8.1.3.1 三角形的三边关系 课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 8.1.3.1 三角形的三边关系 课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 19.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-17 16:34:27 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
三角形的三边关系
第一课时：三角形的三边关系
华东师大版 七年级 下册
复习提问：
三、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和。
四、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
一、三角形的内角和等于180°
二、三角形的一个外角与它相邻内角互补。
五 、三角形的外角和等于360°
即：∠1＋∠2＋∠3＝180°
即：∠1＋∠6＝180°或∠2＋∠5＝180°或∠3＋∠4＝180°
即：∠5＝∠1＋∠3或∠6＝∠2＋∠3或∠4＝∠1＋∠2
即：∠5＞∠1或∠3
∠6＞∠2或∠3
∠4＞∠1或∠2
外角与相邻内角分三种情况
即：∠4＋∠5＋∠6＝360°
1、钓鱼神器中的几何模型，若AB∥CD，
∠ABE＝132°，∠ADC＝65°则∠COD的度数为( )
A.65° B.67° C.60° D.48°
2、比较∠1、∠2、∠B大小，下列结论正确的是( )
A.∠2＞∠1＞∠B B.∠1＞∠B＞∠2
C.∠1＞∠2＞∠B D.∠B＞∠2＞∠1
3、某中学数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝35°，
则∠2的度数为 。
练一练
B
C
110°
情境导入
是真的吗？CCTV2有一个节目《这是真的吗》，有一期节目是这样的：
说用火柴可以在桌子旁边挂起一瓶矿泉水，问是真的吗？有的嘉宾说不可能，也有些嘉宾说这里有玄机，最后由实验者完成了用三根火柴棍挂起了一瓶矿泉水。
用火柴棍吊起一瓶水，应用了三角形的稳定性。
现实生活中，桥梁设计通常会用到这个性质。学好数学是很有用的！
探究新知
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
商店
小明家
小明
两点之间线段最短
A
B
C
路线 1：沿着从 A 到 C 再到 B 的路线走；
路线 2：沿线段 AB 走。
请问：路线 1、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？
路线 2 较短；两点之间线段最短。
由此可以得到：
三角形的三边关系
一
议一议
多
听
多
思
——归纳总结——
a＋b＞c
b＋c＞a
a＋c＞b
a＞c－b
b＞a－c
c＞b－a
A
B
C
a
b
c
利用不等式的性质
利用不等式的性质
利用不等式的性质
三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差大于第三边
想一想：由不等式性质，三角形两边之差与第三边有何关系？
三角形三边关系性质——
2、三角形的任意两边之差小于第三边。
1、三角形的任意两边之和大于第三边。
注意：1、在三条线段中若两线段之和大于第三线段，则这三条线段能构成一个三角形。
2、一般采用较短两边的和与第三边比较：大于则成，反之，小于或等于则不成。
——当堂学会——
例1、下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A.4，3，2 B.2，3，5 C.4，4，9 D.3，4，12
方法指导：
已知三条线段，先找到最短的两条线段，
再利用三角形的两边之和大于第三边来判断。
A
例2、如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是11cm，
求这个等腰三角形的周长。
解：当腰为5cm时，则三边分别为5，5，11。
∵ 5＋5＜11
∴ 不能组成三角形（不符合题意舍去）
当腰为11cm时，则三边分别为11，11，5。
∵ 5＋11＞11
∴ 能组成三角形
∴ C＝11＋11＋5＝27（cm）
∴ 综上所述，该等腰三角形的周长为27cm。
分类讨论和单位是易错点。
——当堂学会——
(3)3cm、8cm、5cm；
(4)4cm、5cm、6cm；
(1)15cm、10cm、7cm；
(2)4cm、5cm、10cm；
判断下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(5)9cm、9cm、2cm；
7＋10＞15
能组成三角形
4＋5＜10
不能组成三角形
3＋5＝8
不能组成三角形
4＋5＞6
能组成三角形
2＋9＞9
能组成三角形
练一练
若一平面上有A、B、C三个点，则：
1、AB+AC BC
2、若AB+AC＞BC 则以A、B、C为顶点一定能构成△ABC吗？
≥
Ａ
Ｂ
Ｃ
想一想
注意：分两种情况考虑：一种是三点不在同一直线上；
另一种是三点在同一条直线上。
不一定
分类讨论：(1)当A、B、C三点不共线时，由三角形任意两边大于第三边知AB+AC＞BC
(2)当A、B、C三点共线时，①点A在点B左侧(图1)：AB+AC＞BC；②点A在点C右侧(图2)：AB+AC＞BC。③点A在点B与点C中间(图3)：AB+AC＝BC
分类讨论
三角形边的取值范围
二
a－b＜c＜a＋b
已知三角形两边确定第三边取值范围的方法：
已知两边之差＜第三边＜已知两边之和
BC－AC＜AB＜BC＋AC
友情提醒——
1、选择两边必须是相同的两边；
2、两边之和选取原则是：较短两边。
例3、已知三角形的两边分别为6、4，求另一边的取值范围？
解：设另一边为x，由三角形三边关系可知：
6－4＜x＜6＋4 解得：2＜x＜10
∴ 另一边的取值范围是2＜x＜10。
知两边求第三边
用三边关系求解
——例题讲解——
变式：已知三角形三边长分别为5、x－1、8，则三角形周长C的取值范围是 。
解：由三角形三边关系可知：
8－5＜x－1＜8＋5 解得：4＜x＜14
∵ C＝5＋8＋x－1＝12＋x
∴ 周长的范围是：16＜12＋x＜26
两边同时＋12
16＜C＜26
例4、在△ABC中：AC＝5，BC＝2，AB是奇数且是整数，求△ABC的周长？并判断三角形的形状？
——例题讲解——
解：由三角形三边关系可知：
AC－BC＜AB＜AC＋BC
∵ AC＝5 BC＝2
∴ 5－2＜AB＜5＋2 解得：3＜AB＜7
∵ AB是奇数且是整数
∴ AB＝5
∴ C△ABC＝5＋2＋5＝12 形状是等腰三角形
——例题讲解——
例5、若一个等腰三角形的周长为18cm。
(1)腰长的3倍比底边的2倍多6cm，求各边的长。
(2)已知其中一边的长为4cm，求各边的长。
(3)已知其中一边的长为5cm，求各边的长。
解：(1)设腰为x，底为y，由题意可知：
3x＝2y＋6 x＝6
2x＋y＝18 解得：y＝6
∴ 三边分别为6cm、6cm、6cm。
(2)当4cm是腰时，则底是18－4－4＝10(cm)
∵ 4＋4＜10(不符合题意)
∴ 此种情况不存在。
当4cm是底时，则腰是(18－4)÷2＝6(cm)
∵ 4＋6＞6(符合题意)
∴ 三边分别为4cm、6cm、6cm。
(3)当腰是5cm时，则底是18－5－5＝8(cm)
∵ 5＋5＞8(符合题意)
∴ 三边分别为5cm、5cm、8cm。
当底是5cm时，则腰是(18－5)÷2＝6.5(cm)
∵ 5＋6.5＞6.5(符合题意)
∴ 三边分别为5cm、6.5cm、6.5cm。
练一练
1、若一个等腰三角形的已知两边分别为8cm与5cm，求周长。
（提示：一种考虑8、8、5；另一种考虑5、5、8。）
（周长为21cm或18cm）
2、若一个等腰三角形的已知两边分别为8cm与3cm，求周长。
（提示：一种考虑8、3、3；另一种考虑8、8、3。）
（周长为14cm）
注意：计算等腰三角形周长或三边时，一定要考虑三边能否成一个三角形。
例6、如图，O为△ABC内一点。试证明：
证明：由三角形的三边关系可知：
在△ABO中：AO＋BO＞AB ①
在△ACO中：AO＋CO＞AC ②
在△BCO中：BO＋CO＞BC ③
由①＋②＋③得：
AO＋BO＋AO＋CO＋BO＋CO＞AB＋AC＋BC
即：2(AO＋BO＋CO)＞AB＋AC＋BC
∴ AO＋BO＋CO＞0.5(AB＋AC＋BC)
——难点突破——
思考：
这些
建筑
物当
中都
有那
些相
似之
处 ？
请同学们观察下面两幅图片：
再观察下面的图形：
想：为什么都用三角形图形 ？
一
想
三角形的稳定性
三
如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
归纳：三角形形状与大小不会改变，四边形形状会改变，这就是说：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
理解“稳定性”
三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，
其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。
经验分享归纳——
只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”。
例7、要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形、六边形木架、七边形木架保持稳定该怎么办呢
——例题讲解——
五边形需要2条
六边形需要3条
七边形需要4条
n边形需要(n－2)
1、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形
2、想想：要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
3、下列图中具有稳定性有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
C
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
练一练
三角形的三边关系
三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
应用
稳定性
三角形
独有性质
应用
课堂小结
1、判断三条已知线段能否组成三角形的方法：
一种用两条较短边的和与最长边比较：大则能；小或等则不能。
已知两边之差＜第三边＜已知两边之和
2、已知三角形两边确定第三边取值范围的方法：
3、当等腰三角形腰与底不确定时，要计算周长或边长应注意：
一要分两种情况计算或讨论；
二要看看所求三边能否构成一个三角形。
二种用两条较长边的差与最短边比较：小则能；大或等则不能。
1、从课后习题中选取；
2、完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
不积跬步 无以至千里
意思是：行程千里，都是从一步一步开始；如果做事不从一点一滴中做起， 那就不可能有所成就。
【名人名言】
三角形的三边关系
第一课时：三角形的三边关系
华东师大版 七年级 下册
复习提问：
三、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和。
四、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
一、三角形的内角和等于180°
二、三角形的一个外角与它相邻内角互补。
五 、三角形的外角和等于360°
即：∠1＋∠2＋∠3＝180°
即：∠1＋∠6＝180°或∠2＋∠5＝180°或∠3＋∠4＝180°
即：∠5＝∠1＋∠3或∠6＝∠2＋∠3或∠4＝∠1＋∠2
即：∠5＞∠1或∠3
∠6＞∠2或∠3
∠4＞∠1或∠2
外角与相邻内角分三种情况
即：∠4＋∠5＋∠6＝360°
1、钓鱼神器中的几何模型，若AB∥CD，
∠ABE＝132°，∠ADC＝65°则∠COD的度数为( )
A.65° B.67° C.60° D.48°
2、比较∠1、∠2、∠B大小，下列结论正确的是( )
A.∠2＞∠1＞∠B B.∠1＞∠B＞∠2
C.∠1＞∠2＞∠B D.∠B＞∠2＞∠1
3、某中学数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝35°，
则∠2的度数为 。
练一练
B
C
110°
情境导入
是真的吗？CCTV2有一个节目《这是真的吗》，有一期节目是这样的：
说用火柴可以在桌子旁边挂起一瓶矿泉水，问是真的吗？有的嘉宾说不可能，也有些嘉宾说这里有玄机，最后由实验者完成了用三根火柴棍挂起了一瓶矿泉水。
用火柴棍吊起一瓶水，应用了三角形的稳定性。
现实生活中，桥梁设计通常会用到这个性质。学好数学是很有用的！
探究新知
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
商店
小明家
小明
两点之间线段最短
A
B
C
路线 1：沿着从 A 到 C 再到 B 的路线走；
路线 2：沿线段 AB 走。
请问：路线 1、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？
路线 2 较短；两点之间线段最短。
由此可以得到：
三角形的三边关系
一
议一议
多
听
多
思
——归纳总结——
a＋b＞c
b＋c＞a
a＋c＞b
a＞c－b
b＞a－c
c＞b－a
A
B
C
a
b
c
利用不等式的性质
利用不等式的性质
利用不等式的性质
三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差大于第三边
想一想：由不等式性质，三角形两边之差与第三边有何关系？
三角形三边关系性质——
2、三角形的任意两边之差小于第三边。
1、三角形的任意两边之和大于第三边。
注意：1、在三条线段中若两线段之和大于第三线段，则这三条线段能构成一个三角形。
2、一般采用较短两边的和与第三边比较：大于则成，反之，小于或等于则不成。
——当堂学会——
例1、下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A.4，3，2 B.2，3，5 C.4，4，9 D.3，4，12
方法指导：
已知三条线段，先找到最短的两条线段，
再利用三角形的两边之和大于第三边来判断。
A
例2、如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是11cm，
求这个等腰三角形的周长。
解：当腰为5cm时，则三边分别为5，5，11。
∵ 5＋5＜11
∴ 不能组成三角形（不符合题意舍去）
当腰为11cm时，则三边分别为11，11，5。
∵ 5＋11＞11
∴ 能组成三角形
∴ C＝11＋11＋5＝27（cm）
∴ 综上所述，该等腰三角形的周长为27cm。
分类讨论和单位是易错点。
——当堂学会——
(3)3cm、8cm、5cm；
(4)4cm、5cm、6cm；
(1)15cm、10cm、7cm；
(2)4cm、5cm、10cm；
判断下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(5)9cm、9cm、2cm；
7＋10＞15
能组成三角形
4＋5＜10
不能组成三角形
3＋5＝8
不能组成三角形
4＋5＞6
能组成三角形
2＋9＞9
能组成三角形
练一练
若一平面上有A、B、C三个点，则：
1、AB+AC BC
2、若AB+AC＞BC 则以A、B、C为顶点一定能构成△ABC吗？
≥
Ａ
Ｂ
Ｃ
想一想
注意：分两种情况考虑：一种是三点不在同一直线上；
另一种是三点在同一条直线上。
不一定
分类讨论：(1)当A、B、C三点不共线时，由三角形任意两边大于第三边知AB+AC＞BC
(2)当A、B、C三点共线时，①点A在点B左侧(图1)：AB+AC＞BC；②点A在点C右侧(图2)：AB+AC＞BC。③点A在点B与点C中间(图3)：AB+AC＝BC
分类讨论
三角形边的取值范围
二
a－b＜c＜a＋b
已知三角形两边确定第三边取值范围的方法：
已知两边之差＜第三边＜已知两边之和
BC－AC＜AB＜BC＋AC
友情提醒——
1、选择两边必须是相同的两边；
2、两边之和选取原则是：较短两边。
例3、已知三角形的两边分别为6、4，求另一边的取值范围？
解：设另一边为x，由三角形三边关系可知：
6－4＜x＜6＋4 解得：2＜x＜10
∴ 另一边的取值范围是2＜x＜10。
知两边求第三边
用三边关系求解
——例题讲解——
变式：已知三角形三边长分别为5、x－1、8，则三角形周长C的取值范围是 。
解：由三角形三边关系可知：
8－5＜x－1＜8＋5 解得：4＜x＜14
∵ C＝5＋8＋x－1＝12＋x
∴ 周长的范围是：16＜12＋x＜26
两边同时＋12
16＜C＜26
例4、在△ABC中：AC＝5，BC＝2，AB是奇数且是整数，求△ABC的周长？并判断三角形的形状？
——例题讲解——
解：由三角形三边关系可知：
AC－BC＜AB＜AC＋BC
∵ AC＝5 BC＝2
∴ 5－2＜AB＜5＋2 解得：3＜AB＜7
∵ AB是奇数且是整数
∴ AB＝5
∴ C△ABC＝5＋2＋5＝12 形状是等腰三角形
——例题讲解——
例5、若一个等腰三角形的周长为18cm。
(1)腰长的3倍比底边的2倍多6cm，求各边的长。
(2)已知其中一边的长为4cm，求各边的长。
(3)已知其中一边的长为5cm，求各边的长。
解：(1)设腰为x，底为y，由题意可知：
3x＝2y＋6 x＝6
2x＋y＝18 解得：y＝6
∴ 三边分别为6cm、6cm、6cm。
(2)当4cm是腰时，则底是18－4－4＝10(cm)
∵ 4＋4＜10(不符合题意)
∴ 此种情况不存在。
当4cm是底时，则腰是(18－4)÷2＝6(cm)
∵ 4＋6＞6(符合题意)
∴ 三边分别为4cm、6cm、6cm。
(3)当腰是5cm时，则底是18－5－5＝8(cm)
∵ 5＋5＞8(符合题意)
∴ 三边分别为5cm、5cm、8cm。
当底是5cm时，则腰是(18－5)÷2＝6.5(cm)
∵ 5＋6.5＞6.5(符合题意)
∴ 三边分别为5cm、6.5cm、6.5cm。
练一练
1、若一个等腰三角形的已知两边分别为8cm与5cm，求周长。
（提示：一种考虑8、8、5；另一种考虑5、5、8。）
（周长为21cm或18cm）
2、若一个等腰三角形的已知两边分别为8cm与3cm，求周长。
（提示：一种考虑8、3、3；另一种考虑8、8、3。）
（周长为14cm）
注意：计算等腰三角形周长或三边时，一定要考虑三边能否成一个三角形。
例6、如图，O为△ABC内一点。试证明：
证明：由三角形的三边关系可知：
在△ABO中：AO＋BO＞AB ①
在△ACO中：AO＋CO＞AC ②
在△BCO中：BO＋CO＞BC ③
由①＋②＋③得：
AO＋BO＋AO＋CO＋BO＋CO＞AB＋AC＋BC
即：2(AO＋BO＋CO)＞AB＋AC＋BC
∴ AO＋BO＋CO＞0.5(AB＋AC＋BC)
——难点突破——
思考：
这些
建筑
物当
中都
有那
些相
似之
处 ？
请同学们观察下面两幅图片：
再观察下面的图形：
想：为什么都用三角形图形 ？
一
想
三角形的稳定性
三
如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
归纳：三角形形状与大小不会改变，四边形形状会改变，这就是说：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
理解“稳定性”
三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，
其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。
经验分享归纳——
只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”。
例7、要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形、六边形木架、七边形木架保持稳定该怎么办呢
——例题讲解——
五边形需要2条
六边形需要3条
七边形需要4条
n边形需要(n－2)
1、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形
2、想想：要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
3、下列图中具有稳定性有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
C
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
练一练
三角形的三边关系
三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。
应用
稳定性
三角形
独有性质
应用
课堂小结
1、判断三条已知线段能否组成三角形的方法：
一种用两条较短边的和与最长边比较：大则能；小或等则不能。
已知两边之差＜第三边＜已知两边之和
2、已知三角形两边确定第三边取值范围的方法：
3、当等腰三角形腰与底不确定时，要计算周长或边长应注意：
一要分两种情况计算或讨论；
二要看看所求三边能否构成一个三角形。
二种用两条较长边的差与最短边比较：小则能；大或等则不能。
1、从课后习题中选取；
2、完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
不积跬步 无以至千里
意思是：行程千里，都是从一步一步开始；如果做事不从一点一滴中做起， 那就不可能有所成就。
【名人名言】