§6.3 万有引力定律
学习目标
学习重点：知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关
学习难点：学习科学家发现万有引力定律的过程与方法
预习案
1．牛顿经过长期的研究思考，提出了他的假 ( http: / / www.21cnjy.com )想：行星与太阳间的引力、地球吸引月球的力以及地球表面物体所受到的引力都是同一种性质的力，遵循同一个规律，即它们的大小都与距离的二次方成反比。
2．“月—地检验”将月球的向心加速度与地面 ( http: / / www.21cnjy.com )附近的重力加速度进行比较，证明了地球对它表面附近物体的引力与地球对月球的引力以及太阳和行星间的引力符合同样的规律，是同一种力。“月—地检验”的过程，应用了“猜想假设—实验（事实）验证”的科学思想方法。
3．万有引力定律的内容是：自然界中任何两个 ( http: / / www.21cnjy.com )物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。其数学表达式是_______________。万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律。这是人类认识历史上的一个重大飞跃。万有引力在天体运动中起着主要作用，在宇宙探索研究中有很重要的应用。
万有引力定律适用于质点，对 ( http: / / www.21cnjy.com )于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。
4．卡文迪许扭秤实验证明了万有引力的存 ( http: / / www.21cnjy.com )在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，推动了天文学的发展。充分体现了实验对物理学发展的意义。说明了实践是检验真理的唯一标准。
探究案：
探究一： “月—地检验”基本思路是什么？
探究二： 当被研究的两个物体不能看成质点时，怎样求出它们之间的万有引力？
过关检测案
1．人造地球卫星A和B,它们的质量之比为mA：mB=1：2,它们的轨道半径之比为2:1,则下面的结论中正确的是（ ）.
A.它们受到地球的引力之比为FA：FB=1：1
B.它们的运行速度大小之比为vA：vB=1：
C.它们的运行周期之比为TA：TB=2：1
D.它们的运行角速度之比为ωA：ωB=3：1
2．离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度是地球半径的（ ）
A. 2倍 B.1/2倍
C. 倍 D.（－1）倍
3．设地球表面物体的重力加速度为g0，某卫星在距离地心3R（R是地球的半径）的轨道上绕地球运行，则卫星的加速度为（ ）
A．g0 B．g0/9 C．g0/4 D．g0/16
4．地球质量大约是月球质量的81倍 ( http: / / www.21cnjy.com ),在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ ）
A．1:27 B. 1:9 C. 1:3 D. 9：1
5、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿 ( http: / / www.21cnjy.com )非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的平均密度ρ=_________（万有引力常量为G）
6.月球的质量约为7．35×1022kg,绕 ( http: / / www.21cnjy.com )地球运行的轨道半径是3．84×105km,运行的周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是_____。
学后反思：§6.3 万有引力定律
学习目标
知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关。
学习科学家发现万有引力定律的过程与方法。
激情投入，交流、讨论。掌握科学家发现万有引力定律的过程与方法
学习重点：知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关
学习难点：学习科学家发现万有引力定律的过程与方法
预习案
1．牛顿经过长期的研究思考，提出了他的 ( http: / / www.21cnjy.com )假想：行星与太阳间的引力、地球吸引月球的力以及地球表面物体所受到的引力都是同一种性质的力，遵循同一个规律，即它们的大小都与距离的二次方成反比。
2．“月—地检验”将月球的向心加速度与地面 ( http: / / www.21cnjy.com )附近的重力加速度进行比较，证明了地球对它表面附近物体的引力与地球对月球的引力以及太阳和行星间的引力符合同样的规律，是同一种力。“月—地检验”的过程，应用了“猜想假设—实验（事实）验证”的科学思想方法。
3．万有引力定律的内容是：自 ( http: / / www.21cnjy.com )然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。其数学表达式是_______________。万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律。这是人类认识历史上的一个重大飞跃。万有引力在天体运动中起着主要作用，在宇宙探索研究中有很重要的应用。
万有引力定律适用于质点，对于质量均匀分 ( http: / / www.21cnjy.com )布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。
4．卡文迪许扭秤实验证明了万有引力的存 ( http: / / www.21cnjy.com )在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，推动了天文学的发展。充分体现了实验对物理学发展的意义。说明了实践是检验真理的唯一标准。
探究案：
探究一： “月—地检验”基本思路是什么？
基本思路是：月球到地心的距离是地面上物体 ( http: / / www.21cnjy.com )到地心距离（地球半径）的60倍，如果月球受到地球的引力与地面上物体受到的力是同一种力，也就是引力的大小与距离的二次方成反比，那么月球的向心加速度应该是地面上物体重力加速度的1/602。牛顿通过计算，证实了他的假想，进而提出了万有引力定律。
探究二： 当被研究的两个物体不能看成质点时，怎样求出它们之间的万有引力？
可把物体假想分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。
能力训练案
例1：氢原子有一个质子和围绕质子运动的电子组 ( http: / / www.21cnjy.com )成，已知质子的质量为1.67×10-27kg，电子的质量为9.1×10-31kg，如果质子与电子的距离为1.0×10-10m，求它们之间的万有引力。
解析：本题由于质子和电子的尺寸大小远小于它们间的距离，可以将它们看作质点，运用万有引力定律直接求解。
根据万有引力定律质子与电子之间的万有引力为
N
答：电子与质子之间的万有引力大小为1.01×10-47N。
拓展：应用万有引力定律计算物体间的万 ( http: / / www.21cnjy.com )有引力时，应该注意万有引力定律的适用条件。万有引力定律适用于计算两个质点间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，仍可以用万有引力定律，公式中的r为球心之间的距离。另外当两个物体间的距离比它们自身的尺寸大得多的时候，可以把两个物体当作质点，应用万有引力定律进行计算。
例2：设地球表面物体的重力加速度为g0，物体在距离地心4R（R是地球的半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ ）
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
解析：本题是万有引力定律的简单应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，物体在地球表面的重力加速度和在高空中的加速度都是由地球对物体的万有引力产生的。根据万有引力定律和牛顿第二定律就可以解决该题。
设地球质量为M，质量为m的物体受到地球的万有引力产生加速度，在地球表面和高空分别有:
解得:g/g0=1/16 答案选：D
拓展：物体运动的加速度由它受到的力产生， ( http: / / www.21cnjy.com )通常情况下不考虑地球的自转，物体受到的重力大小就认为等于它受到地球的万有引力。本题中物体在地面的重力加速度和高空中运动的加速度都认为是万有引力产生的，然后运用牛顿第二定律，建立物体受到的万有引力与物体运动的加速度之间的联系，从而解决问题。
例3：卡文迪许测出万有引力常量后， ( http: / / www.21cnjy.com )人们就能计算出地球的质量。现公认的引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2，请你利用引力常量、地球半径R和地面重力加速度g，估算地球的质量。（R=6371km，g=9.8m/s2）
解析：应用万有引力定律计算地球质量，需要知道物体和地球间的万有引力，本题中可以认为引力等于重力，用重力加速度表示引力。
根据万有引力定律
， 得:=5.967×1024kg
答：地球得质量为5.967×1024kg。
拓展：在应用万有引力定律解决有关地面上物体和地球的问题时，通常可以将重力和万有引力相替代。
能力训练
1．对于万有引力定律的表述式，下面说法中正确的是（AD）
A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C. m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D. m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
2．下列关于陨石坠向地球的解释中，正确的是（B ）
A．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力
B．陨石对地球的吸引力和地球对陨石的吸引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以改变运动方向落向地面
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球 D．陨石受到其它星球的斥力而落向地球
3．由于地球自转，又由于地球的赤道半径较长，使得在地球表面的同一物体受到的重力（A）
A.在两极较大 B.在赤道较大 C.在两极跟在赤道一样大 D.无法判断
4、地球质量大约是月球质量的81倍, ( http: / / www.21cnjy.com )在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ B ）
A. 1：27 B. 1：9 C. 1：3 D. 9：1
5．宇宙间的一切物体都是互相极引的，两 ( http: / / www.21cnjy.com )个物体间的引力大小，跟它们的 质量的乘积 成正比，跟它们的 距离的二次方 成反比，这就是万有引力定律.万有引力恒量G＝6.67×10-11 Nm2/kg2 .第一个比较精确测定这个恒量的是英国物理学家卡文迪许 .
6.关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用F= 计算
C.由F= 知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D.万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10-11 N·m2/kg2
【解析】选C.任何物体间都存在相互作用的引力，故称为万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F=来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错.
过关检测案
1．人造地球卫星A和B,它们的质量之比为mA：mB=1：2,它们的轨道半径之比为2:1,则下面的结论中正确的是（BC）.
A.它们受到地球的引力之比为FA：FB=1：1 B.它们的运行速度大小之比为vA：vB=1：
C.它们的运行周期之比为TA：TB=2：1 D.它们的运行角速度之比为ωA：ωB=3：1
2．离地面高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度是地球半径的（D）
A. 2倍 B.1/2倍 C. 倍 D.（－1）倍
3．设地球表面物体的重力加速度为g0，某卫星在距离地心3R（R是地球的半径）的轨道上绕地球运行，则卫星的加速度为（B ）
A．g0 B．g0/9 C．g0/4 D．g0/16
4．地球质量大约是月球质量 ( http: / / www.21cnjy.com )的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（B ）
A．1:27 B. 1:9 C. 1:3 D. 9：1
5、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的平均密度ρ=_________（万有引力常量为G）
6.月球的质量约为7．35×1022kg,绕 ( http: / / www.21cnjy.com )地球运行的轨道半径是3．84×105km,运行的周期是27.3天，则月球受到地球所施的向心力的大小是_____。2.33×1020
7.宇航员在月球上做实验，测得某物体的重力为地球上重力的p倍，已知地球第一宇宙速度为v，月球半径为地球半径的.根据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率是多少？
【解析】地球第一宇宙速度：mg=m (4分)
即v= (2分)
又因为
所以= (4分)
即v月= v (2分)
答案：v
8.利用航天飞机，人们可以到太空维修出现故障的人造地球卫星.
(1)已知一颗人造地球卫星在离地面高度一定的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆轨道上运行.当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4 km/s.取地球半径为
R=6 400 km,地球表面的重力加速度为g=9.8 m/s2,试求这颗卫星离地面的高度.
(2)航天飞机返回地面时能够 ( http: / / www.21cnjy.com )无动力着陆，当速度减到54 km/h时从尾部弹出减速伞，滑行300 m后停止.假设弹开减速伞后，航天飞机在跑道上滑行时受到的阻力恒为3.75×104 N，试求此时航天飞机的质量是多少？
【解析】(1)设航天飞机的质量为m,离地面的高度为h,
由万有引力定律和牛顿运动定律可得
, (3分)
在地面上有=g, (3分)
联立代入数据得h= -R=3.4×106 m. (2分)
(2)航天飞机减速时的加速度
a= =0.375 m/s2, (3分)
由牛顿第二定律得m= =1.0×105 kg. (3分)
答案：(1)3.4×106 m (2)1.0×105 kg
教后反思：
习题课（§6.3 万有引力定律 ）
1．设想把一质量为m的物体放在地球的中心，这时它受到地球对它的万有引力是（A ）
A. 0 B. mg (g=9.8m/s2) C.∞ D.无法确定
2.地球质量约是月球质量的81倍 ( http: / / www.21cnjy.com )，登月飞船在从地球向月球飞行途中，当地球对它引力和月球对它引力的大小相等时，登月飞船距地心的距离与距月心的距离之比为( )
A.1∶9 B.9∶1 C.1∶27 D.27∶1
【解析】选B.根据题意可知，所以，所以B正确.
3.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行.另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
【解析】(1)两个星体对第三星的万有引力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力，即
(4分)
解得：v= (2分)
周期：T=. (2分)
(2)设星体间的距离为r，则三星做圆周运动的半径为R′= (2分)
两个星体对第三星体的万有引力的合力提供向心力，即F向=F合=2 cos30°(2分)
又F向＝mR′ (2分)
解得星体之间的距离r=R. (2分)
答案：(1) (2) R
4、有一行星，距离太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的８倍，则该行星绕太阳公转周期是多少年？22.6年
5．一颗近地人造地球卫星绕地球运行的周 ( http: / / www.21cnjy.com )期为84分钟，假如月球绕地球运行的周期为30天，则月球运行的轨道半径是地球半径的_________倍。64
6．地球是一个不规则的椭球，它的极 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为6357km，赤道半径为6378km，已知地球质量M=5.98×1024kg。不考虑地球自转的影响，则在赤道、极地用弹簧秤测量一个质量为1kg的物体，示数分别为多少？9.87N , 9.81N
7．假设某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半。若地球上近地卫星的周期为84分钟.则该星球上的近地卫星的周期是多少？9.9分钟
8．1997年8月26日在日本举 ( http: / / www.21cnjy.com )行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”。所谓“黑洞”，它是某些天体的最后演变结果。
(1)根据长期观测发现，距离某“黑洞” ( http: / / www.21cnjy.com )6.0×1012m的另一个星体（设其质量为m2）以２×１０6m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1;（结果要求二位有效数字）
（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v= ,其中引力常量Ｇ＝6.67×10-11Ｎm2/kg-2,M为天体质量，Ｒ为天体半径。且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（１）中“黑洞”的可能最大半径。（结果要求一位有效数字）
3.6×1035kg 5×108m
9．已知近地卫星的速度为7.9km ( http: / / www.21cnjy.com )/s，月球质量是地球质量的1/81，地球半径是月球半径的3.8倍。则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度是多少？1.7km/s
10、在某星球上，宇航员用弹簧称称得质量为的砝码的重为，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期是。根据上述数据，试求该星球的质量
11、地球的同步卫星距地面高约为地球半径的5倍，同步卫星正下方的地面上有一静止的物体，则同步卫星与物体的向心加速度之比是多少？若给物体以适当的绕行速度，使成为近地卫星，则同步卫星与近地卫星的向心加速度之比为多少？（1）6：1 （2）1：36
