【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前冲刺 圆（含解析）

2025年中考数学二轮复习押题预测 圆
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 惠州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2024秋 嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是的中点，则长度的近似值.若CD＝2，AB＝8，则l＝（　　）
A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5
3．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以B为圆心，AB为半径画弧AC，点E为BC中点，以E为圆心，BE为半径画弧BC，过点E作BC的垂线交弧AC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3π﹣6 C． D．6
4．（2024秋 庄河市期末）如图1，一个扇形纸片的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 海曙区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为点D，如果∠A＝35°，那么∠C＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2024秋 垫江县期末）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点．若∠AOB＝42°，则∠ACB＝（　　）
A．21° B．42° C．48° D．96°
7．（2024秋 增城区期末）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024秋 丽水期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，AC＝2，则的长为（　　）
A．8π B．4π C．2π D．π
9．（2024秋 沙坪坝区校级期末）两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．π C． D．
10．（2024秋 海曙区期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　）
A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．2 D．EC＝2EA
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 钱塘区期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 　 　．
12．（2024秋 永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　 　．
13．（2024秋 慈溪市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，过B作半径OA的平行线交⊙O于点C，过C作弦CD⊥AB，垂足为E，连结AC，BC，BD，AD．若DE＝8，CE＝2，则AE：BE＝ 　 　，⊙O的半径长为 　 　．
14．（2024秋 梁平区期末）如图所示，在直角三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 　 　cm2．（结果保留π）
15．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　 　，AB＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 锡山区期末）（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求作⊙O，使它经过边AB的中点，且与边AC、AB相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若⊙M过点B，且与AB、AC两条边所在直线相切，当AC＝6，BC＝8时，⊙M的半径长为 　 　．
17．（2024秋 福州期末）已知锐角三角形ABC内接于⊙O，D为BC上一点，E为上一点，连接AD，AE，BE，△ABF与△ABE关于直线AB对称，且∠BAF＝∠CAD．
（1）当AD⊥BC时，如图1，求证：AE为⊙O的直径；
（2）当BF为⊙O的切线时，如图2，求证：AC＝AD．
18．（2024秋 无锡期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
19．（2024秋 庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AE是边BC上的高，以AE为直径的⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：AG＝FG．
20．（2024秋 海曙区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，作半⊙O切BC于点D，交AC于点E，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若OA＝5，AE＝6，求OB的长．
2025年中考数学二轮复习押题预测 圆
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B A A B D A D
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 惠州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】圆周角定理；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；几何直观．
【答案】C
【分析】由∠AFB＝90°可得出点F的运动轨迹，进而解决问题．
【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°
∴点F在以AB为直径的圆上．
取AB的中点M，连接DM与⊙M交于点F'，则当点F在F'处时，DF取得最小值．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：，
∴，
即DF的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，由BF⊥AE得出点F的运动轨迹是解题的关键．
2．（2024秋 嘉兴期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以O为圆心、OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D是的中点，则长度的近似值.若CD＝2，AB＝8，则l＝（　　）
A．8.8 B．8.7 C．8.6 D．8.5
【考点】垂径定理的应用；弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】如图，连接OC．设OA＝r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出OA即可．
【解答】解：如图，连接OC．设OA＝r．
∵C是弦AB的中点，D是的中点，
∴O，C，D共线，OD⊥AB，
∴AC＝CBAB＝4，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5，
∴OA＝5，
∴长度的近似值88.8．
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以B为圆心，AB为半径画弧AC，点E为BC中点，以E为圆心，BE为半径画弧BC，过点E作BC的垂线交弧AC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3π﹣6 C． D．6
【考点】扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】连接BF，FC，再分别求出扇形BFC的面积及△BEF的面积，把它们相减，再减去小半圆面积的一半即可解决问题．
【解答】解：连接BF，FC，
∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
又∵BC＝BF，
∴△FBC是等边三角形，
∴∠FBC＝60°，
∴．
在Rt△BEF中，
tan∠EBF，
∴，
∴EF，
∴．
又∵小半圆面积四分之一为，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算、线段垂直平分线的性质及正方形的性质，熟知扇形的面积公式及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2024秋 庄河市期末）如图1，一个扇形纸片的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片沿CD折叠，使点B与点O恰好重合，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】连接OC，BC，进而得出△OBC是等边三角形，据此再结合扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：连接OC，BC，
由折叠可知，
BC＝OC，
又∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°．
又∵扇形纸片的半径为4，
∴OB＝4．
又∵CD⊥OB，
∴OD，
∴CD，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
5．（2024秋 海曙区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切，切点为点D，如果∠A＝35°，那么∠C＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】切线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连结OD，由切线的性质推导出∠ODC＝90°，而∠COD＝2∠A＝70°，所以∠C＝90°﹣∠COD＝20°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连结OD，
∵CD与⊙O相切，切点为点D，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠COD＝2∠A＝70°，
∴∠C＝90°﹣∠COD＝20°，
故选：A．
【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（2024秋 垫江县期末）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点．若∠AOB＝42°，则∠ACB＝（　　）
A．21° B．42° C．48° D．96°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】A
【分析】可根据圆周角定理进行求解即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理可得：∠AOB＝42°，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2024秋 增城区期末）正多边形的一个外角是72°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】正多边形和圆．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数即可．
【解答】解：正多边形的外角和是360°，
∵正多边形的一个外角是72°，
∴多边形的边数为：360°÷72°＝5，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和外角的关系，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．
8．（2024秋 丽水期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，AC＝2，则的长为（　　）
A．8π B．4π C．2π D．π
【考点】弧长的计算；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】求出圆的半径，根据勾股定理的逆定理求出∠AOC的度数，再由弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB＝4，
∴OA＝OCAB＝2，
∵AC＝2，
∴OA2+OC2＝8，AC2＝8，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴2π×2＝π．
故选：D．
【点评】本题考查弧长的计算、勾股定理，掌握弧长的计算公式和勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．（2024秋 沙坪坝区校级期末）两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．π C． D．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】连接MO，MO′，得出△MOO′为等边三角形，据此再结合扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：连接MO，MO′，
∵半圆O′与半圆O的半径相等，
∴MO＝MO′＝OO′，
∴△MOO′是等边三角形，
∴∠MOO′＝60°，
∴．
又∵，
∴S阴影．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
10．（2024秋 海曙区期末）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　）
A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．2 D．EC＝2EA
【考点】圆周角定理；线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OE，找的中点F，连接EF，CF，从而可得，根据垂直定义可得：∠COA＝∠COB＝90°，从而可得∠OCB＝∠OBC＝45°，然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC＝135°，再根据中垂线的性质可得EO＝EC，从而可得EO＝EC＝OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC＝∠ECO＝60°，从而可得∠ECB＝105°，∠AOE＝30°，进而可得∠EOC＝2∠AOE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF＝CF＝AE，从而利用三角形的三边关系可得：EF+CF＞CE，进而可得2AE＞CE，即可解答．
【解答】解：连接OE，找的中点F，连接EF，CF，
∴，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA＝∠COB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠ABC＝135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO＝EC，
∵OE＝OC，
∴EO＝EC＝OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC＝∠ECO＝60°，
∴∠ECB＝∠ECO+∠OCB＝105°，∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
∴∠EOC＝2∠AOE，
∴2，
∴，
∴EF＝CF＝AE，
在△EFC中，EF+CF＞CE，
∴AE+AE＞CE，
∴2AE＞CE，
所以，上述结论错误的是EC＝2EA，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 钱塘区期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 　π　．
【考点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】π．
【分析】连接OD，由折叠得出△OBD是等边三角形，进一步得出∠AOD的度数，再结合OC的长度得出OB的长即可解决问题．
【解答】解：连接OD，
由折叠可知，
BO＝DO，∠DBC＝∠OBC，
又∵OD＝OB，
∴BD＝BO＝DO，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠DBO＝∠DOB＝60°，
∴∠OBC＝30°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△BOC中，
tan∠OBC，
∴，
∴BO＝6，
∴的长为．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及翻折变换（折叠问题），熟知弧长的计算公式及折叠的性质是解题的关键．
12．（2024秋 永康市期末）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝2，则的长是 　　．
【考点】弧长的计算；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OC，根据弧、弦、圆心角的关系求出∠BOC，由等腰三角形的判定与性质求出∠OBC的度数，由勾股定理求出BC，从而根据弧长公式求出的长即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵，
∴∠BOC90°，
∵OB＝OCAB＝1，
∴∠OBC45°，
∵BC，
∴π×（）2．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，掌握弧长的计算公式，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2024秋 慈溪市期末）如图，AB是⊙O的一条弦，过B作半径OA的平行线交⊙O于点C，过C作弦CD⊥AB，垂足为E，连结AC，BC，BD，AD．若DE＝8，CE＝2，则AE：BE＝ 　2：1　，⊙O的半径长为 　　．
【考点】垂径定理；相交弦定理；相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】2：1；．
【分析】过点O作OM⊥CD于点M，ON⊥AB于点N，则，四边形OMEN是矩形，进而得ON＝ME＝3，设AN＝BN＝x，EN＝a，则AE＝x+a，BE＝x﹣a，证明△ONA和△CEB相似得x＝3a，则AE＝4a，BE＝2a，由此可得AE：BE的值；根据相交弦定理得AE BE＝DE CE，由此得a，进而得AN，然后在Rt△OAN中，由勾股定理得求出OA即可得出⊙O的半径．
【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，ON⊥AB于点N，如图所示：
∴CM＝DN，AN＝BN，∠OME＝∠ONE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∠ONA＝∠CEB＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，
∵DE＝8，CE＝2，
∴CD＝DE+CE＝10，
∴CM＝DNCD＝5，
∴ME＝CM﹣CE＝3，
∴ON＝3，
设AN＝BN＝x，EN＝a，
∴AE＝AN+EN＝x+a，BE＝BN﹣EN＝x﹣a，
∵OA∥BC，
∴∠OAN＝∠CBE，
又∵∠ONA＝∠CEB＝90°，
∴△ONA∽△CEB，
∴，
∴，
∴x＝3a，
∴AE＝x+a＝4a，BE＝x﹣a＝2a，
∴AE：BE＝4a：2a＝2：1，
根据相交弦定理得：AE BE＝DE CE，
∴4a×2a＝8×2，
解得：a，a（不合题意，舍去），
∴AN＝x＝3a，
在Rt△OAN中，由勾股定理得：OA．
∴⊙O的半径长为.．
故答案为：2：1；．
【点评】此题主要考查了垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
14．（2024秋 梁平区期末）如图所示，在直角三角形ABC中，AB＝6cm，BC＝15cm，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 　（45﹣9π）　cm2．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（45﹣9π）．
【分析】用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴阴影部分的面积6×15
＝45
＝（45﹣9π）cm2．
故答案为：（45﹣9π）．
【点评】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　9　，AB＝ 　　．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】9，．
【分析】连接AD，作CL⊥ED于点L，由AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，得∠ACF＝∠ADC＝90°，则∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，可证明∠FCD＝∠FBC，进而证明△FCD∽△FBC，得，由CF＝3，DF＝1，求得BF＝9，则BD＝8，由BDDE＝8，求得DE＝3，则BE＝5，EF＝4，求得CE，由S△CEF4CL3，求得CL，则EL，所以DL，求得DC，再证明△BAE∽△CDE，得，求得AB，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，作CL⊥ED于点L，则∠CLE＝∠CLD＝90°，
∵AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，
∴CF⊥AC，
∴∠ACF＝∠ADC＝90°，
∴∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，
∵∠FBC＝∠DAC，
∴∠FCD＝∠FBC，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FBC，
∴，
∵CF＝3，DF＝1，
∴BF9，
∴BD＝BF﹣DF＝9﹣1＝8，
∵BDDE＝8，
∴DE＝3，
∴BE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，EF＝DE+DF＝3+1＝4，
∴CE，
∵S△CEF4CL3，
∴CL，
∴EL，
∴DL＝DE﹣EL＝3，
∴DC，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∴AB，
故答案为：9，．
【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 锡山区期末）（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求作⊙O，使它经过边AB的中点，且与边AC、AB相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若⊙M过点B，且与AB、AC两条边所在直线相切，当AC＝6，BC＝8时，⊙M的半径长为 　5　．
【考点】切线的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）5．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AT，作线段AB的垂直平分线交于点DO交AB于点D，交AT于点O，以点O为圆心，以OD为半径作⊙O，则⊙O为所求；
（2）作∠BAC的平分线AP，过点点B作MB⊥AB交AP于点M，以点M为圆心，以MB为半径作⊙M，则⊙M为所求，过点M作ME⊥AC交AC的延长线于点E，MF⊥BC于点F，设⊙M的半径为R，则ME＝MB＝R，先求出AB＝10，证明Rt△ABM和Rt△AEM全等得AE＝AB＝10，则CE＝4，证明四边形MECF是矩形得MF＝CE＝4，CF＝ME＝R，则BF＝8﹣R，然后在Rt△MBF中，由勾股定理求出R即可．
【解答】解：（1）作∠BAC的平分线AT，作线段AB的垂直平分线交于点DO交AB于点D，交AT于点O，
以点O为圆心，以OD为半径作⊙O，则⊙O为所求，
理由如下：过点O作OK⊥AC于点K，如图1所示：
∵OD是线段AB的垂直平分线，
∴AB⊥OD，AF＝BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线，
∵点O是∠BAC的平分线AT上的点，OD⊥AB，OK⊥AC，
∴OK＝OD，
∴OK是⊙O的半径，
∴AC是⊙O切线，
∴⊙O经过边AB的中点，且与边AC，AB相切，
故⊙O为所求；
（2）作∠BAC的平分线AP，过点点B作MB⊥AB交AP于点M，
以点M为圆心，以MB为半径作⊙M，则⊙M为所求，
过点M作ME⊥AC交AC的延长线于点E，MF⊥BC于点F，如图2所示：
∵MB为⊙M的半径，MB⊥AB，
∴AB是⊙M的切线，
∵点M在∠BAC的平分线AP上，MB⊥AB，ME⊥AC，
∴ME＝MB，
∴ME是⊙M的半径，
∴直线AC是⊙M的切线，
∴⊙M经过点B且与AB、AC两条边所在直线相切，
故⊙M为所求，
设⊙M的半径为R，则ME＝MB＝R，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝√AC2+BC2＝10，
在Rt△ABM和Rt△AEM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AE＝AB＝10，
∴CE＝AE﹣AC＝10﹣6＝4，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠MEC＝∠ECF＝∠MFC＝90°，
∴四边形MECF是矩形，
∴MF＝CE＝4，CF＝ME＝R，
∴BF＝BC﹣CF＝8﹣R，
在Rt△MBF中，由勾股定理得：BM2＝MF2+BF2，
∴R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
∴⊙M的半径为5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键．
17．（2024秋 福州期末）已知锐角三角形ABC内接于⊙O，D为BC上一点，E为上一点，连接AD，AE，BE，△ABF与△ABE关于直线AB对称，且∠BAF＝∠CAD．
（1）当AD⊥BC时，如图1，求证：AE为⊙O的直径；
（2）当BF为⊙O的切线时，如图2，求证：AC＝AD．
【考点】切线的判定与性质；轴对称的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由AD⊥BC，得∠ADC＝90°，因为△ABF与△ABE关于直线AB对称，所以∠BAF＝∠BAE，而∠BAF＝∠CAD，则∠BAE＝∠CAD，因为∠E＝∠C，所以∠BAE+∠E＝∠CAD+∠C＝90°，则∠ABE＝90°，所以AE为⊙O的直径；
（2）连接OA、OB，则OA＝OB，所以∠OBA＝∠OAB＝90°∠AOB，由切线的性质得∠OBF＝90°，则∠ABF＝90°﹣∠OBA∠AOB，而∠F＝∠E＝∠C∠AOB，所以∠ABF＝∠F，则∠ABF＝180°﹣∠BAF﹣∠F＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝∠ADC，所以∠ADC＝∠C，即可证明AC＝AD．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵△ABF与△ABE关于直线AB对称，
∴∠BAF＝∠BAE，
∵∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE+∠E＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠ABE＝180°﹣（∠BAE+∠E）＝90°，
∴AE为⊙O的直径．
（2）如图2，连接OA、OB，则OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝90°∠AOB，
∵BF与⊙O相切于点B，
∴BF⊥OB，
∴∠OBF＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠OBA＝90°﹣（90°∠AOB）∠AOB，
∵∠F＝∠E＝∠C∠AOB，
∴∠ABF＝∠F，
∵∠BAF＝∠CAD，
∴∠ABF＝180°﹣∠BAF﹣∠F＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠C，
∴AC＝AD．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2024秋 无锡期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）相切，理由见解析；
（2）6π．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，得出∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，即可得证；
（2）解Rt△BDO求得∠DOB＝60°，OD＝6，由S阴影＝S△ODB﹣S扇形DOF计算即可．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切；理由如下：
如图1，连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）连接OD，如图2，
∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，
∴∠DOB＝60°，
∴，
∴S扇形DOF6π，S△ODBOD×BD6×618，
∴S阴影＝S△ODB﹣S扇形DOF＝186π．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握圆周角定理并灵活运用是解答本题的关键．
19．（2024秋 庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AE是边BC上的高，以AE为直径的⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）求证：AG＝FG．
【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用菱形的性质，平行线的性质和圆的切的判定定理解答即可；
（2）连接EG，利用圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵AE为⊙O的直径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接EG，如图，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠AGE＝90°，
∴∠EAG+∠GEA＝90°．
∵AE⊥BC，
∴∠EAG+∠ECA＝90°，
∴∠GEA＝∠ECA，
∵∠GEA＝∠AFG，
∴∠AFG＝∠ECA．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，
∴∠BAG＝∠ECA，
∴∠AFG＝∠BAG，
∴AG＝FG．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
20．（2024秋 海曙区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，作半⊙O切BC于点D，交AC于点E，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若OA＝5，AE＝6，求OB的长．
【考点】切线的性质；角平分线的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）OB的长是．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠ODA＝∠BAD，由切线的性质得∠ODB＝90°，而∠C＝90°，可证明OD∥AC，所以∠ODA＝∠CAD，则∠BAD＝∠CAD，所以AD平分∠BAC；
（2）作OI⊥AC于点I，则OI∥BC，所以∠AOI＝∠B，而OD＝OA＝5，AI＝EIAE＝3，且sin∠AOI＝sinB，所以，求得OB．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥OD于点D，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：作OI⊥AC于点I，则∠OIA＝∠C＝90°，
∴OI∥BC，
∴∠AOI＝∠B，
∵OA＝5，AE＝6，
∴OD＝OA＝5，AI＝EIAE＝3，
∵sin∠AOI＝sinB，
∴，
∴OB，
∴OB的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
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