7.7动能和动能定理
学习目标
知识与技能
1、理解动能的概念，熟练计算物体的动能
2、写出动能定理的表达式，理解动能定理的物理意义.
3、会用动能定理解决力学问题，掌握用动能定理解题的一般步聚
4.知道动能定理也可用于变力做功和曲线运动的情景.
过程与方法
1、运用演绎推导方式推导动能定理的表达式，体会科学探究的方法
2、理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法
情感态度与价值观
1、通过演绎推理的过程，培养对科学研究的兴趣
2、通过对动能和动能定理的演绎推理，使学生从中领略到物理等自然学科中所蕴含的严谨的逻辑关系，反映了自然界的真实美
学习重点 理解动能的概念；会用动能的定义式进行计算
学习难点1、探究功与物体速度变化的变系，知道功能定理的适用范围
2、会推导动能定理的表达式
预习案
1.动能
（1）物体由于运动而具有的能叫动能.
（2）动能的表达式：Ek=mv2.，动能的单位：焦耳.
（3）动能是标量，且只有大小（正值，负值），动能的大小与速度的大小有关，而与速度的方向无关.
（4）动能具有瞬时性.在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能.
（5）动能具有相对性.因为v与参照系的选择有关，所以对于不同的参考系，同一物体可能 具有不同的动能.一般都以地面为参考系.
2.动能定理
（1）动能定理的内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量.这个结论叫做动能定理.
（2）动能定理的表达式W=Ek2-Ek1=mv22-mv12.
Ek2表示物体的末动能，Ek1表示物体的初动能，W表力在一个过程中对物体所做的功，或说是物体所受所有外力对物体做功的代数和.
（3）动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力的功，既适用于直线运动，也适用于.曲线运动
探究案：
探究一：动能
1.什么叫动能？物体由于运动而具有的能
2.通过上节实验，我们已经了解到做功与物体速度变化的关系，要想改变一个物体的动能，应该怎么办？通过做功来实现
探究二：动能的表达式
设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生
一段位移，,速度由V1增加到V2，试计算Ｆ所做的功W=mv22-mv12
动能的表达式为：：Ek=mv2
例题１：我国在1970年发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能为多少？W=8968320000J
探究三：动能定理
动能定理的内容：
动能定理的表达式：
例题２：一辆质量为m，速度为V0的汽车，关闭发动机后在水平地面上滑行了距离l后停了下来。试求汽车的阻力。
例３．一飞机的质量为5000Kg，从静止 ( http: / / www.21cnjy.com )开始起飞，当位移达到530m时，速度达到60m/s，此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍，求飞机的牵引力是多大？F=18000N
探究四：动能定理解题的基本思路
①选取研究对象，明确它的运动过程.
②分析研究对象的受力情况和各个力做功情况然后求各个外力做功的代数和.
③明确物体在过程始末状态的动能Ek1和Ek2.
④列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1，及其他必要的解题方程，进行求解.
探究五：用动能定律解题的注意事项：
公式中的W指合外力对物体所做的功，
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W=F合lcosα计算.
(2)由W=Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn,然后将各个外力所做的功求代数和，即
W合=W1+W2+…+Wn.
2. 公式中的V和l一般是相对地面， 动能定律的表达式是标量式，不含速度的方向
3.动能定理公式中等号的意义
(1)数量关系:即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系.可以通过计算物体动能的变化,求合力的功,进而求得某一力的功.
(2)单位相同:国际单位都是焦耳.
(3)因果关系:合外力的功是物体动能变化的原因.
4.动能定理应用广泛，直线运动、曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用,动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能.
例4.如图所示,一块长木板B放在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平面上,在B上放一物体A,现以恒定的外力拉B,由于A、B间摩擦力的作用,A将在B上滑动,以地面为参照物,A、B都向前移动一段距离,在此过程中( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.外力F做的功等于A和B动能的增量 B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
【答案】选B、D.
【详解】物体A所受的合外力等于B对A的 ( http: / / www.21cnjy.com )摩擦力,所以B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量,所以B对.A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力,大小相等,方向相反,但由于A在B上滑动,A、B对地的位移不等,所以二者做功不等,故C错.对B应用动能定理,WF-Wf=ΔEkB，即WF=ΔEkB+Wf,即外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做功之和，所以D对，A错,故选B、D.
能力训练案
1.甲、乙、丙三个物体具有相同的动能，甲的质量最大，丙的质量最小，要使它们通过相同的距离后停止运动，则作用在物体的合外力（C ）
A.甲的最大 B.丙的最大 C.都相等 D.无法确定
2．一人用力把质量为1 kg的物体由静止向上提高1 m，使物体获得2 m/s的速度，则（ABD ）
A.人对物体做的功为12 J B.合外力对物体做的功为2 J
C.合外力对物体做的功为12 J D.物体克服重力做功为10 J
3.关于动能的概念，下列说法正确的是（ A ）
A.物体由于运动具有的能叫做动能 B.物体具有的能叫动能
C.运动物体的质量越大，其动能一定越大 D.速度较大的物体，具有的动能一定较大
4.关于物体的动能，下列说法中正确的是（ D ）
A.一个物体的动能可能小于零 B.一个物体的动能与参考系的选取无关
C.动能相同的物体的速度一定相同 D.两质量相同的物体，若动能相同，其速度不一定相同
过关检测案
1.一个质量为0.3 kg的 ( http: / / www.21cnjy.com )弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为( )
A.Δv=0 B.Δv=12 m/s C.W=1.8 J D.W=10.8 J
【答案】选B.
【详解】取末速度的方向为正方向，则v2=6 m/s，v1=-6 m/s，速度变化量Δv=v2-v1=12 m/s，A错误，B正确；小球与墙碰撞过程中，只有墙对小球的作用力做功，由动能定理得：W= =0，故C、D均错误.
2.某物体同时受到两个在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一直线上的力F1、F2的作用，由静止开始做直线运动，力F1、F2与位移x的关系图象如图所示，在物体开始运动后的前4.0 m内，物体具有最大动能时对应的位移是( )
A.2.0 m B.1.0 m C.3.0 m D.4.0 m
【答案】选A.
【详解】由题图知x=2.0 m时，F合=0，此前F合做正功，而此后F合做负功，故x=2.0 m时物体的动能最大，故A正确.
3.人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿 ( http: / / www.21cnjy.com )水平方向运动，前进距离l后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( )
A.mgl B.0 C.μmgl D.
【答案】选D.
【详解】物体与手掌之间的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力在零与最大值μmg之间取值，不一定等于μmg，在题述过程中，只有静摩擦力对物体做功，根据动能定理，摩擦力对物体做的功W= ，D正确.
4.质量为1 kg的物体以某一初速度在水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5 B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.25
C．物体滑行的总时间为4 s D．物体滑行的总时间为2.5 s
【答案】BC
【详解】根据动能定理Ek2－Ek1＝－Ffx ( http: / / www.21cnjy.com )可得Ff＝＝ N＝2.5 N，所以μ＝＝0.25，A选项错误，B选项正确；根据牛顿第二定律可得a＝＝2.5 m/s2，由运动学公式得物体滑行的总时间t＝ ＝ s＝4 s，C选项正确，D选项错误．
5．如图所示，质量为m的小车 ( http: / / www.21cnjy.com )在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小车克服重力所做的功是mgh B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx
【答案】ABD
【详解】小车克服重力做功W＝Gh ( http: / / www.21cnjy.com )＝mgh，A选项正确；由动能定理小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合＝ΔEk＝mv2，B选项正确；由动能定理W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，D选项正确．
6．在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动． ( http: / / www.21cnjy.com )某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )
A．若人沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsin α＋2mv02/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
【答案】 B
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com )
对人进行受力分析如图所示，根据匀变速直 ( http: / / www.21cnjy.com )线运动的规律有：(2v0)2－0＝2aL，v12－v02＝2aL，可解得v1＝v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsin θ－FfL＝m(2v0)2，可解得Ff＝mgsin α－2mv02/L，C错误；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sin α，D错误．
7. 如图所示，斜面AB和水平面BC是从同一板材上截下的两段，在B处用小圆弧连接．将小铁块(可视为质点)从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，最终静止于P处．若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将铁块放回A处，并轻推一下使之沿新斜面向下滑动．关于此情况下铁块运动情况的描述，正确的是( )
A．铁块一定能够到达P点 B．铁块的初速度必须足够大才能到达P点
C．铁块能否到达P点与铁块质量有关 D．以上说法均不对
【答案】选A.
【详解】设AB＝x1，BP＝x2，AP＝x3，动摩擦因数为μ，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosαx1－μmgx2＝0，可得：
mgx1sinα＝μmg(x1cosα＋x2)，设沿AP滑到P的速度为vP，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosβ·x3＝mv，因x1cosα＋x2＝x3cosβ，故得：vP＝0，即铁块恰好沿AP滑到P点，故A正确．
8．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．t1时刻小球动能最大 B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】0～t1时间内，小球做自 ( http: / / www.21cnjy.com )由落体运动，故弹簧弹力为零．t1～t2时间内，小球压缩弹簧，当弹力等于重力时，小球速度最大，在此时刻之前，小球做加速度减小的加速运动，之后做加速度增加的减速运动，t2时刻减速到零．t2～t3时间内，小球向上先加速运动后减速运动．故A、B、C三选项中，只有C项正确．t2～t3时间内弹簧减少的弹性势能转化为小球增加的动能和重力势能之和，故D项错误．
学后反思：
v2
v1
F
m
m动能和动能定理的应用习题课
预习案
动能定理
1、动能定理的内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量.这个结论叫做动能定理。
动能定理的表达式W= Ek2-Ek1=mv22-mv12.。
2、深刻理解动能定律
① 公式中的“W”一定是指合外力的功，所以解题时要分析研究对象受力情况和物理过程，分析各个力做功的情况。
② 动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度。
③ 动能定理的适用范围：适用惯性参考系，可以是恒力，也可以是变力；可是以直线运动，也可以是曲线运动。
3、动能定理解题的基本思路
①选取研究对象，明确它的运动过程；
②分析研究对象的受力情况和各个力做功情况然后求各个外力做功的代数和；
③明确物体在过程始末状态的动能Ek1和Ek2；
④列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1，及其他必要的解题方程，进行求解。
探究案
● 探究一：如何应用动能定理求变力做功
例1：质量为m的小球，用长为L的轻绳 ( http: / / www.21cnjy.com )悬挂于天花板上，小球在水平力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，此时绳子转过θ角，如图所示，则力F做的功为多大？
W=mgl(1-cosθ )
● 探究二：如何应用动能定理解决曲线运动问题？
例2：在h高处，以初速度v0斜向上方抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度为多大？
● 探究三：应用动能定理求解动力学问题
例3：将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落
入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
能力训练案
1、质量为m的跳水运动员，从离地面 ( http: / / www.21cnjy.com )高h的跳台上以速度v1斜向上跳起，跳起高度离跳台为H，最后以速度v2进入水中，不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功为多大？
2、质量为M的汽车在平直公路上以速度 ( http: / / www.21cnjy.com )V0 开始加速行驶，前进距离s后，速度达到最大值VM ，设在这一过程中汽车发动机的功率恒定，汽车所受的阻力恒为f0。在这段时间内汽车发动机的牵引力所做的功为
3、配置三个发动机的汽艇在 ( http: / / www.21cnjy.com )湖面上行驶，假设在整个行驶过程中单个发动机提供的动力恒定、且受到的阻力大小也始终不变，开始阶段开动三个发动机由静止开始匀加速直线前进了位移s；然后关闭两个发动机，汽艇又在湖面上匀速前进了位移s；最后全部关闭发动机减速前进，问汽艇还能前进多远？
过关检测案：
1.下列各种物体的运动中，动能保持不变的是（AC ）
A.物体做匀速直线运动 B.物体做匀变速直线运动
C.物体做匀速圆周运动 D.汽车的刹车运动
2.放在光滑水平面上的某物体，在水平恒 ( http: / / www.21cnjy.com )力F的作用下，由静止开始运动，在其速度由零增加到v和由v增加到2v的两个阶段中，F对物体所做的功之比为（ C ）
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
7.两个物体质量比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比（C ）
A.1∶1 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1
3.一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能
A. 一直增大 B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大
C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
【答案】选A、B、 D。
【详解】当恒力方向与速度方向相同时 ( http: / / www.21cnjy.com )，物体加速，动能一直增大，故A正确。当恒力方向与速度方向相反时，物体开始减速至零，再反向加速，动能先减小再增大，故B正确。当恒力与速度成小于90°夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，物体做曲线运动，速度一直增大，故C错。当恒力与速度成大于90°的夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，开始在原运动方向物体做减速运动直至速度为0，而在垂直原运动方向上物体速度逐渐增加，某一时刻物体速度最小，此后，物体在恒力作用下速度增加，其动能经历一个先减小到某一数值，再逐渐增大的过程，故D正确。
4.如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于（ ）
A．0.3J B．3J C．30J D．300J
【答案】选A.
【详解】估计一只鸡蛋的重力为60克，鸡蛋上升的高度为50厘米，选择人抛鸡蛋以及鸡蛋上升到最到点全程应用动能定理有：，带入数值可知，A对。
5．如下图所示，质量为M、长度为l ( http: / / www.21cnjy.com )的小车静止在光滑的水平面上．质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端．现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动．小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x，在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．小物块到达小车最右端时具有的动能为F(l＋x)
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffx
C．小物块克服摩擦力所做的功为Ffl
D．小物块和小车增加的机械能为Fx
【答案】 B
【详解】 因动能定理以及功的公式中的位移是指 ( http: / / www.21cnjy.com )对地的位移，所以A错误、B正确；摩擦力对小物块所做的功为－Ff(l＋x)，所以小物块克服摩擦力所做的功为Ff(l＋x)，C错误；小物块和小车增加的机械能为(Fx－Ffl)，所以D错误．
6.如图甲所示，一质量为m ( http: / / www.21cnjy.com )=1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t=0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ=0.2，(g取10 m/s2)求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功.
【答案】(1)4 m (2)24 J
【详解】(1)在3 s～5 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速运动到A点，设加速度为a，A与B间的距离为x，则
F-μmg=ma (2分)
得a=2 m/s2 (1分)
x==4 m (2分)
(2)设物块回到A点时的速度为vA，
由vA2=2ax得vA=4 m/s (3分)
设整个过程中F做的功为WF，
由动能定理得：WF-2μmgx= (4分)
解得：WF=24 J (2分)
7.节能混合动力车是一种 ( http: / / www.21cnjy.com )可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1=90km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P=50kw。当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L=72m后，速度变为v2=72km/h。此过程中发动机功率的1/5用于轿车的牵引，4/5用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能。假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求
（1）轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
（2）轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能E电；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离。
【答案】（1）（2）（3）
【详解】（1）汽车牵引力与输出功率关系
将P=50kW, v1=90 km/h=25 m/s代入得
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
（2）在减速过程中，发动机只有用于汽车的牵引.根据动能定理
代入数据得
电源获得的电能为
（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为.在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功
代入数据的
学后反思：
h
H
