC上，且＝λ，当·＝时，实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024烟台月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BD1上，且＝λ(0<λ<1).当∠APC为锐角时，实数λ的取值范围是(　　)
A. (0，) B. (，1)
C. (0，) D. (，1)
二、 多项选择题
7 (2024泉州期末)已知空间向量＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ·＝0
B. 在上的投影向量为(0，2，－1)
C. 若向量＝(1，0，6)，则点E在平面ABC内
D. 向量(0，－，)是与平行的一个单位向量
8 (2024石家庄期末)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝2，C1B1＝1，P为线段B1C上的一点，则·的值可以为(　　)
A. B. C. D. 2
三、 填空题
9 (2024河南月考)已知向量a＝(4，2，－4)，b＝(，x，y)，若a∥b，则|b|＝________．
10 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，则△ABC的面积为________，△ABC中边AB上的高为________．
11 (2024福州期末)如图，在四棱锥D1ABCD中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为6的正方形，且四棱锥D1ABCD的外接球的表面积为81π，点E在线段AD1上，且2D1E＝EA，M为线段BE的中点，则点M到直线DC上任意点的距离的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024山东期中)已知点A(1，2，－1)，B(2，k，－3)，C(0，5，1)，向量a＝(－3，4，5).
(1) 若⊥a，求实数k的值；
(2) 求向量在向量a方向上的投影向量．
13 (2024江西期中)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，线段BB1，A1C1，BC的中点分别为D，E，F.已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2.
(1) 证明：A1F⊥DE；
(2) 求sin 〈，〉的值．
6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
1. B　设点M的坐标为(x，y，z)，则即点M的坐标为(0，1，2).
2. A　因为A(1，1，0)，B(2，0，－1)，C(－1，3，－2)，所以＝(1，－1，－1)，＝(－3，3，－1)，所以－＝(4，－4，0).
3. C　点(1，3，2)关于xOy平面的对称点坐标为(1，3，－2).
4. A　因为＝(1，a，－2)，＝(－2，4，b)，且与共线，所以＝λ＝(－2λ，4λ，bλ)，则解得所以a－b＝－6.
5. B　因为a，b，c三个向量共面，所以存在实数λ，μ，使c＝λa＋μb，即(－1，m，3)＝λ(1，0，2)＋μ(3，－2，1)，即解得
6. C　由题意，得p＝4a＋2b＋3c.设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).
7. AC　因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝2或x＝－2，y＝－2.故选AC.
8. ABD　设点D的坐标为(x，y，z).①若＝，则(－1，1，0)＝(－x，－y，2－z)，所以解得所以点D的坐标为(1，－1，2)；②若＝，则(－1，1，0)＝(x，y，z－2)，所以解得所以点D的坐标为(－1，1，2)；③若＝，则(－1，0，2)＝(－x，1－y，－z)，所以解得所以点D的坐标为(1，1，－2).故选ABD.
9. (－4，2，－8)　由题意，得P是线段AA′和BB′的中点，则＝＝－.设B(x，y，z)，则＝(x＋1，y－3，z＋3)＝－(3，1，5)＝(－3，－1，－5)，所以解得故点B的坐标为(－4，2，－8).
10. 1　由题意，得c＝λa＋μb，故(1，2，m)＝λ(1，1，1)＋μ(1，0，1)，所以解得
11. (－3，－1，4)　设点C的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y－1，z)，＝(－2，－1，2).因为＝2，所以(x－1，y－1，z)＝2(－2，－1，2)＝(－4，－2，4)，即解得所以点C的坐标为(－3，－1，4).
12. 因为＝－＝－(＋)＝－[＋(＋)]＝－－－＝－(0，0，4)－(4，0，0)－(0，2，0)＝(－2，－1，－4)，
所以＝(－2，－1，－4).
因为＝－＝－(＋)＝－＋－＝－(4，0，0)＋(0，2，0)－(0，0，4)＝(－4，2，－4)，
所以＝(－4，2，－4).
13. 由题意，得＝(－1，－3，2)，＝(6，－1，4)，＝(2a－1，a＋1，3).
根据共面向量定理，设＝x＋y(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1，3)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)，即解得x＝－9，y＝，a＝，故实数a的值是.
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
1. A　因为点B，C分别为点A(3，4，5)在坐标平面xOy和yOz内的射影，所以B(3，4，0)，C(0，4，5)，故BC＝＝.
2. C　由b＝(－1，2，1)，c＝(0，1，1)，得b＋c＝(－1，3，2).因为a＝(2，2，3)，所以a·(b＋c)＝－1×2＋3×2＋2×3＝10.
3. A　由题意，得·＝m＋n，||＝1，||＝.因为，的夹角为，所以·＝||·||cos ，即m＋n＝.又||＝＝1，所以m2＋n2＝1，所以(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn＝()2－1＝，解得mn＝.
4. C　7a＋5b＝7(1，1，0)＋5(－1，λ，2)＝(2，7＋5λ，10)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，λ，2)＝(3，2－λ，－2)，由7a＋5b与2a－b互相垂直，得(7a＋5b)·(2a－b)＝2×3＋(7＋5λ)×(2－λ)＋10×(－2)＝0，解得λ＝0或λ＝.
5. C　以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝2，MA＝，所以A(0，0，0)，B(，1，0)，M(0，0，)，C(0，2，0)，所以＝(－，1，0)，＝(0，－2，).因为F是棱MC上一点，＝λ(0≤λ≤1)，所以＝＋λ＝(0，2，0)＋λ(0，－2，)＝(0，2－2λ，λ).因为·＝，所以2－2λ＝，解得λ＝.
6. C　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，则＝(1，1，－1)，所以＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，由图可知∠APC≠0，且∠APC为锐角，所以cos ∠APC>0，所以·＝(1－λ，－λ，λ－1)·(－λ，1－λ，λ－1)＝(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)>0，又0<λ<1，解得0<λ<.
7. ABD　由题意，得＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，·＝0－4＋4＝0，故A正确；因为BA⊥BC，所以在上的投影向量即为＝(0，2，－1)，故B正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得＝x＋y，而＝(1，0，6)，＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，所以此方程组无解，故点E不在平面ABC内，故C错误；因为＝(0，－2，1)，所以(0，－，)＝，且＝1，故D正确．故选ABD.
8. BD　以C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，D1(2，0，0)，C(0，0，2)，B1(0，1，0).设＝λ＝λ(0，－1，2)＝(0，－λ，2λ)，0≤λ≤1，则＝＋＝(0，1，0)＋(0，－λ，2λ)＝(0，1－λ，2λ)，＝＋＝(－2，0，0)＋(0，1－λ，2λ)＝(－2，1－λ，2λ)，所以·＝(1－λ)2＋4λ2＝5λ2－2λ＋1＝5(λ－)2＋.因为0≤λ≤1，所以－≤λ－≤，所以0≤(λ－)2≤，所以·＝5(λ－)2＋∈[，4].故选BD.
9. 　因为a∥b，＝12，所以a＝12b，所以|b|＝|a|＝＝.
10. 3　3　由题意，得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，所以||＝＝，||＝＝2，·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈，〉＝＝＝，sin 〈，〉＝＝，所以S△ABC＝||·||·sin 〈，〉＝××2×＝3.设边AB上的高为CD，则CD＝||＝＝3.
11. 　因为D1D⊥底面ABCD，所以D1D⊥AD，D1D⊥DC.因为底面ABCD是正方形，所以DA⊥DC，以D为坐标原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥D1ABCD的外接球的半径为r.由外接球的表面积为81π，即4πr2＝81π，解得r＝，所以BD1＝2r＝＝9，解得D1D＝3，所以A(6，0，0)，D1(0，0，3).又2D1E＝EA，即2＝，设E(x，y，z)，所以＝(x，y，z－3)，＝(6－x，－y，－z)，所以解得所以E(2，0，2).因为B(6，6，0)，且M为线段BE的中点，所以M(4，3，1).设直线DC上一点Q(0，t，0)，则MQ＝＝，所以当t＝3时，点M到直线DC上任意点的距离的最小，其最小值为.
12. (1) 由题意，得＝(1，k－2，－2)，a＝(－3，4，5).
因为⊥a，所以·a＝0，
即－3＋4k－8－10＝0，
解得k＝.
(2) 由题意，得＝(－1，3，2)，a＝(－3，4，5)，
所以向量在向量a上的投影向量为()·＝(－，，)＝(－，2，).
13. (1) 由题意，得AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0，0，2)，C1(4，0，2)，D(0，2，1)，E(2，0，2)，F(2，1，0)，
所以＝(2，1，－2)，＝(2，－2，1)，
所以·＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0，所以A1F⊥DE.
(2) 由(1)得＝(2，－2，1)，＝(－2，1，－2)，
则||＝＝3，||＝＝3，
所以cos 〈，〉＝＝＝－，
所以sin 〈，〉＝.