河北省盐山中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试卷（含答案）

盐山中学24-25学年第二学期期中考试高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.在中， 、 、 分别是内角 、 、 所对的边，若，，，则边 ( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知平面，直线，满足，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.正方体中，直线与直线夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成点位于平面上方，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
平面平面；与的夹角为定值；
三棱锥体积最大值为；点的轨迹的长度为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，为复数，以下四种说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则复平面内所对应的点位于第三象限
D. 已知，若关于的方程有实数根，则实数根必为
10.已知平面向量，，则( )
A.
B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为
D. 在方向上的投影向量的坐标为
11.如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为( )
A. 截面 B. 异面直线与所成的角为
C. D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ．
13.如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则 ．
14.已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分
已知复数
若复数是方程的一个复数根，求实数，的值
若复数满足，求
16.分
已知各棱长为，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥，
求它的表面积；
求它的体积．
17.分
已知，．
若，求的值；
若，求与夹角的余弦值．
18.分
已知向量，，函数．
求的单调递减区间
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
19.分
如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
设，分别为，的中点，求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
则，
则，
所以，
所以，．
因为，
则，
则．
16.解：四棱锥的各棱长均为，底面为正方形，各侧面均为正三角形，设为的中点，则，，
，，
它的表面积 ；
连接，，交于点，连接，，则为棱锥的高，
则，则，故棱锥的体积．
17.解：因为，所以，
解得：或．
因为，
所以，解得：，
所以，
，
所以与夹角的余弦值为．

18.解：因为向量，，
函数
令，
解得：，
即的单调递减区间为
根据三角函数图象的伸缩变换和平移变换规律求得：，
因为，所以，
，
则，
即在上的值域为．

19.证明：如图：
证明：连接，由题意得，，
又由，得，
平面，平面，
平面；
证明：取棱中点，连接，
依题意得，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，，
平面，平面，
平面；
解：连接，由中平面，
知是直线与平面所成角，
是等边三角形，，且为中点，
，
又平面，，
，
在中，．
直线与平面所成角的正弦值为．