6.3.2　空间线面关系的判定 练习(2课时,含详解)2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．3.2　空间线面关系的判定(1)
一、 单项选择题
1 (2024茂名期末)已知直线l的方向向量为m＝(a，1，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，2，3)，若直线l∥平面α，则实数a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. －7 B. 2 C. －1 D. －4
2 (2024重庆黔江月考)已知平面α的一个法向量为(1，－2，－1)，平面β的一个法向量为(－1，2，k).若α∥β，则实数k的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3 (2024深圳期末)已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“a，b共线”是“直线m，n平行”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，＝λ，且EF∥平面ACD1，则实数λ的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024广州期中)已知e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，平面α和平面β的法向量分别为a＝e1＋λe2＋3e3和b＝－e1＋2e2＋μe3，若α∥β，则λ＋μ的值为(　　)
A. 5 B. －5 C. 3 D. －3
6 (2024台州期中)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是矩形ABCD内一动点(不含边界)，若直线D1M与平面EFG平行，则·的最小值为(　　)
A. 2 B. 9 C. D.
二、 多项选择题
7 (2024永州期末)已知平面α与平面β平行，若平面α的一个法向量为n＝(－1，2，－3)，则平面β的法向量可以是(　　)
A. (1，－2，3) B. (－1，－2，3)
C. (2，－4，6) D. (2，－4，－6)
8 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是(　　)
A. 线段CC1的中点
B. 线段BC的中点
C. 线段CD的中点
D. 线段C1D1的中点
三、 填空题
9 已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的一个法向量为n1＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
10 若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＝________，z＝________．
11 (2024聊城期中)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________．
四、 解答题
12 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为棱PD的中点，＝λ(λ为常数，且0<λ<1).若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值．
13 (2024株洲期中)如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明：
(1) MN∥平面CC1D1D；
(2) 平面MNP∥平面CC1D1D.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
一、 单项选择题
1 (2024菏泽期末)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数x的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. －7 B. －1
C. 1 D. 7
2 已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
3 (2024盐城期中)设m为实数，若直线l垂直于平面α，且l的一个方向向量为(m，2，4)，平面α的一个法向量为(2，4，8)，则m的值为(　　)
A. 1 B. 2
C. －20 D. －10
4 (2024长沙月考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN(　　)
A. 有且仅有1条
B. 有且仅有2条
C. 有且仅有3条
D. 有无数条
5 (2024扬州月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段BP长度的取值范围是(　　)
A. [1，] B. [，]
C. [，] D. [1，]
6 如图1，在梯形CEPD中，PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，如图2.已知当点F满足＝λ(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则实数λ的值为(　　)
图1
　　图2
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024温州期中)已知直线l的方向向量是a，平面α，β的法向量分别是m，n，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若a∥m，则l⊥α
B. 若a·m＝0，则l⊥α
C. 若m∥n，则α⊥β
D. 若m·n＝0，则α⊥β
8 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论中不正确的是(　　)
A. 当Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B. 当Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C. 在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D. 不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD
三、 填空题
9 (2024泸州月考)已知点P(0，2，0)，O(0，0，0)，A(1，2，4)，B(－1，2，4)，过点P作PH⊥平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是________．
10 (2024上海普陀)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a(a>0，且a为常数)，PD⊥平面ABCD.若线段AB上存在点Q，使得PQ⊥CQ，则实数a的取值范围是________．
11 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且＝2.点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．
四、 解答题
12 (2024山东月考)如图，已知在直三棱柱ABCFGE中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，O为BC的中点，D为侧棱BG上一点，且BD＝BG，三棱柱ABCFGE的体积为32.过点O作OQ⊥DE，垂足为Q.求证：BQ⊥平面ACQ.
13 (2024广东月考)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上，且＝.求证：平面AEF⊥平面PCD.
6．3.2　空间线面关系的判定(1)
1. D　由直线l∥平面α，得m⊥n，则m·n＝－a＋2－6＝0，所以a＝－4.
2. C　因为平面α的一个法向量为(1，－2，－1)，平面β的一个法向量为(－1，2，k)，且α∥β，所以＝＝，解得k＝1.
3. C　若直线的方向向量a，b共线，则两直线平行或重合．又直线m，n是空间中两条不同的直线，所以两直线m，n平行，即“a，b共线”是“直线m，n平行”的充分条件；若直线m，n平行，则a，b共线，即“a，b共线”是“直线m，n平行”的必要条件．综上，“a，b共线”是“直线m，n平行”的充要条件．
4. B　建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C(0，b，0)，D1(0，0，c)，E(a，b，)，B1(a，b，c)，所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(－a，－b，0).因为＝λ，所以＝(－λa，－λb，0)，所以F((1－λ)a，(1－λ)b，c)，所以＝(－λa，－λb，).设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝bc，则y＝ac，z＝ab，所以n＝(bc，ac，ab).因为EF∥平面ACD1，所以⊥n，所以·n＝－λabc－λabc＋＝0，解得λ＝.
5. B　因为e1，e2，e3为空间内三个不共面的向量，所以e1，e2，e3可以作为空间内的一个基底．又平面α和平面β的法向量分别为a＝e1＋λe2＋3e3和b＝－e1＋2e2＋μe3，且α∥β，所以a∥b，则a＝tb，即e1＋λe2＋3e3＝t(－e1＋2e2＋μe3)，所以解得所以λ＋μ＝－5.
6. C　分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，3，3)，F(4，，0)，G(4，3，)，D1(0，3，3)，B1(4，0，3)，M(x，y，0)，＝(2，－，－3)，＝(0，，)，＝(x，y－3，－3).设平面EFG的法向量n＝(x1，y1，z1)，则得令y1＝1，则n＝(－，1，－1).由于直线D1M与平面EFG平行，故·n＝0，则－x＋y－3＋3＝0，即y＝x.因为＝(4－x，－y，3)，＝(－x，3－y，3)，所以·＝(4－x)·(－x)＋(－y)·(3－y)＋9＝x2－4x＋y2－3y＋9＝x2－4x＋(x)2－＋9＝x2－x＋9＝(x－2)2＋，由于x∈(0，4)，故当x＝2时，·取得最小值，最小值为.
7. AC　因为平面α与平面β平行，所以平面α的法向量与平面β的法向量平行．对于A，若(1，－2，3)＝λ(－1，2，－3)，则此时λ＝－1，满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故A正确；对于B，若(－1，－2，3)＝λ(－1，2，－3)，则此时无解，不满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故B错误；对于C，若(2，－4，6)＝λ(－1，2，－3)，则此时λ＝－2，满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故C正确；对于D，若(2，－4，－6)＝λ(－1，2，－3)，则此时无解，不满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故D错误．故选AC.
8. ABD　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q.不妨设棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，0，1)，M(0，2，1)，N(1，2，0)，P(0，1，0)，Q(0，1，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0).设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(1，1，1).又＝(－2，2，0)，＝(－1，2，－1)，＝(－2，1，－1)，＝(－2，1，1)，则·n＝－2×1＋2×1＝0，·n＝－1×1＋2×1－1×1＝0，·n＝－2×1＋1×1－1×1＝－2，·n＝－2×1＋1×1＋1×1＝0，又EM，EN，EQ均不在平面A1BC1内，所以EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1，即若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是线段CC1的中点，线段BC的中点或线段C1D1的中点．故选ABD.
9. 平行　因为平面α的一个法向量为n1＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，且n1·＝(2，－3，1)·(1，0，－2)＝2＋0－2＝0，所以n1⊥.同理可证n1⊥.又AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以n1⊥平面ABC.又n1为平面α的一个法向量，所以平面α∥平面ABC.
10. 1　－4　因为α∥β，所以u1∥u2，所以存在实数λ使得u1＝λu2，即(－3，y，2)＝λ(6，－2，z)，所以解得
11. 　以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．由题意，得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，F(1，0，1)，E(0，1，1)，所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0).设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，所以则取x＝1，则y＝1，z＝3，所以n＝(1，1，3).因为OG∥平面EFC，所以n·＝0.设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，所以－1－1＋3a＝0，解得a＝，所以G(0，0，)，即AG＝.
12. 因为PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
由题意，得AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)，＝(2，2，－2)，
则＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)，
所以＝＋＝(2λ－2，2λ，2－2λ).
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，所以m＝(1，－1，2).
因为BF∥平面ACE，
所以·m＝2λ－2－2λ＋4－4λ＝0，解得λ＝.
13. (1) 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质知，AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．
因为＝(0，1，－1)，所以·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2) 因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，且＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
所以
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
1. D　因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.
2. A　因为＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，所以·＝0，所以⊥，且||≠||，所以△ABC的形状是直角三角形．
3. A　因为直线l垂直于平面α，所以直线l的一个方向向量(m，2，4)与平面α的一个法向量(2，4，8)平行，即＝＝，解得m＝1.
4. D　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设M(0，0，a)，N(x，1，1－x)，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，所以＝(x，1，1－x－a)，＝(－1，0，1).若AD1⊥MN，则·＝－x＋1－x－a＝0，即2x＝1－a(0≤x≤1，0≤a≤1)，方程有无数组解．
5. D　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).设P(a，b，1)，M(0，1，t)(0≤t≤1)，则＝(a－1，b，1)，＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－t).因为AP⊥平面MBD1，所以AP⊥BD1，AP⊥MD1，即解得所以＝(t，1－t，1)，所以＝＋＝(0，－1，0)＋(t，1－t，1)＝(t，－t，1)，所以||＝＝.因为0≤t≤1，结合复合函数单调性，得||＝在区间[0，1]上单调递增．故||＝∈[1，].
6. C　因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PA∥BE，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为PD＝8，CE＝6，所以P(0，0，4)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，D(0，4，0)，B(4，0，0)，则F(4λ，0，0)，＝(4，－4，2)，＝(4λ，－4，0)，＝(0，－4，2)，＝(－4，0，2).设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则即所以令x＝1，则m＝(1，λ，2λ－2).设平面PCE的法向量为n＝(a，b，c)，则即所以令a＝1，则n＝(1，1，2).因为平面DEF⊥平面PCE，所以m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝5λ－3＝0，解得λ＝.
7. AD　若a∥m，则l⊥α，故A正确；若a·m＝0，则l∥α或l在α内，故B错误；若m∥n，则α∥β，故C错误；若m·n＝0，则α⊥β，故D正确．故选AD.
8. ABC　以A1 为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D(0，1，)，P(0，2，0)，则＝(1，0，1)，＝(0，1，)，＝(－1，2，0)，＝(1，－1，－).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).设＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝(1－λ，－1＋2λ，－).假设DQ⊥平面A1BD，所以也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝(1－λ，－1＋2λ，－)共线，则＝＝＝成立，所以则关于λ的方程组无解，故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD，故A，B，C错误，D正确．故选ABC.
9. (0，，)　设H(a，b，c)，则＝(a，b－2，c)，＝(1，2，4)，＝(－1，2，4).因为PH⊥平面OAB，OA 平面OAB，OB 平面OAB，所以PH⊥OA，PH⊥OB，则解得a＝0，b＝2－2c，所以H(0，2－2c，c).因为PH⊥平面OAB，H为垂足，所以O，A，B，H四点共面，则存在唯一实数对(x，y)使得＝x＋y，即(0，2－2c，c)＝(x－y，2x＋2y，4x＋4y)，所以解得x＝y＝，c＝，所以H(0，，).
10. (0，]　因为在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PD⊥平面ABCD，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DP＝b，AQ＝x(00，对称轴方程为x＝，则f()＝a2－≤0.又因为a>0，所以011. 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1).由＝2，得M是靠近点C的线段CC1的三等分点，则M(0，1，)，所以＝(－1，－1，1)，＝(－1，0，).因为点P在平面A1B1C1D1上，设P(x，y，1)，则＝(x－1，y，1).由AP⊥平面MBD1，得解得所以＝(，，1)，||＝＝，即线段AP的长为.
12. 由直三棱柱ABC-FGE，得CE⊥平面ABC.因为AC⊥BC，AC＝BC＝4，
所以三棱柱ABC-FGE的体积V＝AC×BC×CE＝×4×4×CE＝32，解得EC＝4.
因为三棱柱ABC-FGE为直三棱柱，
所以AC⊥CE，BC⊥CE.
因为AC⊥BC，所以CA，CB，CE两两垂直，
以C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，2，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)，B(0，4，0)，A(4，0，0)，C(0，0，0)，
则＝(0，－4，3).设＝λ＝(0，－4λ，3λ)，则Q(0，4－4λ，1＋3λ)，
故＝(0，2－4λ，1＋3λ).
因为OQ⊥DE，所以·＝0，
所以0－8＋16λ＋3＋9λ＝0，解得λ＝，
即Q(0，，)，
所以＝(0，－，)，＝(0，，)，
所以·＝(4，0，0)·(0，－，)＝0，
·＝(0，，)·(0，－，)＝－＋＝0，
所以BQ⊥CA，BQ⊥CQ.
又CA 平面ACQ，CQ 平面ACQ，CA∩CQ＝C，
所以BQ⊥平面ACQ.
13. 如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D作AP的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，2)，E(1，0，1)，B(3，2，0)，
所以＝(0，2，0)，＝(－2，2，－2).
因为＝，所以＝，
所以＝＋＝(－2，2，－2)＋(2，0，2)＝(，，)，即F(，，)，
所以＝(－，，)，＝(－1，0，1).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝z＝1，则y＝－1，所以n＝(1，－1，1).
设平面PCD的法向量为m＝(a，b，c)，
则
取a＝1，则c＝－1，所以m＝(1，0，－1)，
所以n·m＝1×1＋(－1)×0＋1×(－1)＝0，
所以n⊥m，
所以平面AEF⊥平面PCD.